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上海市行知中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题(宝山区统考) Word版含答案

时间:2015-12-19


一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 函数 y ? log2 ( x ? 1) 的定义域为 . . .

设全集 U ? R ,集合 S ? {x | x ? ?1} ,则 ? US ?

设关于 x 的函数 y ? (k ? 2) x ? 1 是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范围是 已知 x ? log7 5 ,用含 x 的式子表示 log7 625 ,则 log7 625 ? 函数 y ? .

x ? 4 ? x ? 的最大值为
x

. . .

若函数 f ( x) ?
2

2 ? a 是奇函数,则实数 a 的值为 3 ?1

n ? R )的解集为 ? 2 , 若不等式 x ? mx ? n ? 0 ( m , 3? ,则 m ? n ?

设 ? : 0 ? x ? 1 , ? : m ? x ? 2m ? 5 ,若 ? 是 ? 的充分条件,则实数 m 的取值范围 是 . .

9.

b 均为正数,则函数 f ( x) ? (a2 ? b2 ) x ? ab 的零点的最小值为 设a,

10. 给出下列命题: ①直线 x ? a 与函数 y ? f ( x) 的图象至少有两个公共点; ②函数 y ? x 在 ? 0 , ? ?? 上是单调递减函数;
?2

③幂函数的图象一定经过坐标原点; ④函数 f ( x) ? a
x ?2

a ? 1 ) 的图象恒过定点 ? 2 , ( a ? 0, 1? .

2) ,则函数 y ? f ?1 ( x) ?1 ⑤设函数 y ? f ( x) 存在反函数,且 y ? f ( x) 的图象过点 (1,

0) . 的图象一定过点 (2 ,
其中,真 命题的序号为 . .
2
2

? 1 ? x2 ? 2 1 ? 2x ? ? .则 ? ,且 f ( x) ? ? 11. 设函数 f ( x) ( x ? R )满足 f ( x) ? ? 2 ? 2 ? 3 3 ? 1? x ? ? 1? x ? f (0) ? .

1

b, c 均为常数) 12. 若 F ( x) ? a ? f ( x) g ( x) ? b ? ? f ( x) ? g ( x)? ? c ( a , ,则称 F ( x) 是由函数

f ( x) 与 函 数 g ( x) 所 确 定 的 “ a ? b ? c ” 型 函 数 . 设 函 数 f1 ( x) ? x? 1与 函 数
2 ,若 f ( x) 是由函数 f1?1 ( x) ? 1 与函数 f 2 ( x) 所确定的“ 1 ? 0 ? 5 ” f2 ( x) ? x ? 3 x? 6 1 n 满足 f (m) ? f (n) ? 6 ,则 m ? n 的值为 型函数,且实数 m , . 2

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 12 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 3 分,否则一律得零分. 13. “ a ? 1 ”是“ a ? 0 ” 的????????????????????????(



( A )充分非必要条件 ( C )充要条件

( B )必要非充分条件 ( D )既非充分又非必要条件

14. 函数 y ? x ?

4 ( x ? 0) 的递 减区间为 ??????????????????( x
( B ) ?2 , 4? ( C ) ?2 , ? ?? ( D ) ?0 , 2?



( A ) ?0 , 4?

t 均为实常数) 15. 如图为函数 f ( x) ? t ? loga x 的图象( a , ,

则下列结论正确的是 ???????????(



t ?0 ( A ) 0 ? a ? 1,
t?0 ( C ) a ? 1,

t ?0 ( B ) 0 ? a ? 1,
t ?0 ( D ) a ? 1,

16. 设 g ( x) ? f ( x ? 2m) ? x , f (t ) 为不超过实数 t 的最大整 数,若函数 g ( x) 存在最大值,

则正实数 m 的最小值为 ???????????????????????(



( A)

1 16

(B)

1 12

(C )

1 8

(D)

1 4

2

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 52 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤.

? x 2 ? 3x ? 10 ? 0 ? 17. (本题满分 8 分)解不等式组: ? x ? 1 . ? 1 ? x ?

18. (本题满 分 8 分)本题共有 2 个小题,第 1 题满分 4 分,第 2 题满分 4 分. 某“农家乐”接待中心有客房 200 间,每间日租金为 40 元,每天都客满.根据实际需要, 该中心需提高租金.如果每间客房日租金每增加 4 元,客房出租就会减少 10 间. (不考虑其他 因素) (1)设每间客房日租金提高 4 x 元( x ? N , ,记该中心客房的日租金总收入为 y , x ? 20 ) 试用 x 表示 y ; (2)在(1)的条件下,每间客房日租金为多少时,该中心客房的日租金总收入最高?
?

19. (本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 题满分 3 分,第 2 题满分 7 分.

1). 已知 f ( x) ? x ? a ( a ? ?2 )的图象过点 ( 2 ,
(1)求实数 a 的值; (2)如图所示的平面直角坐标系中,每一个小方格的边长 均为 1 . 试在该坐 标系中作出函数 y ?
y

f ( x ? a) ? a 的简 f ( x)

图,并写出(不需要证明)它的定义域、值域、奇偶性、 单调区间.
x O 1

3

20. (本题满分 12 分)本题共有 3 个小题,第 1 题满分 3 分,第 2 题满分 3 分,第 3 题满分 6 分. 设函数 f ( x) ? logm (1 ? mx) ? logm (1 ? mx) ( m ? 0 ,且 m ? 1 ) . (1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)当 m ? 2 时,解方程 f (6 x ) ? 1; (3)如果 f (u) ? u ? 1 ,那么,函数 g ( x) ? x 2 ? ux 的图象是否总在函数 h( x) ? ux ? 1 的图象 的上方?请说明理由.

21. (本题满分 14 分)本题共有 3 个小题,第 1 题满分 3 分,第 2 题满分 5 分,第 3 题满分 6 分.

y, z, w ,如果 xw ? yz ,那么称 ? x , 对于四个正数 x , . y? 是 ? z , w? 的“下位序对”

3 7, 11,试求 ? 2 , (1)对于 2 ,, ; 7 ? 的“下位序对” b ,, c d 均为正数,且 ? a , (2)设 a , ,试判断 b? 是 ? c , d ? 的“下位序对”
的大小关系; (3)设正整数 n 满足条件:对集合 {t | 0 ? t ? 2014}内的每个 m ? N ,总存在 k ? N ,使 得 ?m, ,且 ? k , .求正整数 2014? 是 ? k , n ? 的“下位序对” n ? 是 ? m ?1, 2015? 的“下位序对”
? ?

c a a?c ,, 之间 d b b?d

n 的最小值.

4

宝山区 2014 学年度第一学期期 末高一数学质量监测试卷 参考答案

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 52 分) 17. (本题满分 8 分) 解:原不等式组可化为

?( x ? 5)( x ? 2) ? 0 ? ,……………………………………………………………………( 2? ) ? x ?1 ? 1 ? 0 ? x ?
解得

??5 ? x ? 2 ? ,……………………………………………………………………………………… ?1 ?0 ? ? x
…………( 4? ) 即

??5 ? x ? 2 ,……………………………………………………………………………………… ? ?x ? 0
……………( 6 ? ) 从而有 0 ? x ? 2 , …………………… ……………………………………………………………………………( 7 ? ) 所以,原不等式的解集为 ? 0 , 2? . … … …………………………………………………………………………( 8 ? )

18. (本题满分 8 分)本题共有 2 个小题,第 1 题满分 4 分,第 2 题满分 4 分. 解: (1)若每间客房日租金提高 4 x 元,则将有 10 x 间客房空 出,……………………………………… ……( 2? )
5

故 该 中 心 客 房 的 日 租 金 总 收 入 为 y ? (40 ? 4 x)(200 ? 10 x) , … … ……………………………………………( 3? ) 即

y ? 40(10 ? x)(20 ? x)







. …………………………………………………………( 4? ) x ? N? , x ? 20 ) (2) y ? 40(10 ? x)(20 ? x) ? 40 ? ? ……………………( 6 ? ) 当 10 ? x ? 20 ? x 即 x ? 5 时,

? (10 ? x) ? (20 ? x) ? ? 40 ? 225 ? 9000 ,……… ? 2 ? ?

2

ymax ? 9000 , …………………………………………………………………( 7 ? )
即每间客房日租金为 40 ? 4 ? 5 ? 60(元) 时, 该中心客房的日租金总收入最高, 其值为 9000 元.……( 8 ? )

………………………………………………………………………………………… ……………………( 6 ? ) 定义域:
6

1? ? ?1, ? ?? ,……………………………………………………………………………… ? ?? ,
…………( 7 ? ) 值 域:

1? ,……………………………………………………………………………………………… ??1,
………( 8 ? ) 奇偶性:非奇非偶函 数,………………………………………………………………………………………………… ( 9? ) 单调(递减)区间:

0? .………………………………………………………………………………………… ? ?? ,
( 10? ) 20. (本题满分 12 分)本题共有 3 个小题,第 1 题满分 3 分,第 2 题满分 3 分,第 3 题满分 6 分. 解 :( 1 ) 由 已 知 条 件 可 得 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 ? ? 称;……………………………………( 1? ) 又

? 1 1? , ? ,关于原点对 ? m m?

f (? x) ? logm (1 ? mx) ? logm (1 ? mx) ? ? f ( x)
x) ? ?f( x) ( 2 ? ) , …………………………………………
f ( x)
为 定 义 域





f (?


? 1 1? ?? , ? ? m m?









数.……………………………………………………………………………( 3? ) ( 2 ) 当

m?2

时 ,

f ( x) ? log2 (1 ? 2 x) ? log2 (1 ? 2 x) , 由

f ( x6 ? ) 得1

log2 (1 ? 2 ? 6x ) ? log2 (1 ? 2 ? 6x ) ? 1 ,…( 4? )
去 对
x x





1? ? 1? ?

2 6 ? 2 ,……………………………………………………………………………………… 2 6
1 ,从而 x ? ?1 .经检验, x ? ?1 为原方程的 6

…………( 5 ? ) 解得 6 ?
x

解.…………………………………………………………( 6 ? )

7

注意到 F (0) ? 1 ? 0 , F (1) ? f (1) ? log m

1? m ? 0 ,所以函数 F ( x) 在 (0 , 1) 上存在唯一零 1? m
2

1) (且 u 唯一) 点,即满足 f (u) ? u ? 1 的 u ? (0 , ,故 u ? 1 .综上所述,
u 2 ? 1 .………………………………………………………( 10? )
于是 g ( x) ? h( x) ? x ? ux ? ? ux ? 1? ? ? x ? u ? ? 1 ? u ? 1 ? u ? 0 ,即
2 2 2 2

?

?

g ( x) ? h( x) ? 0 ,…………………( 11? )
2 也就是说,对于任一 x ? R ,均有 g ( x) ? h( x) ,故函数 g ( x) ? x ? ux 的图象总在函数

h( x) ? ux ? 1









方.…………………………………………………………………………………………………… …………………( 12? )

方法二:注意到 f ( x) 的定义域为 ? ?

? 1 1? , ?. ? m m?

8

21. (本题满分 14 分)本题共有 3 个小题,第 1 题满分 3 分,第 2 题满分 5 分,第 3 题满分 6 分. 解 : ( 1 )

?3 ? 7 ? 11? 2 ,………………………………………………………………………………………
……………( 1? )

?? 2 , 7?













11? .………………………………………………………………………………………( 3? ) ?3 ,
( 2 )

?

b? ?a ,



d? ?c ,

















? ad ? bc ,……………………………………………………………( 5 ? )
注 意 到 a ,,, b c ? d
+

, R 故

a? c a ? c a bc ? ad ? ? ? ?0 , 即 b? d b ? d b ?b ? d ? b

a ?0 , 所 以 b

a? c ? b? d


a ;………… ………( 6 ? ) b
理 .…………………………………………………………………………………………

………………( 7 ? ) 综 上

a? ? b?

c d







9

a a?c c ? ? .…………………………………………………………………………………… b b?d d ………( 8 ? )
( 3 ) 依 题 意 , 得

?mn ? 2014k ,……………………………………………………………………………… ? ?(m ? 1)n ? 2015k
……( 9 ? ) 注意到 m , n , k 均为正整数,故 ? ………………………………………( 11? )

k ?m n? 1 ? 2 0 1 4 ,…………………… ?1 ? 2 0 1 5 k ?m n? n
4029 ,该式对集合 2014 ? m

mn ? n ? 1)? 2014 ? 2015 k? 于是 2014(

n? 2015( mn ? ,可得 1)

{t | 0 ? t ? 2014} 的每个正整数 m 都成立,故 n ?

……………………………………………………( 12? ) 注 意 到

4029 ? 4029 . … … … … … … 2014 ? 2013

m k m ?1 ? ? , 据 ( 2 ) 可 得 2014 n 2015 m m ? (m ? 1) m ?1 ? ? ,…………………………………………( 13? ) 2014 2014 ? 2015 2015 m 2m ? 1 m ? 1 ? ? ?t ? 2 0 1 4的 } 每 个 m? N? , 总 存 在 即 , 于 是 对 {t | 0 内 2014 4029 2015
k ? 2m ? 1 ? N ? , 使得 ? m , “下位序对” , 且 ?k , “下 2014? 是 ? k , n? 的 n ? 是 ? m ?1, 2015? 的
位序对” ,因此,正整数 n 的最小值为 4029 .……( 14? )

10


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