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2014届四川省成都高新区高三10月统一检测文科数学试卷(带解析)

时间:2013-11-25


2014 届四川省成都高新区高三 10 月统一检测文科数学试卷(带解析) 一、选择题

1 1.若集合 A ? {?2, ?1,0,1, 2} ,集合 B ? ? ,0,2,3? ,则 A ? B ? (
A. {1, 2,3} 2.复数 (1 ? i) 等于(
2



B. {0,1, 2} )

C. {0,1, 2,3}

D. {?1,0,1, 2,3}

A. 2

B. ? 2

C. 2i )

D. ? 2i

3.已知命题 p: ? x ? R , x 2 >0,则( A.非 p:? x ? R , x 2 ? 0 C.非 p:? x ? R , x 2 ? 0
x

B.非 p:? x ? R , x 2 ? 0 D.非 p:? x ? R , x 2 ? 0 ) D.(2 ,3) )

4.设 f ( x) ? e ? 2 ,则函数 f (x) 的零点位于区间 ( A.(0 ,1) B.(-1, 0) C.(1, 2)

5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 ( A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? C. l //? , m ? ? ,则 l //m D.若 l //? , m//? ,则 l //m

6.设等差数列{an}的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 9 ,a6 ? a 4 ? 2 , 则当 S n 取最大值 n 等于 ( A.4 ) B.5 C.6 D.7

? x ? 2( x ? ?1) ? 7.已知 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是 ?2 x( x ? 2) ?
A. 3 3 B.1 或 2
2 2

(

)

3 C.1, 或± 3 2

D.1 )

8.设 b ? 0 ,二次函数 y ? ax ? bx ? a ? 1 的图象为下列之一,则 a 的值为(

A.

?1 ? 5 2

B.

?1 ? 5 2

C.1

D. ? 1

9.偶函数 f ( x) ? log a x ? b ,在 (??,0) 上单调递增,则 f (a ? 1) )与 f (b ? 2) 的大小 关系是( ) B. f (a ? 1) ? f (b ? 2)

A. f (a ? 1) ? f (b ? 2)

试卷第 1 页,总 3 页

C. f (a ? 1) ? f (b ? 2)

D. f (a ? 1) ? f (b ? 2)

10.定义在[0,1]上的函数 f (x) 满足 f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1, f ( ) ?

x 5

1 f ( x) , 2

且当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ).则f (

1 ) 等于 2013

(

)

A.

1 2

B.

1 16

C.

1 1 D. 64 32

二、填空题 11.函数 y ? lg(3x ? 1) 的定义域是 ___________ ; 12.程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是_________;

, ? ) ,则 tan 2? 的值是_________; 2 a ln x 14.设 a ? 0 ,则函数 f ( x) ? 的单调递增区间是________. x
13.设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( 15.下列几个命题: ①方程 x ? (a ? 3) x ? a ? 0 有一个正实根,一个负实根,则 a ? 0 ;
2

?

②函数 y ?

x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 是偶函数,但不是奇函数;

③设函数 y ? f ( x) 定义域为 R,则函数 y ? f (1 ? x) 与 y ? f ( x ? 1) 的图象关于 y 轴对 称; ④一条曲线 y ?| 3 ? x | 和直线 y ? a (a ? R) 的公共点个数是 m ,则 m 的值不可能是
2

1.其中正确的有_______________.
三、解答题
试卷第 2 页,总 3 页

16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD, PD ? DC ,E 是 PC 的中点.
P

E

C

B

D

A

(Ⅰ)证明 PA ∥平面 EDB; (Ⅱ)求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值. 17.将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (Ⅰ)两数之和为 5 的概率; (Ⅱ)两数中至少有一个为奇数的概率. 18.已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R . 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,满足 c ? 3 , f (C ) ? 0 且 sin B ? 2sin A ,求 a 、 b 的值. 19.定义在 R 上的函数 y ? f ( x), f (0) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对任意的

a, b ? R ,有 f (a ? b) ? f (a) f (b) ,
(Ⅰ)求证: f (0) ? 1 ; (Ⅱ)求证:对任意的 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 ; (Ⅲ)证明: f (x) 是 R 上的增函数. 20.已知函数 f ( x) ? e ? kx, (k ? R, x ? R)
x

(Ⅰ)若 k ? e, 试确定函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)令 g ( x) ? e ? 2 ln x, 若至少存在一个实数 x0 ? ?1, e? ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,
x

求实数 k 的取值范围.

试卷第 3 页,总 3 页

2014 届四川省成都高新区高三 10 月统一检测文科数学试卷(带解析)参考答案 1.B 【解析】 试 题 分 析 : A? B 表 示 即 在 集 合 A 中 又 在 集 合 B 中 的 元 素 组 成 的 集 合 , 而 集 合

1 A ? { ?2 , ? 1, 0 , 1,,集合 B ? ? ,0,2,3? ,故 A ? B ? {0,1,2} ,选 B. 2}
考点:集合的运算. 2.D 【解析】 试题分析: (1 ? i ) ? 1 ? 2i ? 1 ? ?2i ,选 D.
2

考点:复数的运算. 3.C 【解析】 试题分析: ? ”的否定是“ ? ”,否定命题即否定条件也否定结论,故命题 p: ? x? R , “ ,选 C. x 2 >0,的否命题是“? x ? R , x 2 ? 0 ” 考点:全称量词、命题及其关系. 4.A 【解析】 试题分析:因为 f ? 0 ? ? ?1 ? 0, f ?1? ? e ? 2 ? 0 ,由零点存在性定理知, f ? x ? 在 ? 0,1? 内 有零点,有 f ? x ? 为单调函数,故存在 ? 0,1? 唯一零点,选 A. 考点:零点存在定理. 5.B 【解析】 试题分析:如图,为矩形.设 l 为 BD , m 为 DD ' , ? 为 DCC ' D ' ,显然, l ? m , m ? ? , 但 l 不垂直 ? ,故 A 错;两条平行直线,其中一条垂直一个平面,那么另一条也垂直于这个 平面,故 B 正确;对于 C,设 l 为 A ' B ' ,m 为 CC ' , ? 为 DCC ' D ' ,显然,l //? ,m ? ? , 但 l 和 m 不平行, C 错; 故 对于 D,设 l 为 A ' B ' , 为 BB ' , ? 为 DCC ' D ' ,则 l //? , //? , m m 但 l 和 m 相交,故 D 错,综上可知选 B.

D' A' D

C'

B' C

A

B

考点:直线与直线、直线与平面的位置关系. 6.B 【解析】 试题分析:由 a6 ? a 4 ? 2 ,得 a5 ? 1 ? 0 ,又 a1 ? 9 ,所以 d ? ?2 ,故 a6 ? ?1 ? 0 ,所以
答案第 1 页,总 7 页

前 5 项的和最大,选 B. 考点:等差数列通项公式、等差数列前 n 项和. 7.A 【解析】 试题分析:若 x ? 2 ? 3, x ? 1 ,不符合 x ? ?1 ,舍;若 x 2 ? 3, x ? ? 3 ,因为 ?1 ? x ? 2 , 故 x ? 3 ;若 2 x ? 3, x ?

3 ,不符合 x ? 2 ,舍;综上可知, x ? 3 ,选 A. 2

考点:分段函数、一元二次不等式的解法. 8.D 【解析】 试题分析:因为 b ? 0 ,故对称轴不可能为 y 轴,由给出的图可知对称轴在 y 轴右侧,故

a ? 0 ,所以二次函数的图象为第三个图,图象过原点,故 a 2 ? 1 ? 0, a ? ?1, 又 a ? 0 ,所
以 a ? ?1 ,选 D. 考点:二次函数图象和性质. 9.D 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 函 数 f ? x ? ? log a | x ? b | 为 偶 函 数 , 则 f ? ? x ? ? f ? x ? , 而

f ? ? x ? ? l o a ?|x ? b ? | g

a

l o g b |, x? log 所以 | a | x ? b |? log a | x ? b | , | x ?b |? x ?b | , 即 |

所以,b ? 0 ,故 f ? x ? ? log a | x | .因为当 x ? ? ??, 0 ? 时, f ? x ? ? log a | x |? log a ? ? x ? ,其 中 y ? ?x 为减函数, 而已知 f ? x ? 在 ? ??, 0 ? 上单调递增, 那么, ? a ? 1, 1 ? a? 1 2 , 故 0 ? 而 b ? 2 ? 2 ,故 1 ? a ?1 ? b ?2 ,偶函数 f ? x ? 在 ? ??, 0 ? 上单调递增,所以在 x ? ? 0, ?? ? 单调递减,故 f ? a ? 1? ? f ? b ? 2 ? ,选 D. 考点:函数的奇偶性、复合函数单调性. 10.C 【解析】 试题分析:由 f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1, f ? 0 ? ? 0 得, f ?1? ? 1 ,令 x ?

1 ?1? 1 得, f ? ? ? ,由 2 ?2? 2

? x? 1 f ? ? ? f ? x? ?5? 2





? 1 ? f ? ?? ?2 ? 5

1 ? 1 ? , f ? ?? 2 5 ? ?

1 ? 1 ? 1 1 f? ? ? f ?1? ? , 125 8 ?4 ? 2

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?1? 1 , f? , f ? ?? f ? ?? , f? ? ? f ?1? ? ?? f ? ?? 16 ? 625 ? 2 ? 3125 ? 2 ? 625 ? 32 ? 10 ? 2 ? 2 ? 4

答案第 2 页,总 7 页

? 1 ? 1 ? 1? 1 f ? ?? f ? ?? ,f ? 50 ? 2 ? 10 ? 8
当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时 ,

? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ?? f ? ?? ,f ? 250 ? 2 ? 50 ? 16

? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,而 ? ?? f ? ?? ? 1250 ? 2 ? 250 ? 32

f ( x1 ) ? f ( x2 ), , 所 以 当

1 1 时 , ?x? 3125 1250

1 1 1 1 ? 1 ? ? 1 ? , 而 , 故 f? ? ? ? ? f ? x? ? f ? ? , 即 f ? x? ? 32 3 1 2 5 2 0 1 3 1 2 5 0 ? 3125 ? ? 1250 ?
? 1 ? 1 ,选 C. f? ?? ? 2013 ? 32
考点:抽象函数、函数的单调性. 11. (? , +∞) 【解析】 试题分析: 要使 y ? lg(3x ? 1) 有意义, 需满足 3x ? 1 ? 0, x ? ? , 所以定义域为 ? ? , ?? ? . 考点:对数函数定义域. 12.31 【解析】 试题分析:根据流程线依次执行, a ? 1, a ? 3, a ? 7, a ? 15, a ? 31 ? 20 输出, a ? 31 . 考点:程序框图. 13. 3 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 sin 2? ? 2sin ? cos ? , 而 s i n ? ? ?2

1 3

1 3

? 1 ? 3

? ?

?s ? ? ( i n

?
2

? ,

) 故

1 2? 2 tan ? cos ? ? ? , ? ? ? 3. ,所以 tan ?? ? 2 3 1 ? tan 2 ?
考点:二倍角公式. 14. ? 0, e ? 【解析】 试题分析:令 f ' ? x ? ? 为 ? 0, e ? 考点:利用导数求函数单调区间. 15.①④ 【解析】

a ? a ln x ? 0 ,因为 a ? 0 ,故 ln x ? 1,0 ? x ? e ,所以单调增区间 x2

0 试 题 分 析 : 方 程 x ? ( a ? 3 )x ? a ? 有 一 个 正 实 根 , 一 个 负 实 根 , 则
2

答案第 3 页,总 7 页

f ? x ? ? x 2 ? ? a ? 3? x ? a, 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ,故 a ? 0 ,故①正确;对于②,函数化
为 y ? 0 ,是常函数,且其既为偶函数也为奇函数,故②错;对于③, y ? f (1? x) 与
2 故③错; 对于④,y ?| 3 ? x | 和直线 y ? a (a ? R) 的 y ? f ( x ? 1) 的图象对称轴为 x ? 1 ,

公共点个数可以是 0, 2,3, 4 不可能是 1 ,故④正确.答案为:①④. 考点:函数与方程、函数的奇偶性、函数的对称性. 16. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)

5 . 5

【解析】 试题分析: (Ⅰ)令 AC、BD 交于点 O,连接 OE,证明 OE∥AP,即可证明 AP∥面 BDE; (Ⅱ) 先找到直线与平面所成的角,令 F 是 CD 中点,又 E 是 PC 中点,连结 EF,BF,可以证明 EF ⊥面 ABCD,故∠EBF 为面 BE 与面 ABCD 所成的角,在 Rt⊿BEF 中求出其正切值. 试题解析: (Ⅰ)令 AC、BD 交于点 O,连接 OE,∵O 是 AC 中点,又 E 是 PC 中点 ∴ OE∥AP 3分 又 OE ? 面 BDE,AP ? 面 BDE 5分 ∴AP∥面 BDE 6分 (Ⅱ)令 F 是 CD 中点,又 E 是 PC 中点,连结 EF,BF ∴EF∥PD,又 PD⊥面 ABCD ∴EF⊥面 ABCD 8分 ∴∠EBF 为面 BE 与面 ABCD 所成的角. 令 PD=CD=2a
2 2 则 CD=EF=a, BF= a ? (2a ) ? 5a

10 分

在 Rt⊿BEF 中, tan ?EBF ?

EF a 5 ? ? BF 5 5a
5 . 5
12 分

故 BE 与面 ABCD 所成角的正切是

考点:线面平行的判定、直线与平面所成的角、勾股定理. 17. (Ⅰ)

1 3 ; (Ⅱ) . 9 4

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 通过列举可发现此问题中含有 36 个基本事件, 而两数之和为 5 的有 (1,4) 、 (4,1)(2.3)(3、2)4 种,利用古典概型概率计算公式可得概率为 、 、

1 ; (Ⅱ)求出对立 9

面的概率:对立面含的基本事件为(2,2)、(4,4)、(6,6)、(2,4)、(4,2)、(2, 6)、(6,2)、(4,6)、(6、4)共 9 种,所以所求的概率为 1 ?

9 3 ? . 36 4

试题解析:将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件.
答案第 4 页,总 7 页

(Ⅰ)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有 4 个基本事件,所以 P(A)=

1 4 = . 36 9 1 . 9
6分

答:两数之和为 5 的概率为

(Ⅱ)记“两数中至少有一个为奇数”为事件 B,则事件 B 与“两数均为偶数”为对立事件, 所以 P(B)=1-

3 9 = . 36 4 3 . 4
12 分

答:两数中至少有一个为奇数的概率为 考点:古典概型概率的计算.

18. (Ⅰ)最小值为 ?2 ,最小正周期为 ? ; (Ⅱ) a ? 1, b ? 2 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)将原函数化为一角一函数形式解答; (Ⅱ)由 f (C ) ? 0 得出 C ?

?
3

,然后

根据条件 sin B ? 2 sin 得 b ? 2a ,利用余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b2 ? ab ? 3 ,联立解出 A

a ? 1, b ? 2 .
试 题 解 析 : ( Ⅰ )

f ( x) ?

3 1 3 1 ? cos 2 x 1 ?? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 3 分 2 2 2 2 2 6? ?

则 f ? x ? 的最小值是 ?2 , 最小正周期是 T ? (Ⅱ) f ? C ? ? sin ? 2C ?

2? ?? ; 2

6分

? ?

??

?? ? ? ? 1 ? 0 ,则 sin ? 2C ? ? ? 1 ? 0 , 6? 6? ?

7分

0 ? C ? ? , 0 ? 2C ? ?? , ,所以 ?
所以 2C ?

?
6

? 2C ?

?
6

?

9分 ? ,C ? , 6 2 3 因为 sin B ? 2sin A ,所以由正弦定理得 b ? 2a 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?

?

?

11? , 6

10 分 11 分

?
3

,即 c 2 ? a 2 ? b2 ? ab ? 3

由①②解得: a ? 1 , b ? 2 12 分 考点:三角函数化简、三角函数的周期、正弦定理、余弦定理. 19. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析; (Ⅲ) (0,3) . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)令 a ? b ? 0 即可得证; (Ⅱ)令 a ? x, b ? ? x 得, f ? ? x ? ?
答案第 5 页,总 7 页

1 ,由已 f ? x?

知 x>0 时, f(x)>1>0, x<0 时, 当 -x>0, f(-x)>0, 故对任意 x∈R, f(x)>0; (Ⅲ) 先证明 f ? x ? 为 增 函 数 : 任 取 x2>x1


则 x2 ? x1 ? 0 ,

f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0 , 故

f ? x2 ? f ? x1 ?

? f ? x2 ? ? f ? ? x ?1? f ? x ? x ? ? 11,故其为增函数. 2
2

试题解析: (Ⅰ)令 a ? b ? 0 ,则 f(0)=[f(0)]

∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 2 分

(Ⅱ)令 a ? x, b ? ? x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f ? ? x ? ? 由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0 ∴ f ??x? ?

1 f ? x?

4分

1 ? 0 ,又 x=0 时,f(0)=1>0 f ? x?

6分

∴ 对任意 x∈R,f(x)>0 7分 (Ⅲ)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 8 分 ∴

f ? x2 ? f ? x1 ?

? f ? x2 ? ? f ? ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 1

∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在 R 上是增函数 13 分 考点:抽象函数、增函数的证明、一元二次不等式解法. 20. (Ⅰ)单调递增区间是 ?1, ?? ? ,单调递减区间是 ? ??,1? ; (Ⅱ) k ? ? 0, e ? ; (Ⅲ) k ? 0 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求出函数的导数,令导数大于零解得单调增区间,令导数小于零得单调减 区间; (Ⅱ)令导数等于零得 x ? ln k ,然后对 k 在 1 处断开进行讨论,在 x ? 0 上求出函数 的最小值,令其大于零解得 k 的范围; (Ⅲ)由于存在 x0 ? [1, e] ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,则

kx0 ? 2 ln x0 ? k ?

2 ln x0 2ln x ,令 F ( x) ? ,则 k 大于 F ? x ? 的最小值. x0 x
x x

试题解析: (Ⅰ)由 k ? e 得 f ? x ? ? e ? ex ,所以 f ' ? x ? ? e ? e . 由 f ' ? x ? ? 0 得 x ? 1 ,故 f ? x ? 的单调递增区间是 ?1, ?? ? , 由 f ' ? x ? ? 0 得 x ? 1,故 f ? x ? 的单调递减区间是 ? ??,1? . (Ⅱ) 由 f ' ? x ? ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .
x x

3分 4分

5分

①当 k ? (0,1] 时, f ' ? x ? ? e ? k ? 0 ? 1 ? k ? 0? x ? 0? .此时 f ? x ? 在 [0, ??) 上单调递 增.故 f ? x ? ? f ? 0 ? ? 1 ? 0 ,符合题意. 6分

答案第 6 页,总 7 页

②当 k ? ?1, ?? ? 时, ln k ? 0 .当 x 变化时 f ' ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(0, k ) ln

ln k

(ln k, ?) ?

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增 8分

f ( x)

由此可得,在 [0, ??) 上, f ? x ? ? f ? ln k ? ? k ? k ln k . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 ,所以 1 ? k ? e . 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .

9分

(Ⅲ)由于存在 x0 ? [1, e] ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,则 kx0 ? 2 ln x0 ? k ? 令 F ( x) ?

2 ln x0 x0
12 分

2ln x 2(1 ? ln x) ,则 F '( x) ? x x2

当 x ? [1, e] 时, F '( x) ? 0 (仅当 x ? e 时取等号)

? F (x) 在 [1, e] 上单调递增, ? F ( x) min ? F (1) ? 0, 因此 k ? 0 .
考点:利用导数求函数的单调区间、利用导数求函数的最值、导数综合应用.

14 分

答案第 7 页,总 7 页


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