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解析几何在高中数学中的应用及解题方法 doc

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高考专题:解析几何常规题型及方法

一、高考风向分析:
高考解析几何试题一般共有 3--4 题(1--2 个选择题, 0--1 个填空题, 1 个解答题), 共计 20 多分, 考查的知识点约为 20 个左右,其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知识,大多概 念性较强,小巧灵活,思维多于计算;而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥 曲线的位置关系、轨迹方程,以向量为载体,立意新颖,要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题, 解决问题。
二、本章节处理方法建议:
纵观 2006 年全国各省市 18 套文、理高考试卷,普遍有一个规律:占解几分值接近一 半的填空、选择题难度不大,中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中;而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想,其原因主要体现在以下几个方面:(1)解析几何是代数与 几何的完美结合,解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识,形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题,因而成为高中数学综合 能力要求最高的内容之一(2)解析几何的计算量相对偏大(3)在大家的“拿可拿之分” 的理念下,大题的前三道成了兵家必争之地,而排放位置比较尴尬的第 21 题或 22 题(有 时 20 题)就成了很多人遗忘的角落,加之时间的限制,此题留白的现象比较普遍。
鉴于解几的特点,建议在复习中做好以下几个方面.1.由于高考中解几内容弹性很 大。有容易题,有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题 较难,就拼命地去搞难题,套新题,这样往往得不偿失;端正心态:不指望将所有的题攻 下,将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上,这样复习,高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下,然后对于大题的第一个小问争取得分,第二小题能拿几 分算几分。
三、高考核心考点
1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等) 2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角 公式等) 3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为 0 等 等) 4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系 数法等) 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题
四、常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面

(1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为 (x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) ,代入方程,然后

两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。

典型例题

给定双曲线 x 2

?

y2 2

? 1。过

A(2,1)的直线与双曲线交于两点 P1

及 P2 ,求线段 P1 P2 的中点 P

的轨迹方程。

分析:设 P1 (x1 , y1 ) , P2 (x2 , y2 ) 代入方程得 x12

?

y12 2

? 1 , x22

?

y

2 2

2

? 1。

两式相减得

( x1

?

x2

)( x1

?

x2

)

?

1 2

(

y1

?

y2

)(

y1

?

y2

)

?

0



又设中点 P(x,y),将 x1 ? x2 ? 2x , y1 ? y2 ? 2y 代入,当 x1 ? x2 时得

2x ? 2 y · y1 ? y2 ? 0 。 2 x1 ? x2

又 k ? y1 ? y2 ? y ? 1 , x1 ? x2 x ? 2

代入得 2x 2 ? y 2 ? 4x ? y ? 0 。

当弦 P1 P2 斜率不存在时,其中点 P(2,0)的坐标也满足上述方程。

因此所求轨迹方程是 2x 2 ? y 2 ? 4x ? y ? 0
说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。 变式练习:
给定双曲线 2x2 - y2 = 2 ,过点 B(1,1)能否作直线 L,使 L 与所给双曲线交于两点 Q1、Q2 两点,且点 B 是线段 Q1Q2 的中点?如果直线 L 存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由. (2)焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点 F1 、 F2 构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

典型例题



P(x,y)为椭圆

x a

2 2

y2 ?
b2

? 1 上任一点, F1 (?c,0) , F2 (c,0) 为焦点, ?PF1F2

? ? , ?PF2 F1

??。

(1)求证离心率 e ? sin(? ? ? ) ; sin ? ? sin ?

(2)求 | PF1|3 ? PF2 |3 的最值。

分析:(1)设 | PF1|? r1 , | PF2

?

r2

,由正弦定理得

r1 sin?

?

r2 sin ?

?

2c sin(? ? ?)





r1 ? r2 ?

2c



s i n? ? s i n? s i n?( ? ?)

e ? c ? s i n?( ? ? ) a s i n? ? s i n?

(2) (a ? ex)3 ? (a ? ex)3 ? 2a 3 ? 6ae2 x 2 。

当 x ? 0 时,最小值是 2a 3;

当 x ? ?a 时,最大值是 2a3 ? 6e2a3。

变式练习:



F1

、F2

分别是双曲线

x a

2 2

y2 ?
b2

? 1(a>0,b>0)的左、右两个焦点,P 是双曲线上的一点,若∠P=θ

,求证:S△=b 2 cot ? 2

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合
的办法

典型例题 抛物线方程y2 ? p(x ? 1) (p ? 0),直线x ? y ? t与x轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为 A、B,且 OA⊥OB,求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。 (1)证明:抛物线的准线为1:x ? ?1 ? p
4 由直线 x+y=t 与 x 轴的交点(t,0)在准线右边,得 t ? ?1 ? p ,而4t ? p ? 4 ? 0
4



?x ? ?y

?y 2?

?t p(x

?

消去y得 1)

x2

? (2t ? p)x ? (t 2

? p) ? 0

?? ? (2t ? p)2 ? 4(t 2 ? p) ? p(4t ? p ? 4) ? 0
故直线与抛物线总有两个交点。 (2)解:设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2) ? x1 ? x2 ? 2t ? p,x1x2 ? t 2 ? p

?OA?OB,?k OA ? k OB ? ?1

则 x1x2 ? y1y2 ? 0

又 y1y2 ? (t ? x1 )(t ? x2 )

? x1x2 ? y1y2 ? t 2 ? (t ? 2)p ? 0 ?p ? f(t) ? t2
t?2 又p ? 0,4t ? p ? 4 ? 0得函数f (t)的定义域是

(?2,0) ? (0, ? ?)

变式练习: 直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于两点 A、B 两点

(1)若 A、B 都位于双曲线的左支上,求 a 的取值范围 (2)当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆经过坐标原点? (4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)

求最值。 典型例题
已知抛物线 y2=2px(p>0),过 M(a,0)且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A、B,|AB|≤2p

(1)求 a 的取值范围;(2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值。 分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1),可以设法得到关于 a 的不等式,通过解不等式求出 a

的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将 a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出 a 的范围;对于(2)

首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。

解:(1)直线 L 的方程为:y=x-a,将 y=x-a 代入抛物线方程 y2=2px,得:设直线 L 与抛物线两交点的坐标分别为 A

?4(a ? p) ? 4a 2 ? 0

(x1,y1),B(x2,y2),则

? ?

x1

?

x2

?

2(a ?

p)

,又 y1=x1-a,y2=x2-a,

? ?

x1

x

2

?

a2

?| AB |? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2[(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ] ? 8 p( p ? 2a) ?0 ?| AB |? 2 p,8 p( p ? 2a) ? 0,?0 ? 8 p( p ? 2a) ? 2 p,

解得:

?

p

?

a

?

?

p .

2

4

(2)设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q,令其坐标为(x3,y3),则由中点坐标公式得:

x3

?

x1

? x2 2

?a

?

p,

y3

?

y1

? y2 2

?

( x1

? a) ? (x2 2

? a)

?

p.

所 以 |QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2. 又 △ MNQ 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以 |QM|=|QN|= 2P , 所 以 S △

NAB=

1 | AB | ? | QN |? 2 p? | AB |? 2 p ? 2 p ?

2

2

2

2 p 2 ,即△NAB 面积的最大值为

2P 2。

变式练习:

双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a>0,b>0)的两条准线间的距离为 3,右焦点到直线 x+y-1=0 的距离为

2 2

(1)求双曲线的方程
(2)设直线 y=kx+m(k ? 0 且 m ? 0 )与双曲线交于两个不同的点 C、D,若 A(0,-1)且 AC = AD ,求实数 m 的取值范
围 (5)求曲线的方程问题 1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题
已知直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0)和点 B(0,8)关于 L 的对 称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程。
分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。

设出它们的方程,L:y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0) 设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为:

A/(

k k

2 2

? ?

1 1

,?

k

2k 2?

1

),B(

16 k k2 ?

1

,

8(k 2 k2

? 1) ?1

)。因为

A、B

均在抛物线上,代入,消去

p,得:k2-k-1=0.解得:

1? 5 2 5

k=

,p= .

2

5

所以直线 L 的方程为:y= 1 ?

5 x,抛物线 C 的方程为 y2= 4

5
x.

2

5

变式练习:
在面积为 1 的△PMN 中,tanM= 1 ,tanN=-2,建立适当的坐标系,求出以 M、N 为焦点且过点 P 的椭圆方程。 2

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x2+y2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|

的比等于常数 ? ( ? >0),求动点 M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线。

M

分析:如图,设 MN 切圆 C 于点 N,则动点 M 组成的集合是:P={M||MN|= ? |MQ|},

N

由平面几何知识可知:|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,将 M 点坐标代入,可得:

( ? 2-1)(x2+y2)-4 ? 2x+(1+4 ? 2)=0.

O

Q

当 ? =1 时它表示一条直线;当 ? ≠1 时,它表示圆。这种方法叫做直接法。
变式练习:
过抛物线 y 2 =4x 的焦点 F 作斜率为 k 的弦 AB,且 AB ≤8,此外,直线 AB 和椭圆 3x 2 +2y 2 =2 交于不同的两点。

(1)求直线 AB 的斜率 k 的取值范围 (2)设直线 AB 与椭圆相交于 C、D 两点,求 CD 中点 M 的轨迹方程 (6) 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这 交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)

典型例题 已知椭圆 C 的方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 y ? 4x ? m ,椭圆 C 上有不同两 43

点关于直线对称。

分析:椭圆上两点 (x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) ,代入方程,相减得 3(x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ?

4( y1 ? y2 ) ( y1 ? y2 ) ? 0 。

又 x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 , k ? y1 ? y2 ? ? 1 ,代入得 y ? 3x 。

2

2

x1 ? x2

4

又由

?y

? ?

y

? ?

3x 4x

?

m

解得交点

(?m,?3m)



交点在椭圆内,则有 (?m)2 ? (?3m)2 ? 1 ,得 ? 2 13 ? m ? 2 13 。

4

3

13

13

变式练习:

为了使抛物线 ( y ? 1)2 ? x ? 1上存在两点关于直线 y ? mx 对称,求 m 的取值范围。

(7)两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用 k1·k2

?

y1·y2 x1·x2

? ?1 来处理或用向量的坐标运算来处理。

典型例题 已知直线 l 的斜率为 k ,且过点 P(?2,0) ,抛物线 C: y 2 ? 4(x ? 1) ,直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交

点(如图)。
(1)求 k 的取值范围;
(2)直线 l 的倾斜角? 为何值时,A、B 与抛物线
相垂直。 y
分析:(1)直线 y ? k(x ? 2) 代入抛物线方程得

k 2 x2 ? (4k 2 ? 4)x ? 4k 2 ? 4 ? 0 , 由 ? ? 0,得 ?1 ? k ? 1(k ? 0) 。

B

A

P

(-2,0)

O

C 的焦点连线互 x

(2)由上面方程得 x1x2

?

4k 2 ? 4 k2



y1 y2 ? k 2 (x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 4 ,焦点为 O(0,0) 。

由 kOA ·kOB ?

y1 y2 x1 x2

?

k2 k2 ?1

?

?1 ,得 k

?

?

2, 2

? ? arctan 2 2

或? ? ? ? arctan 2 2

变式练习:

经过坐标原点的直线 l 与椭圆 (x ? 3)2 ? y 2 ? 1相交于 A、B 两点,若以 AB 为直径的圆恰好通过椭圆左焦点 F,求

6

2

直线 l 的倾斜角。
B:解题的技巧方面

在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲 线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明: (1)充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条 件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。

典型例题 设直线 3x ? 4y ? m ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP?OQ ,求

m 的值。

解: ?圆 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 过原点,并且 OP?OQ ,

? PQ 是圆的直径,圆心的坐标为 M (? 1 ,1) 2

又 M (? 1 ,1) 在直线 3x ? 4y ? m ? 0 上, 2

? 3 ? (? 1) ? 4 ? 1 ? m ? 0, ? m ? ? 5 即为所求。

2

2

评注:此题若不充分利用一系列几何条件:该圆过原点并且 OP?OQ ,PQ 是圆的直径,圆心在直线 3x ? 4y ? m ? 0

上,而是设 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 ) 再由 OP?OQ 和韦达定理求 m ,将会增大运算量。
变式练习:
已知点 P(5,0)和圆 O: x 2 ? y 2 ? 16 ,过 P 作直线 l 与圆 O 交于 A、B 两点,求弦 AB 中点 M 的轨迹方程。
评注:此题若不能挖掘利用几何条件 ?OMP ? 90?,点 M 是在以 OP 为直径的圆周上,而利用参数方程等方法,
计算量将很大,并且比较麻烦。 二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题 已知中心在原点 O,焦点在 y 轴上的椭圆与直线 y ? x ? 1相交于 P、Q 两点,且 OP?OQ ,| PQ|? 10 , 2
求此椭圆方程。
解:设椭圆方程为 ax 2 ? by 2 ? 1(a ? b ? 0) ,直线 y ? x ? 1与椭圆相交于 P (x1,y1 ) 、 Q(x2 ,y2 ) 两点。

?y ? x ?1

由方程组 ??ax2

? by2

消去
?1

y 后得

(a ? b)x 2 ? 2bx ? b ? 1 ? 0

? x1

?

x2

?

? 2b a?b

,x1 x2

?

b?1 a?b

由 kOP ? kOQ ? ?1 ,得 y1 y2 ? ?x1x2

(1)

又 P、Q 在直线 y ? x ? 1上,

? ?

y1

?y2

? ?

x1 x2

? 1, ? 1,

(2) (3)

? y1 y2 ? (x1 ? 1)(x2 ? 1) ? x1x2 ? (x1 ? x2 ) ? 1

把(1)代入,得 2x1x2 ? (x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,

即 2(b ? 1) ? 2b ? 1 ? 0 a?b a?b

化简后,得

a ?b ? 2

(4)

由 | PQ|?

10 2

,得 (x1

?

x2 )2

? ( y1

?

y2 )2

?

5 2

? (x1

?

x2 )2

?

5 4

,(

x1

?

x2 )2

? 4x1x2

?

5 4



( 2b )2 ? 4(b ? 1) ? 5 a?b a?b 4

把(2)代入,得 4b2 ? 8b ? 3 ? 0 ,解得 b ? 1 或 b ? 3

2

2

代入(4)后,解得 a ? 3 或 a ? 1

2

2

由 a ? b ? 0 ,得 a ? 3 ,b ? 1 。

2

2

?所求椭圆方程为 3x 2 ? y 2 ? 1 22

评注:此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了计算。 变式练习:

若双曲线方程为 x 2 a2

y2 ? b2

? 1 ,AB 为不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为 AB 中点,设 AB、OM 的斜率分别为

k AB 、kOM ,则 k AB ? kOM

?

b2 a2

三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。

典型例题 求经过两已知圆 C1:x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 和 C2 :x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 的交点,且圆心在直线 l : 2x ? 4y ? 1 ? 0上的圆的方程。
解:设所求圆的方程为:

x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? ?(x2 ? y2 ? 2 y ? 4) ? 0

即 (1 ? ?)x2 ? (1 ? ?) y2 ? 4x ? 2(1 ? ?) y ? 4? ? 0 ,

其圆心为 C( 2 , ? ? 1 ) 1?? ? ?1

又 C 在直线 l 上,? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? 1 ? 1 ? 0 ,解得 ? ? 1 ,代入所设圆的方程得 x 2 ? y 2 ? 3x ? y ? 1 ? 0 为

1?? ? ?1

3

所求。

评注:此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点,故简化了计算。

变式练习:

某直线 l 过直线 L1:4x-3y-12=0 和 L2:7x-y+28=0 的交点,且倾斜角为直线 L1 的倾斜角的一半,求此直线 l 的方 程

四、充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角

代换法。

典型例题

P

为椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1上一动点,A 为长轴的右端点,B

为短轴的上端点,求四边形 OAPB

面积的最大值

及此时点 P 的坐标。

变式练习: 已知 P(x,y)是椭圆 x2+4y2=1 上任一点,试求 P 到直线 x + y – 2 = 0 的最小值及此时 P 的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果,减少运算过程
一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是:把直线方程 y ? kx ? b 代入圆锥曲线方程中,得到型如

ax2 ? bx ? c ? 0 的方程,方程的两根设为 x A , xB ,判别式为△,则 | AB|?

1? k 2 ·| xA ? xB |?

1? k 2· △ ,若 |a|

直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。

例 求直线 x ? y ? 1 ? 0 被椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 16 所截得的线段 AB 的长。

② 结合图形的特殊位置关系,减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。



F1



F2

是椭圆

x2 25

?

y2 9

? 1 的两个焦点,AB 是经过 F1 的弦,若 | AB|? 8 ,求值| F2 A | ? | F2 B |

③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离

例 点 A(3,2)为定点,点 F 是抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,点 P 在抛物线 y 2 ? 4x 上移动,若| PA|?| PF|取得

最小值,求点 P 的坐标。
五、高考试题选编

1. 过抛物线 y2 ? 6x 的焦点 F,作弦 AB?x 轴于 A、B 两点,则弦长 AB 等于( )

A. 6

B. 18

C. 6 2

D. 36

2. 若直线 y ? kx ? 1 与焦点在 x 轴上的椭圆 x2 ? y2 ? 1总有公共点,则实数 m 的取值范围是( 5m

A. (0,5)

B. (1,5)

C. [1,5)

3. 直线 y ? x ? 1被椭圆 3x2 ? 4y2 ? 12 所截得的弦的中点坐标是(



) D. [1,5]

A. (? 4 , 3) 77

B. ( 4 , 11) 77

C. (? 8 , ? 1) 77

4. 过点 A (?1, 5) 引抛物线 y ? x2 的一条弦,使该弦被 A 点平分,则该弦所在直线方程为(

2

4

A. 4x ? 2y ? 1 ? 0

B. x ? 2y ? 4 ? 0

C. 4x ? 2y ? 9 ? 0

D. x ? 2y ? 6 ? 0

D. ( 8 , 15) 77 )

5. 设 x,y ?R 且 3x2 ? 4y2 ? 12 ,则 x2 ? y2 的最大值与最小值分别是(



A. 2, 3

B. 4,2 3

C. 4,3

D. 8,6

6. P 是抛物线 y2 ? x 上的点,F 是抛物线的焦点,则点 P 到 F 与 P 到 A (3, ? 1) 的距离之和的最小值是(

A. 3

B. 13 4

) C. 4

D. 7 2

7. 已 知 圆 C : (x ? a)2 ? (x ? 2)2 ? 4(a ? 0)及直线l : x ? y ? 3 ? 0.当直线l被C截得 的 弦 长 为 2 3 时 , 则 a=





A. 2

B. 2 ? 2

C. 2 ?1

D. 2 ?1

8.(03 全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点 F ( 7,0), 直线y ? x ?1与其相交于 M、N 两点,MN 中点的横坐标为

? 2 , 则此双曲线的方程是(



3

A. x 2 ? y 2 ? 1 34

B. x 2 ? y 2 ? 1 43

C. x 2 ? y 2 ? 1 52

D. x 2 ? y 2 ? 1 25

9.(03 江苏)已知长方形四个顶点 A(0,0),B(2,0),C(2,1)和 D(0,1),一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB

夹角为θ 的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4(入射角等于反射角).设 P4 的

坐标为(x4,0).若 1< x4<2,则 tanθ 的取值范围是





A. (1 ,1) 3

B. (1 , 2) 33

C. ( 2 , 1) 52

D. (2 , 2) 53

10 . (03 广 东 ) ( 双 曲 线 虚 轴 的 一 个 端 点 为 M , 两 个 焦 点 为 F1、F2,?F1MF2 ? 120 ? , 则 双 曲 线 的 离 心 率 为





A. 3

6
B.
2

6
C.
3

3
D.
3

11. 直线 y ? kx ? 1 与抛物线 (y ? 1)2 ? 4(x ? 2) 只有一个公共点,则 k 的值为________。

12. 曲线 C: y ? (x ? 2)2 关于直线 x ? y ? 3 ? 0 对称的曲线 C' 的方程_________。

13.(03 年上海)

给出问题: F1、F2 是双曲线 x 2 16

?

y2 20

? 1 的焦点,点 P 在双曲线上。若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9,

求点 P 到焦点 F2 的距离 PF2 ? ________ 。

某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由 PF1 ? PF2 ? 8 ,即 9 ? PF2 ? 8 ,得 PF2 ? 1或 17。
该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在上面空格内;若不正确,将正确结果填在上面空格内。
14. (03 年上海)在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4,? 3) 为 ?OAB 的直角顶点,已知 AB ? 2 OA ,且点 B 的纵坐
标大于零。

(1)求向量 AB 的坐标。 (2)求圆 x 2 ? 6x ? y 2 ? 2 y ? 0关于直线 OB 对称的圆的方程。

(3)是否存在实数 a ,使抛物线 y ? ax2 ?1上总有关于直线 OB 对称的两个点?若不存在,说明理由;若存在,求 a
的取值范围。 15. 已知抛物线 C: y ? x2 ? 2m2 x ? (2m2 ? 1)(m ?R) (1)求证:抛物线 C 与 x 轴交于一定点 M; (2)若抛物线与 x 轴正半轴交于 N,与 y 轴交于 P,求证:PN 的斜率是一个定值; (3)当 m 为何值时,三角形 PMN 的面积最小,并求此最小值。
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