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【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版选修2-1配套课件:2.2.2-椭圆的几何性质第2课时

时间:2015-01-05


数学[RB· 选修2-1]
教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源

第 2 课时

椭圆标准方程及性质的应用

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●三维目标 1.知识与技能

(教师用书独具)

掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法, 初步 探寻弦长公式有关知识. 2.过程与方法 通过研究直线与椭圆的位置关系培养学生探索问题、 解决问 题的能力.领悟数形结合和化归等思想.
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3.情感、态度与价值观 培养学生自主参与意识,激发学生探索数学的兴趣.

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●重点难点 重点:掌握直线与椭圆位置关系的判断方法,注意数形结合 思想的渗透. 难点: 应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问 题和实际问题. 本节内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课, 涉及 直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题,掌握好椭圆方程 与性质, 类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点 的关键.
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课标解读

1.进一步掌握椭圆的方程及其性质 的应用,会判断直线与椭圆的位置 关系.(重点) 2.能运用直线与椭圆的位置关系 解决相关的弦长、中点弦问题. (难点)

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点与椭圆的位置关系

【问题导思】 1.点与圆的位置关系有几种?
【提示】 点在圆外,点在圆上,点在圆内三种.

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2.如何判断点与椭圆的位置关系?
【提示】 类比点与圆的判断方法. x 2 y2 点 P(x0,y0)与椭圆a2+b2=1(a>b>0)的位置关系:
2 x0 y2 0 点 P 在椭圆上?a2+b2=1; 2 x0 y2 0 点 P 在椭圆内部?a2+b2<1; 2 x0 y2 0 点 P 在椭圆外部?a2+b2>1.

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直线与椭圆的位置关系

【问题导思】 1.直线与圆的位置关系有哪几种?
【提示】 相离、相切、相交.

2.我们可以比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来 判断直线与圆的位置关系, 能否比较椭圆中心到直线的距离与长 轴或短轴长来判断直线与椭圆的位置关系?为什么?
【提示】
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不能.中心到椭圆上点的距离不完全相等.
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位置关系 解的个数 Δ 的取值 相交 相切 相离

两解 一 解
无 解

Δ> 0 Δ =0 Δ< 0

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直线与椭圆的位置关系的判断
x2 对不同的实数值 m,讨论直线 y=x+m 与椭圆 4 + y2=1 的位置关系.
【思路探究】

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y=x+m, ① ? ? 2 联立方程组得:?x 2 + y =1, ② ? ?4

【自主解答】

x2 将①代入②得: 4 +(x+m)2=1, 整理得:5x2+8mx+4m2-4=0, Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2). 当 Δ>0,即- 5<m< 5时,方程③有两个不同的实数根, 此时直线与椭圆相交; ③

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当 Δ=0,即 m=± 5时,方程③有两个相等的实数根,此时 直线与椭圆相切; Δ<0 时,即 m<- 5或 m> 5,方程③无实根,直线与椭 圆相离.

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1.直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况,其位置关系 的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、 无公共点,并且二者互为充要条件.

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2.直线与椭圆位置关系的判断方法

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k 为何值时,直线 y=kx+2 和曲线 2x2+3y2=6 有两个公共 点?有一个公共点?没有公共点?
【解】
? ?y=kx+2, 由? 2 2 ? 2 x + 3 y =6, ?

得 2x2 + 3(kx + 2)2 = 6 ,即 (2 +

3k2)x2+12kx+6=0, Δ=144k2-24(2+3k2)=72k2-48. 6 6 当 Δ=72k -48>0,即 k> 3 或 k<- 3 时,直线和曲线有
2

两个公共点;
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6 6 当 Δ=72k -48=0,即 k= 3 或 k=- 3 时,直线和曲线有
2

一个公共点; 6 6 当 Δ=72k -48<0,即- 3 <k< 3 时,直线和曲线没有公
2

共点.

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数学[RB· 选修2-1] 弦长问题
x2 如图 2-2-5 所示, 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 4 +y2=1 的右焦点 F,交椭圆于 A,B 两点,则弦 AB 的长为 ________.

图 2-2-5
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【思路探究】 (1)直线 l 已具备哪些条件. (2)弦长问题应如 何处理. 【自主解答】 设 A,B 两点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,
y2),由椭圆方程得 a2=4,b2=1,c2=3,所以 F( 3,0),直线 l 的方程为 y=x- 3.将其代入 x2+4y2=4,化简整理,得 5x2- 8 3 8 8 3x+8=0,所以 x1+x2= 5 ,x1x2=5. 所以|AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 ?8 3?2-4×5×8 8 = 2× =5. 5
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8 【答案】 5
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直线与椭圆相交时弦长的两种方法 (1)方法一:求直线与椭圆的交点→ 用两点间距离公式求解 x2 y2 (2)方法二:条件:直线 l:y=kx+m,椭圆: 2+ 2=1(a> a b b>0).

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提醒: 有时为了方便, 也可联立方程组消去 x, 利用公式|AB| = 1 1+k2|y2-y1| =
? 1? ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2]求解. k? ?

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x2 y 2 3 椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,椭圆与直线 x+2y +8=0 相交于点 P,Q,且|PQ|= 10,求椭圆的方程.
【解】 设点 P,Q 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由 e

3 3 c =a= 2 ,得 c= 2 a.由 c2=a2-b2,得 a2=4b2. x2 y 2 ? ? 2+ 2=1, 由?4b b 消去 x,得 2y2+8y+16-b2=0. ? ?x+2y+8=0,
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16-b2 由根与系数的关系,得 y1+y2=-4,y1y2= 2 . |PQ|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2=5(y1-y2)2 =5[(y1+y2)2-4y1y2]=10, 即 5[16-2(16-b2)]=10, 解得 b2=9,则 a2=36. x2 y 2 所以椭圆的标准方程为36+ 9 =1.

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中点弦问题
x2 y2 过椭圆16+ 4 =1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被 M 点平分,求此弦所在的直线方程.

【思路探究】 可联立方程利用根与系数的关系和中点坐标 公式求解,也可用点差法求解.

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【自主解答】 法一 设所求直线方程为 y-1=k(x-2).

代入椭圆方程并整理,得 (4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0. 又设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则 x1、x2 是方程的两个根, 8?2k2-k? 于是 x1+x2= . 4k 2 + 1 又 M 为 AB 的中点,

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x1+x2 4?2k2-k? ∴ 2 = =2, 4k2+1 1 解之得 k=-2. 故所求直线的方程为 x+2y-4=0.

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法二 设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2).

又 M(2,1)为 AB 的中点; ∴x1+x2=4,y1+y2=2. 又 A、B 两点在椭圆上,
2 2 2 则 x2 + 4 y = 16 , x + 4 y 1 1 2 2=16. 2 2 2 两式相减得(x2 1-x2)+4(y1-y2)=0.

于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 x 1 +x 2 1 ∴ =- =-2, x1-x2 4?y1+y2?

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1 即 kAB=-2. 又直线 AB 过 M(2,1)点, 故所求直线的方程为 x+2y-4=0.

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本题的这两种解法,是解中点弦问题的常用方法,解中点弦 问题关键在于充分利用“中点”这一条件, 灵活运用中点坐标公 式及根与系数的关系, 解法一是设出方程, 根据中点坐标求出 k; 法二是设出交点坐标,代入方程,整体作差求直线方程 (也叫点 差法),是“设而不求”.

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已知中心在原点,一个焦点为 F(0, 50)的椭圆被直线 l:y 1 =3x-2 截得的弦的中点横坐标为2,求此椭圆的方程.

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【解】 y2 x2 设所求椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0).

弦两端点为(x1,y1),(x2,y2), y2 x2 由a2+b2=1 及 y=3x-2 得 (a2+9b2)x2-12b2x+b2(4-a2)=0, x1 +x2 1 12b2 x1+x2= 2 ,由已知 2 =2, a +9b2 12b2 2 2 2 2 2 即 2 2=1,所以 a =3b .又 c =a -b =50, a +9b
2 2 y x 所以得 a2=75,b2=25,所以椭圆的方程为75+25=1.
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运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题 x2 y 2 (12 分)已知椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),过点 π 3 A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为6,原点到该直线的距离为 2 . (1)求椭圆的方程; (2)斜率大于零的直线过 D(-1,0)与椭圆分别交于点 E,F, → → 若ED=2DF,求直线 EF 的方程;
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(3)对于 D(-1,0), 是否存在实数 k, 使得直线 y=kx+2 分别 交椭圆于点 P,Q,且|DP|=|DQ|,若存在,求出 k 的值,若不存 在,请说明理由.
【规范解答】 3 1 1 3 b (1)由a= 3 ,2ab=2× 2 × a2+b2,得 a

x2 2 = 3,b=1,所以椭圆的方程是 3 +y =1.2 分

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x2 2 (2)设 EF: x=my-1(m>0)代入 3 +y =1, 得(m2+3)y2-2my -2=0. 设 E(x1,y1),F(x2,y2). → → 由ED=2DF,得 y1=-2y2,4 分 -2 2m 2 由 y1+y2=-y2= 2 ,y y =-2y2= 2 得 m +3 1 2 m +3
? 2m ? 1 ? ?2 - ? m2+3? =m2+3,∴m=1,m=-1(舍去), ? ?

直线 EF 的方程为 x=y-1,即 x-y+1=0.7 分
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x2 (3)记 P(x′1,y′1),Q(x′2,y′2).将 y=kx+2 代入 3 + y2=1,得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*),x′1,x′2 是此方程的两 个相异实根. x′1+x′2 6k 设 PQ 的中点为 M,则 xM= =- 2 ,yM=kxM 2 3k + 1 2 +2= 2 . 3k +1 由|DP|=|DQ|,得 DM⊥PQ,

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2 2 3 k +1 1 yM ∴kDM= = =-k , 6k xM+1 - 2 +1 3 k +1 1 ∴3k -4k+1=0,得 k=1 或 k=3.10 分
2

1 但 k=1,k=3均使方程(*)没有两相异实根. ∴满足条件的 k 不存在.12 分

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【思维启迪】 1.直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整 体代换是常用的运算技巧,在解题中要注意运用,避免求解浪费 时间或造成不必要的失分. 2.直线和椭圆相交时切记 Δ>0 是求参数范围(值)的前提条 件.

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1.直线与椭圆的位置关系,可考虑由直线方程和椭圆方程 得到一元二次方程,利用“Δ”进行判定.求弦长时可利用 韦达定理,中点弦问题考虑,使用“点差法”. 2.最值问题转化为函数最值或利用数形结合思想.

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x 2 y2 1. 过椭圆 4 + 3 =1 的一个焦点 F 作垂直于长轴的椭圆的弦, 则此弦长为( 3 A.4 ) B.3 C.2 3 8 3 D. 3

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【解析】

c2=a2-b2=4-3=1,

∴椭圆的焦点坐标为(± 1,0). x2 y2 把 x=1 或 x=-1 代入 4 + 3 =1. 3 得 y=± 2. ∴弦长为 3.
【答案】 B

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2 y 2.直线 y=x+1 与椭圆 x2+ 2 =1 的位置关系是(

)

A.相离 C.相交

B.相切 D.无法确定

【解析】

1 ? ?y=x+ 联立? 2 y2 消去 y 得 3x2+2x-1=0,Δ= x + 2 =1 ? ?

22+12=16>0, ∴直线与椭圆相交.
【答案】 C
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x2 y 2 3.直线 y=x+1 被椭圆 4 + 2 =1 所截得的弦的中点坐标是 (
?2 5? A.?3,3? ? ? ? 2 1? C.?-3,3? ? ? ?4 7? B.?3,3? ? ? ? 13 17? D.?- 2 ,- 2 ? ? ?

)

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【解析】

y=x+1 ? ? 2 2 联立?x y 消 y 得,3x2+4x-2=0,设直 + =1 ? ?4 2

线与椭圆交于点 A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2 4 2 则 x1+x2=-3,故 AB 的中点横坐标 x0= 2 =-3. 2 1 纵坐标 y0=x0+1=-3+1=3.

【答案】 C

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x2 2 4.设直线 y=x+b 与椭圆 2 +y =1 相交于 A,B 两个不同 的点. (1)求实数 b 的取值范围; (2)当 b=1 时,求|AB|.

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【解】 x2 2 (1)将 y=x+b 代入 2 +y =1,

消去 y,整理得 3x2+4bx+2b2-2=0.① x2 2 因为直线 y=x+b 与椭圆 2 +y =1 相交于 A, B 两个不同的 点, 所以 Δ=16b2-12(2b2-2)=24-8b2>0, 解得- 3<b< 3. 所以 b 的取值范围为(- 3, 3).

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(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 当 b=1 时,方程①为 3x2+4x=0. 4 解得 x1=0,x2=-3. 1 相应地 y1=1,y2=-3. 4 2 所以|AB|= ?x1-x2? +?y1-y2? = 3 .
2 2

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课后知能检测

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(教师用书独具)
x2 y2 已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F,离心率 e= 2 2 ,椭圆 C 上的点到 F 的距离的最大值为 2+1,求椭圆 C 的 方程.

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【自主解答】

椭圆的右焦点 F(c,0),

设椭圆上一点 P(x,y), x2 y2 则有:a2+b2=1, 即
2? ? x y2=b2?1-a2?. ? ?

|PF|2=(x-c)2+(y-0)2
2? ? x =(x-c)2+b2?1-a2? ? ?

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a2-b2 2 = a2 x -2cx+b2+c2 c2 2 =a2x -2cx+a2
?c ? =?ax-a?2, ? ? ?c ? c ? ? ∴|PF|= ax-a =a-ax ? ?

=a-ex. ∵-a≤x≤a,

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∴|PF|max=a-e· (-a)=a+c. 2 c 根据题意得 a+c= 2+1,e=a= 2 , 结合 a2=b2+c2, 联立这三个关于 a、b、c 的方程组, a ? ?a+ 2= 2+1 消去 c 得:? ?a2=b2+1a2 2 ?

.

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2 ? ?a =2 解得:? 2 ? ?b =1

.

x2 2 ∴所求椭圆的方程为 2 +y =1.

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x2 y2 若点 O 和点 F 分别为椭圆 9 + 5 =1 的中心和左焦点,点 P → → 为椭圆上任意一点,则OP· FP的最小值为( 11 A. 4 B.3 C.8 D.15 )

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【解析】 a2=9,b2=5,∴c2=a2-b2=4.

∴c=2.∴焦点 F(-2,0).
2 x2 y0 0 设 P(x0,y0),则 9 + 5 =1.①

→ → → → OP =(x0,y0),FP=(x0+2 ,y0),∴OP · FP=x0(x0+2)+y2 0. ② 5 2 2 由①得:y0=5- x0代入②得: 9

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9?2 11 4? → → 4 2 OP· FP=9x0+2x0+5=9?x0+4? + 4 .
? ?

∵点 P(x0,y0)在椭圆上,∴-3≤x0≤3, 9 11 → → ∴当 x0=-4时,OP· FP的最小值是 4 . 故选 A.
【答案】 A

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【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版选修2-2配套....ppt

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...2015学年高中数学人教B版选修2-1配套课件:1.1.2量词....ppt

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【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版选修2-3配套课件:2.2.1

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【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版选修2-1配套课件:3.2.2....ppt

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【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版选修2-3配套课件:1.3.1二项式定理 - 数学[RB 选修2-3] 思想方法技巧 教学教法分析 课前自主导...

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【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版选修2-1配套课件:3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程 - 数学[RB 选修2-1] 教学教法分析课前自主导学课...