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高三数学复习函数部分第二讲_函数图象、性质

时间:2013-07-10

高三数学函数部分第二讲 函数图象、函数与方程、反函数、指对数函数 一、函数的图象
(一)、基本函数图象特征(作出草图) 1.一次函数: y ? kx ? b 3.反比例函数: y ? 2.二次函数: y ? ax ? bx ? c
2

k x
a x

4.指数函数: y ? a 6.幂函数: y ? x
n

x

对数函数: y ? log a x 三角函数:

5. 对勾函数: y ? x ?

(二)、函数图象变换 1.平移变换:①水平变换:y=f(x)→y=f(x-a) (a>0) ②竖直变换:y=f(x)→y=f(x)+b (b>0) 2.对称变换: ① y=f(-x)与 y=f(x)关于 ② y=-f(x)与 y=f( x)关于 ③ y=-f(-x)与 y=f(x)关于 ④ y=f -1(x)与 y=f(x)关于 ⑤ y=|f(x)|的图象是将 y=f(x)图象的 ⑥ y=f(|x|)的图象是将 y=f(x)图象的 3.伸缩变换: ① y=Af (x) (A>0)的图象是将 y=f(x)的图象的 ② y=f (ax) (a>0)的图象是将 y=f(x)的图象的 . . 对称, 对称 对称 对称 对称 y=f(x)→y=f(x+a) (a>0) y=f(x)→y=f(x)-b (b>0)

4.若对于定义域内的任意 x,若 f (a-x)=f (a+x) (或 f (x)=f (2a-x)),则 f (x)关于 若 f (a-x)+f (a+x)=2b (或 f (x)+f (2a-x)=2b),则 f (x)关于 例1 作出下列函数的图象.? (1)y= (lgx+|lgx|);?(2)y=
1 2 1 2x ?1 ;?(3)y= ( ) 2 x ?1
[来源:学科网 ZXXK][来源:学科网 ZXXK]

对称.

|x|

.?

变式训练 1:作出下列各个函数的图象: (1)y=2-2 ; (2)y=|log (1-x)|; (3)y=
1 2

x

2x ?1 .? x ?1

例2

函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如图,则函数 y=f(x)·g(x)的图象可能是 (

)?

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变式训练 2:设 a>1,实数 x,y 满足|x|-loga 1 =0,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是 (
y

)

例 3 设函数 f(x)=x -2|x|-1 (-3≤x≤3).? (1)证明:f(x)是偶函数;? (2)画出函数的图象;? (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数;? (4)求函数的值域.?

2

变式训练 3:当 x∈(1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立,则 a 的取值范围为

2

.?

二、函数与方程
例 1.(1)若 f ( x) ? A.

1 2

x ?1 ,则方程 f (4 x) ? x 的根是( x 1 B.- C.2 D.-2 2

)

(2)设函数 f ( x) 对 x ? R 都满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 恰有 6 个不同的实数根,则这 6 个实根 的和为( A.0 (3)已知 ) B.9 C.12 D.18 ) D. b 2 ? 4ac

5b ? c ( ,则有( ? 1 , a 、 b 、 c ∈R) 5a

A. b 2 ? 4ac

B. b 2 ? 4ac

C. b 2 ? 4ac

(4)关于 x 的方程 x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ? 0 的两个实根

x 、 x 满足 x1 ? ? x2 ,则实数 m 的取值范围
1 2

3 2

(5)若对于任意 a ?[?1, 1] ,函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零, 则 x 的取值范围是 变式训练 1: 当 0 ? x ? 1时,函数 y ? ax ? a ? 1 的值有正值也有负值,则实数 a 的取值范围是( A. a ? )

1 2

B. a ? 1

C. a ?

1 或a ? 1 2

D.

1 ? a ?1 2

变式训练 2: 已知函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 3) ? f ( x ? 1) , x ∈[-1,1]时, f ( x) ?| x | , y ? f ( x) 与 且 则

y ? log5 x 的图象交点的个数是(
A.3 B.4 C.5

) D.6

例 3. 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx (a, b 为常数,且 a ? 0) 满足条件: f ( x ? 1) ? f (3 ? x) ,且方程 f ( x) ? 2 x 有等根. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)是否存在实数 m 、 n (m ? n) ,使 f ( x) 定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n] ,如果存在,求出

m、n 的值;如果不存在,说明理由.

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变式训练 3:已知函数 f ( x) ?

1 1 ? ( (a ? 0, x ? 0) . a x

(1)求证: f ( x) 在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f ( x) ? 2 x 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)若 f ( x) 在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求 a 的取值范围.

例 4.若函数 f ( x) ? 2 A. 0 ? m ? 1

?| x ?1 |

? m 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的取值范围是(
C. m ? 1或m ? 0 D. m ? 1或m ? 0



B. 0 ? m ? 1

变式训练 4:对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ∈R,使 f ( x0 )=x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的不动点. 已知函数

f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 (a ? 0)
(1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求 f ( x) 的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;

三、反函数
【例 1】求下列函数的反函数:

1 (3)y= 2 (x≤ 0) . 3x ? 5 1 x ?1 (1)y= (x≠- ) . 2x ? 1 2 ? x + 1 ( -1≤x≤ 0) ? 2 (2)y=x - 2x+ 3,x∈ ( -∞, 0]. (4)y= ? ?- x (0<x≤1) ?
【例 2】求出下列函数的反函数,并画出原函数和其反函数的图像.

(1)y= x ? 1-1

(2)y=-3x 2 -2(x≤0)

【例3】已知函数f(x) =

3x ? 1 1 (x≠-a,a≠ ) . x?a 3

(1)求它的反函数;(2)求使 f-1(x)=f(x)的实数 a 的值.

【例4】已知函数y=f(x) =
它的反函数仍是自身.

ax ? b 中,a、b、c、d均不为零, 试求 a、b、c、d 满足什么条件时, cx ? d

【例 5】设点 M(1,2)既在函数 f(x)=ax2+b(x≥0)的图像上,又在它的反函数图像上,(1)求 f-1(x),(2) 证明 f-1(x)在其定义域内是减函数.

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【例 6】若函数 f ( x) ?

x ?1 ,求 f x?2

?1

( 2 ) 的值。

【例7】

已知a∈R,且a≠ 0,a≠1.设函数f(x) =

x ?1 ax ? 1

1 (x∈R且x≠ ) ,证明y=f(x) 的图像关于直线y=x对称. a

三、指对数函数
(一)指数函数 经典例题:求函数 y ? 3 当堂练习: 1.(1)已知 x ? [-3,2],求 f ( x) ? (2)已知函数 f ( x) ? a (3)已知函数 y ? a
2x
x 2 ?3 x ? 3 ? x 2 ? 2 x ?3

的单调区间和值域.

1 1 ? x ? 1 的最小值与最大值. x 4 2

在[0,2]上有最大值 8,求正数 a 的值.

? 2a x ? 1(a ? 0, a ? 1) 在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

2.求下列函数的单调区间及值域: (1) f ( x) ? ( )

2 3

x ( x ?1)



(2) f ( x) ?

1 ? 2x ; 4x

(3)求函数 f ( x ) ? 2

? x2 ?2x?2

的递增区间.

(二)对数函数
2 经典例题:已知 2 log 1 x ? 5 log 1 x ? 3 ? 0 求函数 f ( x) ? (log 2 2 2

x 4 ) ? (log 1 ) 的值域. 8 x 2

当堂练习: 1.若 lg 2 ? a, lg 3 ? b ,则 lg 0.18 ? ( A. 2a ? b ? 2 2.函数 y ? B. a ? 2b ? 2 ) C. 3a ? b ? 2 ) C.[0, ??) D.{0} ) D. (??, ?1) ? (9, ??) D. a ? 3b ? 1

lg( ?3 x 2 ? 6 x ? 7) 的值域是(
B.[0,1]

A. [1 ? 3,1 ? 3] 3.设函数 f ( x ) ? ?

? x2 ,

x?0

?lg( x ? 1), x ? 0

若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围为( C. (??, 9)

A. (-1,1) 4.求函数 y ? (log 2

B. (-1,+∞)

x x ) ? (log 2 ) 在区间 [2 2 ,8] 上的最值. 3 4
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