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17.1一元二次方程及其根的概念

时间:2017-02-27


问题1: 某小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟周长 为900米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿 地的长和宽各为多少? 解:设长方形绿地的宽为x米,得 2?x ? x ? 10? ? 900
整理可得: 4 x ? 20 ? 900

?? (1)

变式:某小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面 积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那 么绿地的长和宽各为多少? 解:设长方形绿地的宽为x米,得
x?x ? 10? ? 900
整理可得: x 2 ? 10x ? 900 ?? (2)

4 x ? 20 ? 900

x ? 10x ? 900
2

思考1:方程(2)与一元一次方程的区别在哪里?

思考2:方程(1)和方程(2)有什么共同点呢? 思考3:你能类比一元一次方程给方程(2)起个 名称吗?

思考4:根据以上讨论的结果,你能说出什么方程是 一元二次方程吗? 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是2的整式方程,叫做一元二次方程。

一元一次方程与一元二次方 程有什么区别与联系?
整式方程
一元一次方程 一般式 相同点 一元二次方程
2+bx+c=0 (a≠0) ax ax=b (a≠0) 都是整式方程,只含有一个未知数

不同点 未知数最高次数是1

未知数最高次数是2

一元二次方程的概念

(默1)

? 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元),并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程。 即:一元二次方程的共同特点: ① 只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程;

?一元二次方程的一般形式
2

“=”的右 边必须整理 成0. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为

的形式,我们把 ax ? bx ? c ? 0

为什么要限制a≠0, (a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式 . b,c可以为零吗? 二次 项 一次 项

ax ? bx ? c ? 0
2

a x 2+ b x + c = 0

(a ≠ 0)

(默2)
a是二次项系数 b是一次项系数 常数项

一元二次方 程的一般形式

完全的一元二次方程

ax2+bx+c=0
(a≠0, b≠0, c≠0)

ax2+bx+c=0
(a≠0)

不完全的

ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)

2+c=0 (a≠0,c≠0) ax 一元二次方程

ax2=0

(a≠0)

判断一个方程是否是一元二次方程,关键是要将方程 判断下列方程是否为一元二次方程? 例1 : 化为一般式,然后根据一元二次方程必须同时满足的三个 条件进行判别。 2 (默3) 3 2

(1)x +x =36

(3)x+3y=36 (5) x+1=0
2

? ?

(2) x + x =36

?
?

1 2 (4) 2 ? ? 0 x x
2

?

(7)4x ?1 ? (2 x ? 3)
(8)( x ) ? 2 x ? 6 ? 0
2

x (6) ? 6 ? 3 2

?(默3) ?

下列方程中哪些是一元二次方程?

(1) x ? 2 x ? 5 ? 0 (2)4 x ? 3 y ?1 ? 0
2
2
可能为0

(3)ax ? bx ? c ? 0
2

(4) x( x ? 1) ? 2 ? 0

1 (5)a ? ? 0 a
2

是分式

(6)(m ? 2) ? 1
2
是二次 根式

(7) x ? x ? 5
2

(8)2x ? x ? 3? ? 2x ?1
2

化简为: ? 6 x ? 1.

(1) ( 4) ( 6) 是一元二次方程的有:____________

二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 例题讲解 数项都是包括符号的

例题讲解

[例2] 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数: 2 (1) 3x( x ? 1) ? 5( x ? 2) (2) 解:3x 2
2

? 3x ? 5 x ? 10

x ?0

3x ? 3x ? 5x ? 10 ? 0 2 3x ? 8x ? 10 ? 0
二次项: 3x 2,其系数为 3
一次项:- 8x,其系数为- 8

二次项: x 2、系数为 1

一次项: 0、系数为 0

常数项: 0

常数项为- 10

2 ax

+ bx + c = 0 (a≠0)

二次项系数 一次项系数 常数项

注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必
须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未 知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写 一次项,最后是常数项。

例3.把下列方程化为一元二次方程的形式,并写出它的二次
项系数、一次项系数和常数项:
一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项


2



3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6

3 3x2-5 5x+1=0 1x2 +1 x-8=0

3 1

-5 1

1 -8

4-7x =0

2

7x2 - 4=0 7 0 -4

抢答:
一元二次方程 二次项 一次项 常数项 系数 系数

2x +x+4=0 -4y +2y=0 3x -x-1=0 4x -5=0
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
2

2

2 -4 3 4 m-3 3

1 2 -1

4 0 -1

2

2

2

0
1-m -8

-5
-m -10

3x(x-1)=5(x+2)

-2bx+a=0, ①在什么条件下此方程为一元二次方程? ②在什么条件下此方程为一元一次方程? 解: ①由题意得,2a-4≠0,解之得a≠2 ∴当a≠2时是一元二次方程;

例4:

方程(2a-4)x2

(默4)

② 2a-4=0 a=2 由题意得, -2b≠0 解之得 b≠0 ∴当a=2且b≠0时是一元一次方程.

m2 ?2 5 例 2:当 m 取什么值时,关于 x 的方程 ?m ? 2?x ? mx ? 10 ? 0

为一元二次方程。

(默5)

解:根据题意得: m 2 ? 2 ? 22
2

又∵ m ? 2 ? 0 ∴m ? 2 ∴ m ? ?2

? m? 4 ? 2 ? 2 ?m ? m ?2? 0 m ? ?2 ? ?

∴当 m ? ?2 时,该方程是一元二次方程。

练习巩固
1.关于x的方程(k-3)x2 + 2x-1=0,

当k ≠3 时,是一元二次方程.

2.关于x的方程(k2-1)x2 + 2 (k-1) x + 2k + 2=0, 当 k ≠ ±1 时,是一元二次方程. =-1 当k 时,是一元一次方程.

3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x 的一元二次方程的是(D )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 4.当m为何值时,方程 4 m ? 2 (m ? 1) x ? 27mx ? 5 ? 0

是关于x的一元二次方程.

? m +1 ? 0 ? ? 4m -2=2

m=1

一元二次方程解的概念
?方程解的定义是怎样的呢?

能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的 (默 6) 解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程根. 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m +4=0有一根为2,求m. 分析:一根为2,即x=2,只需把x=2代入原方程.

4(m ? 1) ? 6 ? 5m ? 4 ? 0

m?6

练一练
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3,求a的值。 解:由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得,

32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9

9 ?a ? ? 4

例 4:关于 x 的一元二次方程 ?m ? 1?x 2 ? x ? m 2 ? 1 ? 0 的一个根为 0,求 m 的值。
解:把 x ? 0 代入原方程,得: m 2 ? 1 ? 0
m2 ? 1

m ? ?1
又∵ m ? 1 ? 0 ∴m ?1 ∴ m ? ?1 ∴当 m ? ?1 时,该方程的一个根为 0。

4 例6 3:判断 2 , ? ,0 是不是一元二次方程 3 3 x 2 ? 8 ? 2 x 的根。

解:把 x ? 2 分别代入方程 3x 2 ? 8 ? 2 x 的左边和右边,得 左边的值为 3 ? 2 2 ? 8 ? 12 ? 8 ? 4 ; 右边的值为 2 ? 2 ? 4 。 ∵左边的值与右边的值相等 ∴ x ? 2 是这个一元二次方程的根。

问题 2:在下列方程中,哪些方程有一个根为 0? 哪些方程有一个根为 1?哪些方程有一个根为-1? (1) 2 x ? x ? 0 ; (2) 5 x ? 4 x ? 0 ;
2 2

(3) 3x ? 2 x ? 5 ? 0 ; (4) x ? 7 x ? 6 ? 0 ;
2 2

(5) x ? 5 x ? 4 ? 0 ; (6) 2 x ? 3x ? 5 ? 0 。
2 2

已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解:由题意得

a ?1 ? b?1? c ? 0 即a ? b ? c ? 0
2

思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗? 解:由题意得 a ? b ? c ? 0

即a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 0
2

∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1

拓展:若 a-b+c=0, 你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?

讨论:当一元二次方程有一个根为0或1、-1时,一元二次 方程的项有什么特征? 2

ax ? bx ? c ? 0?a ? 0?
2

对于一元二次方程 , 当有一个根为0时,常数项 为 0; 当有一个根为1时,二次项系数、一次项系数、常数项 的和为0,即 a ? b ? c ? 0 ;

ax ? bx ? c ? 0?a ? 0?

c

当有一个根为-1时,一次项系数等于二次项系数与常数 项的和,即 b ? a ? c 。

1)若c ?
2

(默 7 ) 0, 则一元二次方程

ax ? bx ? c ? 0必有一解为0 . 2)若a ? b ? c ? 0, 则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0必有一解为 1 . 3)若a ? b ? c ? 0, 则一元二次方程
2

ax ? bx ? c ? 0必有一解为-1 .
2

4)若4a ? 2b ? c ? 0, 则一元二次方程 2 ax ? bx ? c ? 0必有一解为2 .

(1) 已知关于x的一元二次方程
2 2

(a ? 1)x ? x ? a ? 1 ? 0,的一根是0 则a的值为?B?
A.1 B.-1 C.1或-1 D.0

?

(1) x 2 ? x ? 1 ( 2) x ? 1 1 (3) x ? x 2 ( 4) x ? 3 x ? 2 y ? 0
2

看谁眼力好!
先看是不是 整式方程, 然后整理看 是否符合另 外两个条件

(5) x ? 3 ? ( x ? 1)(x ? 2)
2

(6)ax2 ? bx ? c ? 0 (7)m x ? 0(m为不等于0的常数)
2

1.本节学习的数学知识是:
(1) 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 (2)

3、如何理解一元二次方程的一般形式 2 ax ? bx ? c ? 0 (a≠0)? (a≠0)是成为一元二次方程的必要条件 (1)
找一元二次方程的二次项、一次项 (2) 系数及常数项要先化为一般式

知识回顾

一、一元二次方程的概念 一般形式:ax2+bx+c=0 (a≠0)
对应练习1: 1. 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般
x2+3x-3=0

形式

.其中二次项系数

1

,常数项

-3

.

2. 当m ≠2 时,方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二 次方程. 当m =2 时,方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是 一元一次方程.

1.下列方程中,关于x的一元二次方程是 ( A ) A. 3?x ? 1? ? 2?x ? 1?
2

1 1 ? ?2?0 B. 2 x x
D.

C.

ax2 ? bx ? c ? 0

x ? 2x ? x ? 1
2 2

(1)三个特征:只含有一个未知数; 方程的两边都是整式; 未知数的最高次数为2次. (2)形如ax2 + bx + c=0(a≠0)叫做一元二次方程. 2.关于x的方程(a-1)x2 - 2x + 3=0是一元二次方程,则 ( D )

A. a>1

B. a<1

C.a=1

D.a≠1

3.方程(m-1)x2+mx+1=0为关于x的 一元二次方程,则m的值为( C )
A . 任何实数 C. m≠1 B. m≠0 D. m≠0 且m≠1

4.下列方程中,无论a为何值,总是关于x 的一元二次方程的是( D )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0

5、已知x=2是一元二次方程

x ? mx? 2 ? 0
2
2

-3 。 的一个解,则m=_____
6、已知

a ? 0, a ? b, x ? 1是方程 ax ? bx ? 10 ? 0
2 2

a ?b 5 。 的一个解,则 的 值是______ 2a ? 2b
7、方程mx2+5x+m=0一定是( C )。 (A)一元二次方程; (B)一元一次方程; (C) 整式方程; (D)关于x的一元二次方程

xm

2

?2

已知方程 (m?2) x

m2 ? 2

?(m?2)x?4?0

(1)m为何值时它是一元二次方程? (2)m为何值时它是一元一次方程?
?分析:(1)由一元二次方程的一般形式,m2?2?2, 故m?2?0,故m??2; (2)需分三种情况讨论:①m?2?0,此时m?2;② m2?2?1,此时m??
2?2?0, ;③显然 x ? 0 ,故若 m 3 则原方程也是一元一次方程

? 解:(1)由m2?2?2,m?2?0 得m??2;

一元二次方程中 未知数的最高次 数是2,且二次 项系数不为0。

(2)分三种情况讨论:

①m?2?0,即m?2时,原方程为4x?4?0,是一元一次方程; ②m2?2?1,即m?? 一元一次方程; ③显然x?0,否则有?4?0;故当m2?2?0,即m? ? 2 时,
3时,原方程为 ?2 3 x?4?0,是

原方程为(? 2 ?2)x?6? 2 ?0,也是一元一次方程。 综上:当m??2时,它是一元二次方程;当m?2,? 3 , ? 2 时,它是一元一次方程。
否则有?4=0

点拨:对于方程ax2?bx?c?0(x为未知数),若a?0时,

它是一元二次方程;当a?0,b?0时,它是一元一次方
程。对于方程axm?bx?c?0,当a?0,m?2时,它是一 元二次方程;当a?0或m?1或m?0(此时必须x?0)时, 它是一元一次方程。

走进中考
1、(苏州)若 px ? 3x ? p ? p ? 0 是关于 x 的一元二次方程,则( C )
2 2

A、p为任意实数

B、p=0

C、p≠0
m2 ? 2

D、p=0或1

2、(南京)

若方程(m ? 2)x

? mx ? 7

是关于 x 的一元二次方程,则m的值为

____ m ? ?2

变 式

一元一次方程


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