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新版高中数学人教A版选修2-3习题:第二章随机变量及其分布 检测(A)

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是的是的 广泛广 泛

第二章检测(A)

(时间:90 分钟 满分:120 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)

1.若随机变量 ξ 的分布列如下表所示,则 p1 等于( )

ξ

-1

2

4

P

p1

A.0

B

C

D.1

解析:由分布列性质得 +p1=1,解得 p1=
答案:B 2.一个口袋装有大小、形状、质地相同的 2 个白球和 3 个黑球,第一次摸出 1 个白球后放回,则再摸 出 1 个白球的概率是( )

A

B

C

D

解析:因为是有放回摸球,所以第二次摸出 1 个白球,与第一次摸出白球无关,即相互独立,所以第二次 摸出白球的概率为

答案:C

3.已知离散型随机变量 X 等可能取值 1,2,3,…,n,若 P(1≤X≤3)= ,则 n 的值为( )

A.3

B.5

C.10

D.15

二位分为 Greg

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解析:由已知 X 的分布列为 P(X=k)= ,k=1,2,3,…,n,所以 P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=

,n=15.

答案:D
4.已知随机变量 X 服从正态分布 N(μ,σ2),且 P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 6.若 μ=4,σ=1,则 P(5<X<6)=( )

A.0.135 9

B.0.135 8

C.0.271 8

D.0.271 6

解析:P(5<X<6)= [P(2<X<6)-P(3<X<5)]= (0.954 4-0.682 6)=0.135 9.

答案:A

5.甲、乙两个气象台同时做天气预报,如果它们预报准确的概率分别为 0.9 与 0.6,且预报准确与否相

互独立,那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是

()

A.0.04

B.0.36

C.0.54

D.0.94

解析:设“甲气象台预报准确”为事件 A,“乙气象台预报准确”为事件 B,则 P(A)=0.9,P(B)=0.6,且 A,B 相 互独立,则在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率为 P( )=P( )P( )=(1-0.9)×(10.6)=0.04.

答案:A

6.已知随机变量 ξ,η 满足 ξ+η=8,且 ξ 服从二项分布 B(10,0.6),则 E(η)和 D(η)的值分别是( )

A.6 和 2.4

B.2 和 2.4

C.2 和 5.6

D.6 和 5.6

解析:由已知得 E(ξ)=6,D(ξ)=2.4,则 E(η)=8-E(ξ)=2,D(η)=(-1)2D(ξ)=2.4.

答案:B

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7.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件 A={两个点数互不相同},B={出现一个 5 点},则 P(B|A)等 于( )

A

B

C

D

解析:出现点数互不相同,共有 6×5=30 种,出现一个 5 点,共有 5×2=10 种,则 P(B|A)=

答案:A

8.设样本数据 x1,x2,…,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i=1,2,…,10),则 y1,y2,…,y10 的均值和方差分别为( )

A.1+a,4

B.1+a,4+a

C.1,4

D.1,4+a

解析:



=

+a=1+a.

=

-

-



-

=-

-…

-

= =4.

答案:A
9.已知一次考试共有 60 名同学参加,考生成绩 X~N(110,52),据此估计,大约 57 人的分数所在的区间为 ()

A.(90,100]

B.(95,125]

C.(100,120]

D.(105,115]

二位分为 Greg

是的是的 广泛广 泛

解析:∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.

=0.95≈P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=P(100<X≤120).
答案:C 10.袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球.从袋中任取 2 个球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为( )

A

B

C

D.1

解析:从 15 个球中任取 2 个球,其中白球的个数服从超几何分布,根据超几何分布的概率公式,得所取 的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为

答案:B

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)

11.一牧场的 10 头牛,因误食含疯牛病毒的饲料被感染,已知该病的发病率为 0.02,设发病的牛的头数

为 ξ,则 D(ξ)=

.

解析:由已知 ξ 服从二项分布:ξ~B(10,0.02),

所以 D(ξ)=10×0.02×0.98=0.196.

答案:0.196

12.离散型随机变量 X~N(0,1),则 P(X≤0)=

,P(-2<X<2)=

.

解析:∵正态曲线的对称轴为直线 x=0,

∴P(X≤0)=P(X>0)= ,

P(-2<X<2)=P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4.

答案: 0.954 4

二位分为 Greg

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13.从装有 3 个红球,2 个白球的袋中随机取出 2 个球,用 ξ 表示取到白球的个数,则

P(ξ=1)=

.

解析:P(ξ=1)=

=0.6.

答案:0.6

14.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表.若 E(X)=0,D(X)=1,则 a=

,b=

.

X

-1

0

1

2

P

a

b

c

解析:由题意得 -

答案:

15.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4.现从{an}的前 10 项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续抽

取 3 次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率



.(用数字作答)

解析:由 a4=2,a7=-4 可得等差数列{an}的通项公式为 an=10-2n(n=1,2,…,10).

由题意,三次取数相互独立,每次取得正数的概率为 ,取得负数的概率为 ,在三次取数中,取出的

数恰好为两个正数和一个负数的概率为

答案:

三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(8 分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ξ 表示.据统计,随机变量 ξ 的分布列如下表:

ξ

0

1

2

3

P

0.1

0.3

2a

a

二位分为 Greg

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(1)求 a 的值和 ξ 的均值; (2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次 的概率. 分析(1)由概率和为 1,求 a,利用定义求均值.
(2)利用独立事件及互斥事件概率公式求值. 解:(1)∵0.1+0.3+2a+a=1,∴3a=0.6.∴a=0.2.
∴E(ξ)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7. (2)设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”;事件 A1 表示“两个月内有一个月被投诉 2 次,另一个 月被投诉 0 次”;事件 A2 表示“两个月均被投诉 1 次”. 则由事件的独立性得 P(A1)= P(ξ=2)·P(ξ=0)=2×0.4×0.1=0.08, P(A2)=[P(ξ=1)]2=0.32=0.09, 则 P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17. 故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17. 17.(8 分)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检 测后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需 要的检测费用(单位:元),求 X 的分布列和均值(数学期望).

解:(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A,P(A)=

(2)X 的可能取值为 200,300,400.

P(X=200)=

,

P(X=300)=

,

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P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-

故 X 的分布列为

X

200

300

400

P

E(X)=200 +300 +400 =350.
18.(9 分)在一次测试中,测量结果 X 服从正态分布 N(2,σ2)(σ>0).若 X 在(0,2)内取值的概率为 0.2,求: (1)X 在(0,4)内取值的概率; (2)P(X>4). 分析本题考查正态分布,因为 X 服从正态分布 N(2,σ2)(σ>0),所以 μ=2,画出正态曲线图象,根据图象性 质求相应区间的概率. 解:(1)由 X~N(2,σ2)知,图象的对称轴为直线 x=2,画出示意图,如图.

∵P(0<X<2)=P(2<X<4), ∴P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2=0.4.
(2)P(X>4)= [1-P(0<X<4)]= (1-0.4)=0.3.
19.(10 分)如图,用甲、乙、丙三类不同的元件连接成两个系统 N1,N2,当元件甲、乙、丙都正常工作 时,系统 N1 正常工作;当元件甲正常工作且元件乙、丙至少有一个正常工作时,系统 N2 正常工作.已知 元件甲、乙、丙正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90,分别求系统 N1,N2 正常工作的概率 P1,P2.

二位分为 Greg

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解:记元件甲、乙、丙正常工作的事件分别为 A,B,C,由已知条件 P(A)=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90. (1)因为事件 A,B,C 是相互独立的,所以系统 N1 正常工作的概率
P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统 N1 正常工作的概率为 0.648. (2)系统 N2 正常工作的概率 P2=P(A)[1-P( )]=P(A)[1-P( )P( )]=0.80×[1-(1-0.90)×(1-
0.90)]=0.792. 故系统 N2 正常工作的概率为 0.792.
20.(10 分)某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生,B 中学推荐 了 3 名男生、4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男 生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队. (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛.设 X 表示参赛的男生人数,求 X 的分布列和 均值. 解:(1)由题意知,参加集训的男、女生各有 6 名.
参赛学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为

因此,A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1(2)根据题意,X 的可能取值为 1,2,3.

P(X=1)=

,

P(X=2)=

,

P(X=3)= 所以 X 的分布列为
X

1

2

3

二位分为 Greg

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P
因此,X 的均值为 E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1 +2 +3 =2.
二位分为 Greg

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