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【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.2求曲线的方程课件 新人教A版选修2-1

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2.1.2 求曲线的方程

学习目标 1.了解求曲线方程的步骤. 了解求曲线方程的步骤. 了解求曲线方程的步骤 2.会求简单曲线的方程. .会求简单曲线的方程.

课前自主学案 2.1.2 求 曲 线 的 方 程

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线C(看 一般地 , 在直角坐标系中 , 如果某曲线 看 做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的 做点的集合或适合某种条件的点的轨迹 上的 点与一个二元方程f(x, = 的实数解建立了 点与一个二元方程 ,y)=0的实数解建立了 如下的关系: 如下的关系: (1)曲线 上点的坐标都是方程 , y)=0的解; 曲线C上点的坐标都是方程 的解; 曲线 上点的坐标都是方程f(x, = 的解 (2)以方程 , y)=0的解 , y)为坐标的点都 以方程f(x, = 的解 的解(x, 为坐标的点都 以方程 曲线C上 那么, 曲线 上. 那么 在 __________那么 , 这个方程叫做曲线的方 方程的曲线. 这条曲线叫做______________ 程;这条曲线叫做 方程的曲线.

知新益能 1.解析几何研究的主要问题 . (1)根据已知条件,求出 表示曲线的方程 ; 根据已知条件, 根据已知条件 求出_________________; 研究曲线的性质. (2)通过曲线的方程,___________________ 通过曲线的方程, 研究曲线的性质. 通过曲线的方程 2.求曲线的方程的步骤 . 有序实数对(x, 有序实数对 ,y) (1)建立适当的坐标系 , 用 _________________ 建立适当的坐标系, 建立适当的坐标系 表示曲线上任意一点M的坐标 的坐标; 表示曲线上任意一点 的坐标; (2)写出适合条件 的点 的集合 P={M|p(M)} ; 写出适合条件p的点 的集合_____________; 写出适合条件 的点M的集合 =

(3)用坐标表示条件 p(M) ,列出方程 用坐标表示条件_______, 用坐标表示条件 f(x,y)=0 ; , = _____________; (4)化方程 ,y)=0为_____________; 化方程f(x, = 为 最简形式 ; 化方程 (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线 上.

问题探究

求曲线方程的步骤是否可以省略? 求曲线方程的步骤是否可以省略? 提示:是.如果化简前后方程的解集是相同 提示: 的,可以省略步骤“结论”,如有特殊情况, 可以省略步骤“结论” 如有特殊情况, 可以适当说明, 可以适当说明,也可以根据情况省略步骤 “写集合”,直接列出曲线方程. 写集合” 直接列出曲线方程.

课堂互动讲练

考点突破 直接法求曲线方程 根据题设条件, 根据题设条件,直接寻求动 点坐标所满足的关系式, 点坐标所满足的关系式,从 而得到动点轨迹方程, 而得到动点轨迹方程,这 种方法称为直接法. 种方法称为直接法.

如图, =-1, 如图,已知点 F(1,0),直线 l:x=- ,P 为平 , : =- → → 面上的一动点, 的垂线 垂足为 Q, QP·QF= 面上的一动点, 过点 P 作 l 的垂线, , 且 → → FP·FQ. 的方程. 求动点 P 的轨迹 C 的方程.

例1

思路点拨】 设出P点坐标 代入等式关系, 点坐标, 【 思路点拨 】 设出 点坐标 , 代入等式关系 , 可求得轨迹方程. 可求得轨迹方程.

【解】 设点 P(x,y),则 Q(-1,y). , , - , . → → → → 由QP·QF=FP·FQ, ,-y)= - , - , , 得(x+1,0)·(2,- =(x-1,y)·(-2,y), + ,- 2 =-2(x- + ∴2(x+1)=- -1)+y , + =- 化简得 y2=4x(x≥0). ≥ . ≥ 即轨迹 C 的方程为 y2=4x(x≥0)

互动探究 1 → → OP·QF, 其他条件不变, 的方程. 其他条件不变, 求动点 P 的轨迹 C 的方程.

→ → 若本例中的等式关系改为QP 若本例中的等式关系改为 ·FP =

解:设点 P(x,y),则 Q(-1,y). , , - , . → → → → 由QP·FP=OP·QF, ,-y), 得(x+1,0)·(x-1,y)=(x,y)·(2,- , + - , = , ,- 2 2 2 2 ∴x -1=2x-y ,∴x +y -2x-1=0. = - - = 2 2 即轨迹 C 的方程为 x +y -2x-1=0. - =

定义法求曲线方程 如果所给几何条件正好符合所学过的已知曲 线的定义, 线的定义 , 则可直接利用这些已知曲线的方 程写出动点的轨迹方程. 程写出动点的轨迹方程. 例2 长为 的线段的两个端点分别在 轴 、 y 长为4的线段的两个端点分别在 的线段的两个端点分别在x轴 轴上滑动,求此线段的中点的轨迹方程. 轴上滑动,求此线段的中点的轨迹方程. 思路点拨】 【 思路点拨 】 利用直角三角形斜边的中线 等于斜边的一半, 求出中线长, 等于斜边的一半 , 求出中线长 , 再利用圆的 定义求中点的轨迹方程. 定义求中点的轨迹方程.

【解】

设线段的中点为P(x, . 设线段的中点为 ,y).因为线段

的两个端点分别在x轴 轴上 所以|OP|=2, 轴上, 的两个端点分别在 轴、y轴上,所以 = , 由圆的定义知,点P的轨迹是以原点 为圆心, 的轨迹是以原点O为圆心 由圆的定义知, 的轨迹是以原点 为圆心, 半径为2的圆, 所以线段中点P的轨迹方程为 半径为 的圆,所以线段中点 的轨迹方程为 的圆 x2+y2=4.

代入法求曲线方程 代入法: 代入法 : 利用所求曲线上的动点与某一已知 曲线上的动点的关系, 曲线上的动点的关系 , 把所求动点转换为已 知动点.具体地说,就是用所求动点的坐标(x, 知动点.具体地说,就是用所求动点的坐标 , y)来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满 来表示已知动点的坐标, 来表示已知动点的坐标 足的曲线方程,由此即可求得所求动点坐标(x, 足的曲线方程,由此即可求得所求动点坐标 , y)之间的关系. 之间的关系. 之间的关系

动点M在曲线 上移动, 和定 动点 在曲线x2+y2=1上移动,M和定 在曲线 上移动 连线的中点为P, 点的轨迹方程. 点B(3,0)连线的中点为 ,求P点的轨迹方程. 连线的中点为 点的轨迹方程
设M,P点坐标 → 由中点坐标公式列方程 , 点坐标

例3

【思路点拨】 思路点拨】

点坐标表示M点坐标 点坐标代入曲线x → 用P点坐标表示 点坐标 → 把M点坐标代入曲线 2+y2=1 点坐标表示 点坐标代入曲线 → 得P点的轨迹方程 点的轨迹方程

【解】 设 P(x,y),M(x0,y0), , , , ∵P 为 MB 的中点, 的中点,
? ?x=x0+3 ? = 2 ∴? y0 ? = ?y= 2 ?



?x0=2x-3 - 即? , ?y0=2y

又∵M 在曲线 x2+y2=1 上, , ∴(2x-3)2+4y2=1, - 点的轨迹方程为(2x- ∴P 点的轨迹方程为 -3)2+4y2=1.

曲线)方程的基本步骤 【名师点评】 代入法求轨迹 曲线 方程的基本步骤 名师点评】 代入法求轨迹(曲线 为 (1)设点:设所求轨迹上任意点 M(x,y),设动点 已 设点: 设点 , ,设动点(已 知轨迹上的动点 上的动点)P(x0,y0). 知轨迹上的动点 . ?x0=f(x,y), ( , ) (2)求关系式: 求关系式: 求关系式 求出两个动点的关系式? ( , ) ?y0=g(x,y). (3)代入:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得 代入:将上述关系式代入已知曲线方程, 代入 到所求动点的轨迹方程. 到所求动点的轨迹方程.

方法感悟 1.坐标系建立的不同,同一曲线的方程也不相 .坐标系建立的不同, 同. 2.一般的,求哪个点的轨迹方程,就设哪个点 .一般的,求哪个点的轨迹方程, 的坐标是(x,y),而不要设成(x1,y1)或(x′,y′) 的坐标是 , ,而不要设成 或 , 等. 3.方程化简到什么程度,课本上没有给出明确 .方程化简到什么程度, 的规定,一般指将方程f(x, = 化成 化成x, 的整 的规定,一般指将方程 ,y)=0化成 ,y的整 如果化简过程破坏了同解性, 式.如果化简过程破坏了同解性,就需要剔除不 属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗漏的点. 属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗漏的点.

求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线, 求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线,求 轨迹方程则不必说明. 轨迹方程则不必说明. 4.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概 . 轨迹” 轨迹方程” 念:求轨迹方程只要求出方程即可;而求轨 求轨迹方程只要求出方程即可; 迹则应先求出轨迹方程, 迹则应先求出轨迹方程,再说明轨迹的形 状.


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