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2013届高三数学二轮复习 专题五 第2讲 椭圆 双曲线 抛物线教案

时间:2013-04-15


第2讲
自主学习导引

椭圆

双曲线

抛物线

真题感悟 1.(2012·江西)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,左、右焦点分别是

x a

2

y b

2

F1、F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为
A. C. 1 4 1 2 B. 5 5 D. 5-2

解析 利用等比中项性质确定 a,c 的关系. 由题意知|AF1|= a - c ,|F1F2|=2c ,|F1B|= a + c ,且三者成等比数列,则|F1F2| = 1 5 2 2 2 2 2 2 |AF1|·|F1B|,即 4c =a -c ,a =5c ,所以 e = ,所以 e= . 5 5 答案 B 2.(2012·山东)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x = 2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为 8 3 2 A.x = y 3 C.x =8y
2 2

x2 y2 a b

2

16 3 2 B.x = y 3 D.x =16y
2

解析 根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解. ∵双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,

x2 y2 a b

c a2+b2 ∴ = =2,∴b= 3a, a a
∴双曲线的渐近线方程为 3x±y=0,

∴抛物线 C2:x =2py(p>0)的焦点?0, ?到双曲线的渐近线的距离为 ? 2?
2

?

p?

? 3×0±p? ? 2? ? ?
2

=2,

∴p=8.∴所求的抛物线方程为 x =16y. 答案 D 考题分析 椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质、方程一直是每年高考必要内容.近几年命题更加注意 知识的融合创新,涉及导数、函数、不等式、数列、向量等知识,同时注意思想方法的运用. 网络构建

2

-1-

高频考点突破 考点一:圆锥曲线的定义及应用 【例 1】(2012·潍坊二模)已知双曲线 C: - =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为 C 4 5 → → 的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则PF1·PF2等于 A.24 C.50 B.48 D.56

x2 y2

[审题导引] 据已知条件和双曲线的定义可以求出|PF1|与|PF2|的长,在△PF1F2 中利用余 → → 弦定理可求两向量夹角的余弦值,即得PF1·PF2. [规范解答] 如图所示,|PF2|=|F1F2|=6,

由双曲线定义可得,|PF1|=10. 在△PF1F2 中,由余弦定理可得, |PF1| +|PF2| -|F1F2| 10 +6 -6 5 cos ∠F1PF2= = = . 2|PF1|·|PF2| 2×10×6 6 5 → → → → ∴PF1·PF2=|PF1||PF2|cos ∠F1PF2=10×6× =50. 6 [答案] C 【规律总结】 焦点三角形问题的求解技巧
-22 2 2 2 2 2

(1)所谓焦点三角形,就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点,另一个顶点在椭圆或双曲线上的三 角形. (2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识: ①椭圆或双曲线的定义; ②勾股定理或余弦定理; ③基本不等式与三角形的面积公式. 【变式训练】 1.已知双曲线 - =1,直线 l 过其左焦点 F1,交双曲线左支于 A、B 两点,且|AB|=4, m 7

x2 y2

F2 为双曲线的右焦点,△ABF2 的周长为 20,则 m 的值为
A.8 B.9 C.16 D.20

解析 由双曲线的定义可知,|AF2|-|AF1|=2 m, |BF2|-|BF1|=2 m, 所以(|AF2|+|BF2|)-(|AF1|+|BF1|)=4 m, |AF2|+|BF2|-|AB|=4 m, |AF2|+|BF2|=4+4 m. 又|AF2|+|BF2|+|AB|=20, 即 4+4 m+4=20. 所以 m=9. 答案 B 2.(2012·四川)椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B,当△FAB 4 3 的周长最大时,△FAB 的面积是________. 解析 根据椭圆的定义结合其几何性质求解. 直线 x=m 过右焦点(1,0)时,△FAB 的周长最大,由椭圆定义知,其周长为 4a=8,此时,

x2 y2

b 2×3 1 |AB|=2× = =3,∴S△FAB= ×2×3=3. a 2 2
答案 3 考点二:圆锥曲线的性质

2

y2 x2 y2 【例 2】(2012·咸阳二模)已知椭圆 C1: + =1 与双曲线 C2: - =1 共焦点,则 m+2 n m n
椭圆 C1 的离心率 e 的取值范围为 A.?

x2

? 2 ? ,1? ?2 ?

B.?0,

? ?

2? ? 2?

C.(0,1)

? 1? D.?0, ? ? 2?

[审题导引] 根据椭圆与双曲线的方程确定其焦点位置,进而求出 m、n 的范围,可求离心率 e 的取值范围. [规范解答] 由双曲线的方程知,椭圆与双曲线的焦点在 x 轴,

-3-

?m+2>0 ? ∴?m>0 ?n>0 n ?m+2>
∴e =1-
2

m+2-n=m+n
,∴?
?n=1 ? ? ?m>0

.

设椭圆 C1 的离心率为 e,

n 1 =1- . m+2 m+2

1 2 2 ∵m>0,∴e > ,e> , 2 2 即离心率的范围是? [答案] A 【规律总结】 离心率的求法 双曲线与椭圆的离心率就是 的值,有些试题中可以直接求出 a、c 的值再求离心率,在 有些试题中不能直接求出 a、c 的值,由于离心率是个比值,因此只要能够找到一个关于 a、c 或 a、b 的方程,通过这个方程解出 或 ,利用公式 e= 求出,对双曲线来说,e= 对椭圆来说,e= 【变式训练】 3.(2012·日照模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,一个焦点与抛物 线 y =16x 的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为 3 A.y=± x 2 C.y=± 3 x 3
2 2

? 2 ? ,1?. ?2 ?

c a

c b a a

c a

1+ 2,

b2 a

1- 2.

b2 a

x2 y2 a b

B.y=± D.y=± 3x

3 x 2

解析 抛物线 y =16x 的焦点为(4,0),∴c=4,

c 4 e= = =2,∴a=2, a a b= c2-a2= 16-4=2 3,
故渐近线方程为 y=± 3x. 答案 D 4.(2012·济南三模)已知双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),双曲线的一个焦点到

x2 y2 a b

-4-

一条渐近线的距离为 A. C. 5 2 3 5 2

5 c(c 为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为 3 B. D. 2 3 3 2

x2 y2 b 解析 易知双曲线 2- 2=1 的渐近线为 y=± x, a b a
即±bx-ay=0. 不妨设双曲线的焦点为 F(c,0), 据题意,得 5 |±bc| 5 c= 2 2,∴b= c, 3 3 a +b

5 2 2 2 2 2 ∴a +b =a + c =c , 9 4 2 c 9 3 2 即 a = c ,∴e = 2= ,∴e= . 9 a 4 2
2 2

答案 B 考点三:求圆锥曲线的方程

x2 y2 【例 3】(1)(2012·湖南)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线 a b 上,则 C 的方程为 x2 y2 x 2 y2
A. C. - =1 20 5 B. - =1 5 20 - =1 D. - =1 80 20 20 80 2 (2)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为 2 2 A.y =±4x B.y =±8x 2 2 C.y =4x D.y =8x [审题导引] (1)利用焦距为 10 与 P(2,1)在双曲线的渐近线上可列出关于 a,b 的方程组,解 出 a 与 b,得双曲线的方程. (2)求出各点的坐标,就可以根据三角形的面积列出关于 a 的方程,解方程即得. [规范解答] (1)∵ 2- 2=1 的焦距为 10, ∴c=5= a +b .① 又双曲线渐近线方程为 y=± x,且 P(2,1)在渐近线上, ∴ 2b =1,即 a=2b.②
2 2

x2

y2

x2

y2

x2 y2 a b

b a

a

由①②解得 a=2 5,b= 5,故应选 A.

? ? 2 (2)抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F 坐标为? ,0?, ?4 ?
a
-5-

则直线 l 的方程为 y=2?x- ?, ? 4? 它与 y 轴的交点为 A?0,- ?, 2? ? 1?a? ? a? 所以△OAF 的面积为 ? ?·?- ?=4, 2?4? ? 2? 解得 a=±8. 所以抛物线方程为 y =±8x.故选 B. [答案] (1)A (2)B 【规律总结】 求圆锥曲线方程的方法 (1)定义法:在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及其上一点的坐 标时常用此方法. 2 2 (2)待定系数法:①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为 y =2ax 或 x = 2ay(a≠0),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时 a 不具有 p 的几何意义. ②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,
2

?

a?

?

a?

x2 y2 m n x2 y2 双曲线方程可设为 - =1(mn>0). m n

椭圆方程可设为 + =1(m>0,n>0),

这样可以避免繁琐的计算. 利用以上设法,根据所给圆锥曲线的性质求出参数,即得方程. 【变式训练】 5.若点 P(x,y)到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,则点 P(x,y)的轨迹方 程为 A.y2=8x C.x2=8y B.y2=-8x D.x2=-8y

解析 点 P(x,)到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2, y 说明点 P(x,)到点 F(0,2) y 和到直线 y+2=0 的距离相等,所以 P 点的轨迹为抛物线,设抛物线方程为 x2=2py,其中 p =4,故所求的轨迹方程为 x2=8y. 答案 C

x y 1 2 6.设椭圆 2+ 2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y =8x 的焦点相同,离心率为 ,则 m n 2
此椭圆的方程为 A. C. + =1 12 16 + =1 48 64
2

2

2

x2 x2

y2 y2

B. D.

+ =1 16 12 + =1 64 48

x2 x2

y2 y2

解析 依题意得抛物线 y =8x 的焦点坐标是(2,0),
-6-

则椭圆的右焦点坐标是(2,0), 2 1 2 2 2 2 由题意得 m -n =2 且 e= = ,m=4,n =12, m 2 椭圆的方程是 + =1,选 B. 16 12 答案 B 名师押题高考 【押题 1】设 F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上 4 存在一点 P 满足|PF2|=|F1F2|,且 cos ∠PF1F2= ,则双曲线的渐近线方程为 5 A.3x±4y=0 C.4x±3y=0 解析 在△PF1F2 中,由余弦定理得 |PF1| +|F1F2| -|PF2| cos ∠PF1F2= 2|PF1|·|F1F2| = |PF1| |PF1| 4 = = . 4c·|PF1| 4c 5
2 2 2 2

x2

y2

x2 y2 a b

B.3x±5y=0 D.5x±4y=0

16 所以|PF1|= c. 5 16 3 又|PF1|-|PF2|=2a,即 c-2c=2a,a= c. 5 5

b 4 2 2 2 代入 c =a +b 得 =± . a 3
因此,双曲线的渐近线方程为 4x±3y=0. 答案 C [押题依据] 对于圆锥曲线,定义是非常重要的,高考中常以选择题或填空题的形式灵活考 查圆锥曲线的定义以及由定义所涉及的几何性质.本题是典型的焦点三角形问题,突出了定 义,同时考查了余弦定理,方法较灵活,故押此题. 【押题 2】在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________. 2 解析 根据椭圆焦点在 x 轴上, 可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 2 c 2 ,∴ = . 2 a 2 根据△ABF2 的周长为 16 得 4a=16, ∵e= 因此 a=4,b=2 2,∴椭圆方程为 + =1. 16 8 答案 + =1 16 8 椭圆的方程、几何性质与定义是解析几何的重要内容,是高考的热点问题,通
-7-

x2 y2 a b

x2

y2

x2

y2

[押题依据]

常的考查方式是把椭圆的几何性质、椭圆的定义相互综合.本题难度较小,属基础题目,故 押此题.

-8-


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