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第八章 第九节 课时限时检测

时间:


(时间 60 分钟,满分 80 分) 时间 分钟, 一、选择题(共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分) 选择题 共 个小题, x2 y2 1.已知椭圆 + =1 的长轴的左、右端点分别为 A、B,在椭圆上有一个异于点 A、 . 的长轴的左、 、 , 、 4 3 1 B 的动点 P,若直线 PA 的斜率 kPA= ,则直线 PB 的斜率 kPB 为( , 2 3 A. 4 3 C.- .- 4 3 B. 2 3 D.- .- 2 )

解析: 解析:设点 P(x1,y1)(x1≠±2), , y1 y1 则 kPA= ,kPB= , x 1+ 2 x 1- 2 x2 1 3(1- ) ( - 4 y1 y1 y2 3 1 · = = 2 =-4, ∵kPA·kPB= x1-4 x 1+ 2 x 1- 2 x 2- 4 1 3 3 3 =- ∴kPB=-4k =-4×2=-2. PA 答案:D 答案: 2.如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A、B,交其准线 l 于点 .如图, 的焦点 、 , C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 , = , = ,则此抛物线的方程为( )

3 A.y2= x . 2 9 C.y2= x . 2

B.y2=9x . D.y2=3x .

解析: 解析:分别过点 A、B 作 AA1、BB1 垂直于 l,且垂足分别为 A1、 、 , B1,由已知条件 由已知条件|BC|=2|BF|得|BC|=2|BB1|,∴∠ = 得 = ,∴∠BCB1= 30°,又 |AA1| , =|AF|=3,∴|AC|=2|AA1|=6,∴|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3,∴F 为 = , = = , = - = - = , 1 3 的中点. 线段 AC 的中点.故点 F 到准线的距离为 p=2|AA1|=2,故抛物线的方 = = 程为 y2=3x. 答案: 答案:D x2 y2 3.(2010·烟台二模 已知抛物线 y2=2px(p>0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有相同的焦 . 烟台二模)已知抛物线 与双曲线a b , 有相同的焦 烟台二模

是两曲线的一个交点 线的一个交点, 为双曲线的一条渐近线, 点 F,点 A 是两曲线的一个交点,且 AF⊥x 轴,若 l 为双曲线的一条渐近线,则 l 的倾斜 , ⊥ 角所在的区间可能是( 角所在的区间可能是 π A.(0, ) . , 4 π π C.( , ) . 4 3 ) π π B.( , ) . 6 4 π π D.( , ) . 3 2

p 解析: 解析:由抛物线与双曲线有相同的焦点可得2=c= a2+b2,再由 AF⊥x 轴可得,在双 = ⊥ 轴可得, b2 b2 曲线中|AF|= ,在抛物线中 = 在抛物线中|AF|=p,故又有 =p=2c=2 a2+b2,即 b4=4a2(a2+b2)?b4 曲线中 = , = = ? a a b2 b2 2 2 4 2π 舍去), -4a b -4a =0,解得a2=2+2 2>3=tan 3(或a2=2-2 2<0 舍去 ,故 l 的倾斜角所在的 , + = 或 - π π 区间可能是( 区间可能是 3,2). . 答案: 答案:D y2 4.(2010·东北三校 已知曲线 C1 的方程为 x2- =1(x≥0,y≥0),圆 C2 的方程为 - . 东北三校)已知曲线 的方程为(x- 东北三校 ≥ , ≥ , 8 相切, 3)2+y2=1,斜率为 k(k>0)的直线 l 与圆 C2 相切,切点为 A,直线 l 与曲线 C1 相交于点 B, , 的直线 , , |AB|= 3,则直线 AB 的斜率为 = , 的斜率为( A. 3 3 1 B. 2 D. 3
2

)

C.1 .

?a2-b =1, ? , 8 解析: 解析:设 B(a,b),则由题意可得? , , ?(a-3)2+b2=3+1, + , ? - )
?a=1, ? = , |3k-k| - 解得? 则直线 AB 的方程为 y=k(x-1),故 = - , =1,∴k , ? = 1+k2 + ?b=0

3 3 舍去). = 3 ,或 k=- 3 (舍去 . =- 舍去 答案: 答案:A x2 y2 5.已知椭圆 + =1,若在此椭圆上存在不同的两点 A、B 关于直线 y=4x+m 对称, . , 、 = + 对称, 4 3 的取值范围是( 则实数 m 的取值范围是 2 13 2 2 A.(- .- ) 13 , 13 2 2 13 C.(- , .- ) 13 13 ) 2 13 2 13 B.(- .- ) 13 , 13 2 3 2 3 D.(- .- ) 13 , 13

y2-y1 1 解析: , , , , =-4,x1+x2=2x, , 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x,y),kAB= x 2- x 1

2 2 y1+y2=2y,3x1+4y2=12 ①,3x2+4y2=12 ②,①②两式相减得 3(x2-x1)+4(y2-y2)=0, ①②两式相减得 + 2 1= , 1 2 2 2

=-m, =- =-3m, 即 y1+y2=3(x1+x2),即 y=3x,与 y=4x+m 联立得 x=- ,y=- ,而 M(x,y)在椭 , = , = + =- , 在椭 m2 9m2 2 13 2 13 圆的内部, 圆的内部,则 4 + 3 <1,即- 13 <m< 13 . , 答案: 答案:B x2 的最大值为( 6.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为 . 、 两点, 的最大值为 4 A.2 . 4 10 C. 5 4 5 B. 5 8 10 D. 5 )

x2 5 解析: , + = , 解析:设直线 l 的方程为 y=x+t,代入 4 +y2=1,消去 y 得4x2+2tx+t2-1=0,由题 = +, 弦长|AB|=4 2× × 意得 ?=(2t)2-5(t2-1)>0,即 t2<5.弦长 = > , 弦长 = 答案: 答案:C 二、填空题(共 3 个小题,每小题 5 分,满分 15 分) 填空题 共 个小题, x2 y2 Q 7. . (2010·龙岩模拟 已知曲线 a - b =1 与直线 x+y-1=0 相交于 P、 两点, OP · OQ 龙岩模拟)已知曲线 龙岩模拟 + - = 、 两点, 且 1 1 为原点), 的值为________. =0(O 为原点 ,则a-b的值为 . 解析: 解析:设 P(x1,y1)、Q(x2,y2), 、 , 5-t2 4 10 - . 5 ≤ 5

?x -y =1 ? 由题意得? a b ,则(b-a)x2+2ax-a-ab=0. - - - = ?x+y-1=0 ? +- =
-a-ab - 2a 所以 x1+x2=- ,x1x2= , b-a b-a - - y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2, - - = - + 根据 OP · OQ =0,得 x1x2+y1y2=0, , , 即 1-(x1+x2)+2x1x2=0, - + , -a-ab - 2a 因此 1+ + +2× × =0, , b-a b-a - - b-a - 1 1 化简得 ab =2,即a-b=2. , 答案:2 答案: 8.已知以坐标原点为顶点的抛物线 C,焦点在 x 轴上,直线 x-y=0 与抛物线 C 交于 . 轴上, , - = A、B 两点.若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 、 两点. 的中点, 的方程为________. 为 . 解析:由题意知,抛物线的顶点为坐标原点, 轴上, 解析:由题意知,抛物线的顶点为坐标原点,焦点在 x 轴上,所以可设抛物线的方程

2

2

2 为 y =ax(a≠0). ≠ .

?y2=ax ? 2 将直线方程和抛物线方程联立? ,得:x -ax=0,解得 x1=0,x2=a,故 AB = , , , ? = ?y=x

1 1 1 2 中点的横坐标为 x0=2(x1+x2)=2a,由题意得2a=2,解得 a=4.所以该抛物线的方程为 y = , = , = 所以该抛物线的方程为 =4x. 答案: 2 答案:y =4x 9.当 x>1 时,直线 y=ax-a 恒在抛物线 y=x2 的下方,则 a 的取值范围是 . 的取值范围是 围是________. = - = 的下方, .
2 ?y=x ? = 2 ? 解析:由题可知, 解析:由题可知,联立 + = , = 2 = , ,整理可得 x -ax+a=0,当 ?=a -4a=0,解得 ? = - ?y=ax-a

a=0 或 a=4, = 此时直线与抛物线相切, 因为直线横过定点(1,0), = ,此时直线与抛物线相切,因为直线横过定点 ,结合图形可知当 a∈(-∞, ∈- 4),x>1 时直线 y=ax-a 恒在抛物线 y=x2 的下方. , = - = 的下方. 答案: - 答案:(-∞,4) 三、解答题(共 3 个小题,满分 35 分) 解答题 共 个小题, x2 y2 1 10.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点在直线 l:x=1 上,离心率 e= .设 P、Q 为 . 的一个焦点在直线 : = =2 设 、 a b 1 椭圆上不同的两点, 椭圆上不同的两点,且弦 PQ 的中点 T 在直线 l 上,点 R(4,0). . (1)求椭圆的方程; 求椭圆的方程; 求椭圆的方程 (2)试证:对于所有满足条件的 P、Q,恒有 试证: 试证 、 ,恒有|RP|=|RQ|. = 解:(1)椭圆的一个焦点在直线 l:x=1 上,所以 c=1. 椭圆的一个焦点在直线 : = = c 1 1 又因为离心率 e=2,即a=2,所以 a=2,从而 b2=3, = = , , x2 y2 所以椭圆的方程为 4 + 3 =1. (2)证明:设 T(1,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 证明: 证明 , , , , 3 则 RT =( ,y0), PQ =(x2-x1,y2-y1), , , 4
RT · PQ = (x2-x1)+y0(y2-y1). + .

3 4

x2 y2 又因为 P、Q 都在椭圆 4 + 3 =1 上, 、
2 x2 y2 x2 y2 1 1 2 所以 4 + 3 =1, 4 + 3 =1,两式相减得 , ,

1 1 (x x )(x x )+ (y y )(y y )=0, 4 1- 2 1+ 2 +3 1- 2 1+ 2 = , 的中点, 因为点 T 是 PQ 的中点,所以 x1+x2=2,y1+y2=2y0, , 2 1 + = , 于是 (x1-x2)+ y0(y1-y2)=0, 3 2

3 所以4(x1-x2)+y0(y1-y2)=0, + = , , ⊥ , 的垂直平分线,所以恒有 = 即 RT · PQ =0,所以 RT⊥PQ,即 RT 是线段 PQ 的垂直平分线,所以恒有|RP|=|RQ|. 1 11.(2011·宜春三校联考 已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 , . 宜春三校联考)已知椭圆 的中心在坐标原点, 轴上, 宜春三校联考 2 且互相垂直的两条直线, 且椭圆 E 上一点到两个焦点距离之和为 4,l1,l2 是过点 P(0,2)且互相垂直的两条直线,l1 , 且互相垂直的两条直线 交 E 于 A,B 两点,l2 交 E 于 C,D 两点,AB,CD 的中点分别为 M,N. , 两点, , 两点, , , (1)求椭圆 E 的方程; 求椭圆 的方程; (2)求 l1 的斜率 k 的取值范围; 求 的斜率 的取值范围; (3)求 OM · ON 的取值范围. 求 的取值范围. x2 y2 , 解:(1)设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 设椭圆方程为

?a=2 ? 由?2a=4 = ?a =b +c ?
c 1
2 2

= ?a=2 得? , = ?b= 3

2

x2 y2 ∴椭圆方程为 4 + 3 =1 (2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为零 由题意知, 由题意知 1 ∵l1∶y=kx+2,∴l2∶y=-kx+2. = + , =- +

?x +y =1 ? 并化简整理, 由? 4 3 消去 y 并化简整理, ?= + ?y=kx+2
得(3+4k2)x2+16kx+4=0 + + = 1 根据题意, = 根据题意,?=(16k)2-16(3+4k2)>0,解得 k2>4. + , 1 1 同理得(- 同理得 -k)2>4,k2<4, , 1 1 1 ∴4<k2<4,k∈(-2,-2)∪(2,2) , ∈ - ,- ∪ (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0) 设 , , x 1+ x 2 16k 8k 那么 x1+x2=- =- 2,∴x0= 2 3+4k 3+4k2 + + 8k 6 6 y0=kx0+2= ), = ,∴M(- - , , 3+4k2 3+4k2 3+4k2 + + + 6 ), 同理得 N( 1 , 1 2, 3+4(-k) 3+4(-k)2 + ( + ( 1 -8(-k) (

2

2

6 ) 即 N( 4, 4 3+ 2 3+ 2 +k +k 8k · ∴ OM · ON =- 3+4k2 + 28 - 1 25+12(k2+ 2) + ( k 1 17 1 2 , ≤ 2 ∵4<k <4,∴2≤k +k2< 4 4 28 7 <- ∴-7≤- 1 -19 25+12(k2+ 2) + ( k 4 7 的取值范围是[- 即 OM · ON 的取值范围是 -7,-19). . 12. . (2010·江南十校 如图, 江南十校)如图 过圆 x2+y2=4 与 x 轴的两个交点 A、 , B, 江南十校 如图, 、 作圆的切线 作圆的切线, 作圆的切线 AC、BD,再过圆上任意一点 H 作圆的切线,交 AC、BD 、 , 、 于 C、D 两点,设 AD、BC 的交点为 R. 、 两点, 、 (1)求动点 R 的轨迹 E 的方程; 求动点 的方程; (2)过曲线 E 的右焦点 F 作直线 l 交曲线 E 于 M、N 两点,交 y 轴 过曲线 、 两点, 求证: 为定值. 于 P 点,且记 PM =λ1 MF , PN =λ2 NF ,求证:λ1+λ2 为定值. 解:(1)设点 H 的坐标为 0,y0),则 x2+y2=4. 设点 的坐标为(x , 0 0 x0 为切点的圆的切线的斜率为:- 由题意可知 y0≠0,且以 H 为切点的圆的切线的斜率为:-y , ,
0

8 k

6 6 + · 4 3+4k2 4= + 3+ 2 + 3+ 2 + k k

8 k

x0 故切线方程为: - 故切线方程为:y-y0=-y (x-x0), - ,
0

展开得

x0x+y0y=x2+y2=4. + = 0 0

为切点的圆的切线方程为: + = , 即以 H 为切点的圆的切线方程为:x0x+y0y=4, 4+2x0 + B(2,0), x=±2 代入上述方程可得点 C, 的坐标分别为 C(-2, D ∵A(-2,0), - , , = 将 , - , y ), , 0 4-2x0 - D(2, , ), y0 , x+2 x-2 + - y y 则 lAD: = 4 ①,及 lBC: = ②. 4-2x0 4+2x0 -4 - + y0 y0 的方程为: 将两式相乘并化简可得动点 R 的轨迹 E 的方程为:

x2 x2+4y2=4,即 +y2=1. , 4 (2)由(1)知轨迹 E 为焦点在 x 轴上的椭圆且其右焦点为 F( 3,0). 由 知轨迹 , . (ⅰ)当直线 l 的斜率为 0 时,M、N、P 三点在 x 轴上,不妨设 M(2,0),N(-2,0),且 ⅰ 当直线 轴上, 、 、 , - , P(0,0).此时有|PM|=2,|MF|=2- 3,|PN|=2,|NF|=2+ 3, .此时有 = , = - , = , = + , 所以 λ1+λ2=-
PM MF



2 2 =-8. =- - =- 2- 3 2+ 3 - + NF
PN

(ⅱ)当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 MN 的方程是: ⅱ 当直线 的方程是: x=my+ 3(m≠0), = + ≠ , 3 的坐标为(0,- 则点 P 的坐标为 ,- m ).且设点 M(x1,y1),N(x2,y2), . , , = + ?x=my+ 3 可得: 联立? 2 消去 x 可得: ?x +4y2=4 (m2+4)y2+2 3my-1=0. - = -2 3m -1 则 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +4 m +4 -2 3m 2 3 1 1 3 y1+y2 3 m +4 =-2- =-2- =-2- λ1+ λ2= + =- - m ( y +y )=- - m · y y =- - m · =- =- -1 -y1 -y2 1 2 1 2 m2+4 3 y1+ m 3 y2+ m 8(定值 . 定值). 定值


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