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【南方凤凰台】(江苏专用)高考数学大一轮复习 第四章 第29课 三角函数的综合应用检测评估

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第 29 课 三角函数的综合应用
一、 填空题

sinx 2 1. 设x∈(0,π ),则函数y= 2 + sinx 的最小值为

.

2 2. 已知关于x的方程x - 2 x-p=0的解集是{sin θ ,cos θ },那么实数p=

.

3. 如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ω x+φ )+b,由此可求出8 时的近似温度为 .

(第3题)

4. 若方程cos2x-2 3 sinxcosx=k+1有解,则k∈

.

5. 绳子绕在半径为50cm的轮圈上,绳子的下端B处悬挂着物体W,如果轮子按逆时针方向每分钟 匀速旋转4圈,那么需要 s才能把物体W的位置向上提升100cm.

6. 某 城 市 一 年 中 12 个 月 的 平 均 气 温 与 月 份 的 关 系 可 近 似 地 用 三 角 函 数

?? ? ? 6 (x-6) ? ? (x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月 y=a+Acos ?
平均气温最低,为18℃,那么10月份的平均气温为 ℃.

? 2 2 2 2 7. 设0<θ < 2 ,曲线x sinθ +y sinθ =1和x cosθ -y sinθ =1有4个不同的交点,则θ 的取值范围
为 .

8. (2014·南京学情调研)已知四边形ABCD是矩形,AB=2,AD=3,E是线段BC上的动点,F是CD的中 点.若 ∠AEF为钝角,则线段BE长度的取值范围是 .

二、 解答题 9. 如图 , 铁匠师傅在打制烟筒弯脖时 , 为确保对接成直角 , 在铁板上的下剪线正好是曲线

x y=acos a 的一个周期的图象.当弯脖的烟筒的直径为12 cm时,a应是多少?

(第9题)

10. (2014·苏北四市期末)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30m,其 中大圆弧所在圆的半径为10m.设小圆弧所在圆的半径为xm,圆心角为θ (单位:rad). (1) 求θ 关于x的函数关系式. (2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/m,弧线部分的装饰 费用为9元/m.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数关系式,并求出x为何值时,y 取得最大值.

(第10题)

11. (2014·淮安、宿迁摸底)如图,海上有A,B两个小岛相距10n mile,船O将保持观望A岛和B岛 所成的视角为 60 ° , 现从船 O 上派下一只小艇沿 BO 方向驶至 C 处进行作业 , 且 OC=BO. 设 AC=xn mile. (1) 用x分别表示OA +OB 和OA·OB,并求出x的取值范围; (2) 晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛,B岛至光线CA的距离为BD,求BD的最大值.
2 2

(第11题)

第29课 三角函数的综合应用
5 1. 2 t 2 ? 2 t 解析 : 令 t=sin x, 则 t ∈ (0,1], 函数 y= + 在 (0,2] 上单调递减 , 所以当 t=1, 即 x= 2

5 时,ymin= 2 .

1 2. - 2

解析:由题意得sin θ +cos θ =

2

,则p=-sin θ cos θ

1-(sin? ? cos? ) 2 2 =

1 =- 2 .

3. 20-5

2

1 1 2 解析:A= (ymax-ymin)= 2 ×(30-10)=10.

因为ymax=A+b,ymin=-A+b,
1 1 2 所以b= (ymax+ymin)= 2 ×(30+10)=20.
1 2? 从图象中可以看出,从614的图象是函数y=Asin(ω x+φ )+b半个周期的图象,所以 2 · ? =14-6,

?
所以ω = 8 .
3? 将x=6,y=10代入函数解析式,解得φ = 4 .

3? ?? ? x? 4 综上,y=10sin ? 8
所以当x=8时,y=20-5

? ? ? +20,x∈[6,14].
.

2

?? ? ? 2x ? ? 3 ? ∈[-2,2],所以 4. [-3,1] 解析:因为cos2x-2 3 sinxcosx=cos2x- 3 sin2x=2cos ?
-2≤k+1≤2,即k∈[-3,1].

15 5. ?

x 15 解析:设需xs上升100cm,则 60 ×4×2π ×50=100,所以x= ? s.

6. 20.5

?? ? ? 6 (x-6) ? ? , 当 x=10 解 析 : 由 题 意 得 a+A=28,a-A=18, 所 以 a=23,A=5, 所 以 y=23+5cos ?

5 2? 时,y=23+5cos 3 =23- 2 =20.5.

? ?? ? 0, ? 7. ? 4 ?

? x 2 sin? ? y 2 cos? ? 1, ? x 2 ? sin? ? cos? , ? 2 ? 2 x cos? -y 2 sin? ? 1, y ? cos? -sin? . 故两条已知曲线有 解析:解方程组 ? 得?

? sin? ? cos? ? 0, ? ? ? cos ? sin ? ? 0, 四个不同的交点的充要条件为 ? 又因为0<θ < 2 ,所以0<θ < 4 .

8. (1,2)

2 解析 : 方法一 : 如图 (1), 设 BE=x(0<x<3), ∠ AEB= α , ∠ FEC= β , 则 tan α = x ,tan β

2 1 ? x 3-x 2 ? 1 6-x 12 x (3x ) 3x x ? 3 x -2 = , 故 tan( α + β )= = , 由 于 ∠ AEF 为 钝 角 , 所 以 0< α + β < 2 , 从 而
6-x - x 2 ? 3x-2 >0,因为0<x<3,所以-x2+3x-2>0,解得1<x<2.

图(1) (第8题) 方法二:设BE=x(0<x<3),则AE=

图(2)

4 ? x 2 ,CE=3-x,EF= (3-x) 2 ? 1 = x 2 -6 x ? 10 ,AF= 10 ,由于
2 2 2 2 2 2

∠ AEF 为 钝 角 , 则 cos ∠ AEF<0, 则 有 AE +EF -AF <0, 即 (x +4)+(x -6x+10)-10=2x -6x+4<0, 即 x -3x+2<0,解得1<x<2. 方法三:设BE=x(0<x<3),以点B为坐标原点,BC,BA所在的直线分别为x,y轴建立如图(2)所示的平 面直角坐标系,则A(0,2),E(x,0),F(3,1), EA =(-x,2), EF =(3-x,1),因为∠AEF为钝角,所以
EA
2

· EF <0, 即 x -3x+2<0, 解得 1<x<2, 又 A,E,F 不可能共线 , 所以 x ≠ 6, 故 BE 的取值范围是

2

(1,2).

x a 9. 因为弯脖的直径为12 cm,则周长为12π cm,周长正是函数y=acos 的一个周期,即T=2π a=12

π ,得a=6.

10. (1) 设扇环的圆心角为θ , 则30=θ (10+x)+2(10-x),
10 ? 2 x 所以θ = 10 ? x (0<x<10).
1 2 2 2 (2) 花坛的面积为 2 θ (10 -x )=(5+x)(10-x)=-x +5x+50(0<x<10).

装饰总费用为9θ (10+x)+8(10-x)=170+10x.

- x 2 ? 5 x ? 50 x 2 -5 x-50 所以花坛的面积与装饰总费用的比y= 170 ? 10 x =- 10(17 ? x) .
? 39 ?t ? 令t=17+x,则y= 10 - 10 ? 1 324 ? 3 12 ? t ? ≤ 10 ,当且仅当t=18时取等号,此时x=1,θ = 11 .

故当x=1时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.

11. (1) 在△OAC中,∠AOC=120°,AC=xnmile, 由余弦定理,得OA +OC -2OA·OC·cos120°=x . 又OC=BO, 所以OA +OB -2OA·OB·cos120°=x . 在△OAB中,AB=10nmile,∠AOB=60°, 由余弦定理,得OA +OB -2OA·OB·cos60°=100.
2 2 2 2 2 2 2 2





x 2 ? 100 2 2 2 . ①+②,得OA +OB =
①-②,得4OA·OB·cos60°=x -100,
2

x 2 -100 即OA·OB= 2 .
x 2 ? 100 x 2 -100 x 2 -100 2 2 2 ≥2× 2 ,即x2≤300.又OA·OB= 2 >0,即x2>100,所 又OA +OB ≥2OA·OB,所以

以10<x≤10

3.
3(x 2 -100) 4 .

(2) 易知S△OAB=S△OAC,
1 故S△ABC=2S△OAB=2· 2 ·OA·OBsin60°=

1 又S△ABC= 2 ·AC·BD,设BD=f(x),

3(x 2 -100) 2x 所以f(x)= ,x∈(10,10 3 ].
3 ? 100 ? ?1 ? 2 ? x ? >0,所以f(x)在(10,10 又f'(x)= 2 ?
所以f(x)的最大值为f(10

3 ]上单调递增,
nmile.

3 )=10,即BD的最大值为10


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