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北京科技大学考研数学分析(2003-2014)

时间:2017-01-08


北 京 科 技 大 学 2014 年硕士学位研究生入学考试试题
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试题编号: 适用专业:

613 数学,

试题名称: 统计学

数学分析

(共 2

页)

说明: 所有答案必须写在答题纸上,做在试题或草稿纸上无效。
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1.(15 分)(1)计算极限 lim

?0

x2

cos xdx


x ?0

ln(1 ? x 2 )

(2)设 a1 ? 0, an ?1 ?

2(1 ? an ) , (n ? 1, 2,3,?), 证明: lim an 存在,并求该极限. n ?? 2 ? an

2.(15 分) (1)设 u ? x 2 ? y 2 ? z 2 ,其中 z ? f ( x, y) 是由方程 x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3xyz 所确定的隐函数, 求 u x .
?x ? u ?v ?z ? (2) 设 ? y ? u 2 ? v 2 ,求 . ?x ? z ? u 3 ? v3 ?

3. (15 分)设 f ( x) 在 ?0, 2? 上连续,且 f (0) = f (2) ,证明 ? x0 ? ?0,1? ,使

f ( x0 ) = f ( x0 ? 1).
4.(15 分)设 f (x)为偶函数, 试证明:

?? f ( x ? y)dxdy ? 2?0
D

2a

(2a ? u) f (u)du,

其中 D :| x |? a,|

y |? a (a ? 0).

5. (15 分 ) 设 f ( x) 在区间 [0,1] 上具有二阶连续导数,且对一切 x ? [0,1] ,均有

f ( x) ? M , f ''(x ) ? M . 证明: 对一切 x ?[0,1] ,成立

f '( x) ? 3M .

6. (15 分)设 a ? 0 , f (x ) 是定义在区间 [?a ,a ] 上的连续偶函数, (1) 证明:

?

a f (x ) d x ? ? f (x )d x ; x ?a 1 ? e 0 a

cos3 x dx. (2) 计算积分 ? ? ? 1 ? ex 2
2

?

7. (15 分) (1)证明:级数
??

?1? n x
n ?1 4

??

x

2

在 [0, ??) 上一致收敛;

(?1)n 8n x3n ?2 的收敛域. (2)求级数 ? 3 n ?1 n ln( n ? n)
8.(15 分) 证明:若 f ? x, y ? 在矩形区域 D 满足:

| f ( x1, y) ? f ( x2 , y) |? L1 | x1 ? x2 | 与 | f ( x, y1 ) ? f ( x, y2 ) |? L2 | y1 ? y2 |,
其中 L1 , L2 是正的常数,则函数 f ? x, y ? 在 D 一致连续. 9.(15 分)设对于半空间 x ? 0 内任意的分片光滑的有向封闭曲面 ? , 都有

? ??
?

f ( x)dydz ?

xy dzdx ? dxdy ? 0, 1 ? x2

其中函数

f ( x) 在 [0, ??) 上具有一阶连续导数, 且 f (0) ? 1, 求 f ( x) .

10. (15 分) 设 f ? x ? ? ? , f ? ? x ? ? m ? 0 ?a ? x ? b ? ,证明:

? sin f ?x ?dx
a

b

?

2 . m

北 京 科 技 大 学 2013 年硕士学位研究生入学考试试题
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试题编号: 适用专业:

613

试题名称:

数学分析

(共 2

页)

数学,统计学

说明: 所有答案必须写在答题纸上,做在试题或草稿纸上无效。
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1. (20 分) (1) 、设 z ? f ? x, y, u ? ? xy ? xF (u) ,其中 F 为可微函数,且 u ? 证明: x

y , x

?z ?z ? y ? z ? xy . ?x ?y

(2) 、设 u

?x

yz

?u ? 2u , ,求: 。 ?z ?z 2

2. (20 分) (1) 设 f ( x) 在 ? a, b? 上连续, 使得 f (? ) ? f (? 2 ) ?
1 . 4(b ? a)
x t 1 x

?
a

b

f ( x)dx ?

1 ? f ( x 2 )dx, 则存在 ? ? (a, b), 4 ? a

b

(2)求极限 lim
x ??

?? e dt?
0

? g (x ) ? e ?x , x ?0 ? 3. (20 分 ) 设 f (x ) ? ? ,其中 g (x ) 有二阶连续的导数,且 x ?0, x ?0 ?

g(0) ? 1, g?(0) ? ?1 ,求 f ?(x ) , 并讨论 f ?(x ) 在 (??, ??) 上的连续性.
4. (15 分)设 f ( x) 在 ?0,1? 上连续可微, 且 f (0) ? 0, f (1) ? 1, 求证: (1) ?x ?[0,1], | f ( x) ? f ?( x) |? ? e? x f ( x) ?? . (2) ? | f ( x) ? f ?( x) | d x ? e?1.
0 1

5. (15 分) 若 {[an ,bn ]} 是一个闭区间套, 即 [an ?1,bn ?1 ] ? [an ,bn ], n ? 1,2,? , 且
n ??

lim(bn ? a n ) ? 0, 证明: 存在唯一点 ? , 使得 ? ?[an ,bn ], n ? 1,2,?.

6. (15 分) 计算二重积分 ??
D

sin y dxdy ,其中 D 是由曲线 y ? x 以及 x ? y 2 所围成的闭区域. y dxdydz ,其中 ? 是由抛物面 x2 ? y 2 ? 4 z 与平面 z ? h ? 0 围成

7. (15 分) 计算 ???
?

1 1 ? x ? y2
2

的空间区域.

8.(10 分)
x

设 f0 ? x ? 在 [0,1] 上连续,定义函数序列,
?

f n?1 ( x) ? ? f n ( x)dt , n ? 0,1, 2,? . 证明:函数项级数 ? f n ( x) 在 [0,1] 上一致收敛.
0
n ?1

9. (10 分 ) 设 函 数 y ? f (x ) 的 二 阶 可 导 , 且 f ??(x ) ? 0, f (0) ? 0, f ?(0) ? 0, 求

lim
距.

x 3 f (u ) , 其中 u 是曲线 y ? f (x ) 在点 P (x , f (x ))处的切线在 x 轴上的截 x ?0 f (x )sin 3 u
1 2

10. (10 分) 计算曲面积分 I ? ?? (x ? z 2 )dydz ? zdxdy , 其中 ? 是旋转抛物面 z ? (x2 ? y 2 )
?

介于平面 z ? 0 和 z ? 2 之间的部分的下侧.













2012 年硕士学位研究生入学考试试题
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试题编号: 适用专业:

613

试题名称:

数学分析 数学,统计学

(共 2 页)

说明: 所有答案必须写在答题纸上,做在试题或草稿纸上无效。
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1. (20 分) (1)求极限 lim

1n (n ? 1)(n ? 2) ? (2n) 。 n ?? n
?
0

(2)证明积分 ? 2 ln(sin x) dx 收敛且求其值。
2 2. (20 分) (1)证明:对于 ? ? 0 ,级数 ? (?1) n tan? ? n ?? ?? ? 都收敛。 n ?1 ?

?

?

(2)设 f ( x) 连续,求极限 lim
x ?a

x x f (t )dt 。 x ? a ?a

1 ? m , ?( x ? a) sin 3. (15 分)已知给定函数 f ( x) ? ? x?a ? ?0,

x?a x?a

( m 为正整数), 试讨

论 f ( x) 在 x ? a 的连续性与可导性以及导函数 f ?( x ) 在 x ? a 的连续性。 4. (15 分)设函数 f ( x) 在 [0, b] 上连续,且 明: f ( x) ? 0 。 5. (15 分)设 f ? x ? 在 ? a, b? 连续, x1 , x2 ,?, xn ??a, b? 。证明:存在 ? ??a, b? , 使 f ?? ? ?
1 n ? f ( xi ) 。 n i ?1

? f (t )dt ? bf (x) ? 0, ?x ?[0, b] ,证
0

x

?x 2 ? y 2 ? 2z 2 ? 0 6. (15 分)已知曲线C : ? ,求曲线C 距离 X OY 面最远的点和 ?x ? y ? 3z ? 5
最近的点。 7. (15 分)设 f ? x ? 在 ? a, b? 连续,在 ? a, b? 可导,且 f ? ? x ? ? 0 。试证明:存在

f ? ?? ? eb ? ea ?? ? ?e 。 ? ,? ? ? a, b ? ,使 f ? ?? ? b ? a
8. (15 分)设 f (x ) 在区间 [?1,1] 上连续且为奇函数, 区域 D 由曲线 y ? 4 ? x 2 与

y ? ?3x 、 x ? 1 所围成, 求 I ? ?? 1 ? f (x )ln(y ? 1 ? y 2 ) dx dy 。
D

?

?

9. (10 分) 试利用闭区间套定理证明数列 {an } 收敛的充要条件是: 对任意的 ? ? 0 , 存在 N ? 0 ,使得当 m, n ? N 时, am ? an ? ? 。 10. (10 分) (1)设 a 为不是整数的实参数,计算函数 cos ax 在 ??? , ? ? 的三角级 数展开式; (2)证明:
1 1 ?? 1 1 n? ? ? ? ? ?1? ? ? sin t t n?1 ? t ? n? t ? n?
?? 0

? t ? , 不是 ?

? 的整数倍;

(3)利用上面结果计算广义积分: ?

sin x dx 。 x


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