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2、二次函数y=ax2图像和性质_图文

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知识要点 形如 y ? ax2 ? bx ? c (a、b、c是常数, a≠0)的函数叫做 x 的二次函数(quadratic function),a叫做二次函数的系数,b叫做 一次项的系数,c叫作常数项。 注意 x 的取值范围是全体实数。 注意 y ? ax ? bx ? c 的三种不同表示形式 2 (1) y=ax? (a≠0,b = 0,c = 0) (2) y=ax? + c (a≠0,b = 0,c≠0) (3) y=ax? + bx (a≠0,b≠0,c = 0) 等式的右边最高次数为2,可以没有一次 项和常数项,但不能没有二次项. 回顾 二次函数的图象是 什么样子的? 一次函数的图象 一条直线 探究 画二次函数 y ? x 的图象。 2 描点法 解:(1)列表:在 x 的取值范围内列出函数对 应值表: x y … -3 -2 -1 0 … 9 4 1 0 1 1 2 4 3 9 … … (2)在平面直角坐标系中描点: y 10 8 6 4 2 1 -4 -3 -2 -1 y= 2 x o -2 1 2 3 4 x (3)用光滑曲线顺次连接各点,便得到函数y= x2 的图象. 观察 y ? x2 这个函数的图象,它有什么特点? y 探究 画二次函数 y ? ? x 的图象。 描点法 2 解:(1)列表:在 x 的取值范围内列出函数对 应值表: x y … -3 -2 -1 0 … -9 -4 -1 0 1 2 3 … -1 -4 -9 … (2)在平面直角坐标系中描点: y -4 -3 -2 -1 o -2 -4 -6 -8 1 2 3 4 x y = - x2 -10 (3)用光滑曲线顺次连接各点,便得到函数y= -x2 的图象 观察 y ? ? x2这个函数的图象,它有什么特点? 二次函数的图象是不是跟投篮路线很像? 知识要点 抛物线: 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。 一般地,二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象叫做抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 。 2 抛物线 抛物线 对称轴、顶点、最低点、最高点 y?x 2 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点. y?x 2 当x=1时,y=1 当x=2时,y=4 当x=-2时,y=4 当x=-1时,y=1 抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外),顶点是它的最 低点,开口向上,并且向上 无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小, 最小值是0. 抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展, 当x=0时,函数y的值最大,最大值是0. y y ? ?x 2 y ? x2 y = x2、y= - x2 y ? ?x2 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y = x2 ( 0, 0) y轴 在x轴上方(除顶点外) y = - x2 ( 0, 0) y轴 在x轴下方( 除顶点外) 向上 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 向下 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 当x=0时,最小值为0 当x=0时,最大值为0 探究 在同一坐标系中作二次函数y= -x2和 y=-2x2的图象,会是什么样? y ? 2x2 y ? x 2 只是开口 大小不同 a>0,开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同 顶点都是原点(0,0) 顶点都是原点(0,0) a < 0,开口都向下; 对称轴都是y轴; 增减性相同. 只是开口 大小不同 y ? ?2 x 2 y ? ? x2 y = ax2 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 y=ax2 (a>0) ( 0, 0) y轴 在x轴的上方(除顶点外) y= ax2 (a<0) ( 0, 0) y轴 在x轴的下方( 除顶点外) 向上 当x=0时,最小值为0. 向下 当x=0时,最大值为0. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 最值 开口大小 a 越大,开口越小. 知识要点 y 轴,顶 一般地,抛物线 y=ax2 的对称轴是____ 原点 当a > 0时,抛物线的开口向__ 上,顶 点是_______. 最低点 ,a 越大,抛物线的开口越 点是抛物线的________ 小 当a < 0时,抛物线的开口向____ 下 ,顶点是抛 ___; 物线的最____ 高 点,a 越大,抛物线的开口越____. 大 课堂小结 1. 二次函数: 形如 y ? ax2 ? bx ? c (a、b、c是常数,a≠0) 的函数叫做 x 的二次函数,a叫做二次函数的系数, b叫做一次项的系数,c叫作常数项。 2、抛物线: 二次函数的图象都是抛物线。 3、抛物线 y=ax2 的图象 : y 轴,顶 一般地,抛物线 y=ax2 的对称轴是____ 原点 当a > 0时,抛物线的开口向__上 点是_______. ,顶 最低点 点是抛物线的________ ,a 越大,抛物线的开口越 小 下 ___; 当a < 0时,抛物线的开口向____ ,顶点是抛 物线的最____ 点,a 越大,抛物线的开口越____. 高 大 随堂练习 1.下列函数中,哪些是二次函数? (是) (1)y = 3(x-1)? +1 1 (2) y ? x ? (不是) x (3)s=3-2t2 (是) 1 (4) y ? 2 x ? x (不是) (5)y=(x + 3)? -x2 (

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