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4.1.2圆的一般方程

时间:2010-12-30


4.1.2 圆的一般方程

复习 (x-a)2+(y-b)2=r2 圆的标准方程: 圆的标准方程 特征:直接看出圆心与 特征:直接看出圆心与半径 圆心
指出下面圆的圆心和半径:

(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)

动动手
展开, 标准方程( 把圆的 标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开,得

x + y 2 ? 2ax ? 2by + a 2 + b2 ? r 2 = 0
2

由于a, 由于 b, r均为常数 均为常数
令 ? 2a = D , ? 2b = E , a + b ? r = F
2 2 2

结论: 结论:任何一个圆方程可以写成下面形式

x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 + + =

思考
1.是不是任何一个形如 是不是任何一个形如 x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 方程表示 + + = 的曲线是圆呢? 的曲线是圆呢?

2.下列方程表示什么图形? 下列方程表示什么图形? 下列方程表示什么图形 (1)x2+y2-2x+4y+1=0; ) ; (2)x2+y2-2x-4y+5 =0; ) ; (3)x2+y2-2x+4y+6=0. )

动动脑
把方程: 把方程:x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 + + = 配方可得: 配方可得:
D 2 E 2 D 2 + E 2 ? 4F (x + ) + ( y + ) = 2 2 4

(1)

表示以( 当D2+E2-4F>0时,表示以( ? 时 表示以 为圆心, 为圆心,以(
1 D2 + E2 ? 4F 2

D E ,? ) 2 2

) 为半径的圆 为半径的圆.

(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解 方程只有一组解x=-D/2 时 方程只有一组解
D E y=-E/2,表示一个点( ? 2 ,? 2 ). ,表示一个点(

D 2 E 2 D 2 + E 2 ? 4F (x + ) + ( y + ) = 2 2 4

(3) 当D2+E2-4F<0时,方程无实数解 所 方程无实数解,所 < 时 方程无实数解 以不表示任何图形. 不表示任何图形

所以形如x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 所以形如 + + = (D2+E2-4F>0)可表示圆的方程 )

圆的一般方程: 圆的一般方程:
x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) + + =
圆的一般方程与标准方程的关系: 圆的一般方程与标准方程的关系: 一般方程 的关系

1 2 2 D + E ? 4F (1)a=-D/2,b=-E/2,r= ) , , 2 易于看出圆心 (2)标准方程易于看出圆心与半径 )标准方程易于看出圆心与

一般方程突出形式上的特点: 一般方程突出形式上的特点: 突出形式上的特点 系数相同并且不等于0; ①x2与y2系数相同并且不等于 ; ②没有xy这样的二次项 没有 这样的二次项

圆的一般方程与二元二次方程的关系
圆的一般方程: 圆的一般方程:

x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) + + =
与二元二次方程: 与二元二次方程: A x2 +Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0的关系: + + + = 的关系 1. A = C ≠ 0 2. B=0 3. D2+E2-4F>0 >

}

二元二次方程表 示圆的一般方程

练习
判断下列方程能否表示圆的方程,若能写 判断下列方程能否表示圆的方程 若能写 出圆心与半径 (1) x2+y2-2x+4y-4=0 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 是
圆心( , )半径3 圆心(1,-2)半径

圆心( , ) 是 圆心(3,-1)半径 10

不是

(4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是 (5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是

练习
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为 的圆心坐标为(-2,3), 的圆心坐标为 半径为4,则 半径为 则D,E,F分别等于 分别等于 ( B ) ? 4 ,6 , 3 ( A)4,?6,3

D

(C ) ? 4,6,?3

( D )4,?6,?3

2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是 D
1 ( A)a < 2

1 ( B )a > (C )a = 2

1 2

1 ( D)a ≠ 2

举例 例1: 求过三点 : 求过三点O(0,0),M1 (1,1) , , , , M2(4,2)的方程,并求出这个圆 , )的方程, 的半径和圆心坐标. 的半径和圆心坐标

举例
已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0) 例2. 已知一曲线是与两定点 、 距离的比为1/2的点的轨迹,求此曲线的方程, 距离的比为 的点的轨迹,求此曲线的方程, 的点的轨迹 并画出曲线. 并画出曲线
解:设 ( x, y )是所求曲线上的点,则由题意可得: ( x ? 0) 2 + ( y ? 0) 2 1 = 2 2 2 ( x ? 3) + ( y ? 0)
2

y

M(x,y)

.

两边平方化简得: x + y + 2x ? 3 = 0
2

(-1,0) O , )

.

.
A(3,0)

x

Q 6 2 ? 4 × ( ?9) > 0 ∴ 该曲线为圆.

直译法

举例 已知线段AB的端点 的端点B的坐标是 例3. 已知线段 的端点 的坐标是 ),端点 在圆( (4,3),端点 在圆(x+1)2+y2=4 , ),端点A在圆 ) 上运动,求线段AB的中点 的轨迹 的中点M的轨迹 上运动,求线段 的中点 方程. 方程

练习
3.圆x2+y2+8x-10y+F=0 与x轴相切 则这 圆 轴相切,则这 轴相切 个圆截y轴所得的弦长是 个圆截 轴所得的弦长是
( A)6 (B )5

A
( D )3

(C )4

4. 点A(3,5) 是圆 x2+y2-4x-8y-80=0 的一条 弦的中点,则这条弦所在的直线方程是 弦的中点 则这条弦所在的直线方程是

x+ y?8= 0

3. 已知:一个圆的直径的两端点是 已知:一个圆的直径的两端点是A(x1,y1) 、B(x2,y2). 证明: 证明:圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

解法一: 解法一: 求圆心、 求圆心、求半径 ? P 解法二: 直译法 解法二: P点满足 ⊥PB 点满足PA⊥ 点满足 A ? C B

y ? y1 y ? y2 即 ? = ?1 x ? x1 x ? x2

4.已知点 是圆 2+y2=1上的一个动点,又A(3,0),求 已知点P是圆 上的一个动点, 已知点 是圆x 上的一个动点 , , (1)线段 的中点 的轨迹方程; 线段AP的中点 的轨迹方程; 线段 的中点M的轨迹方程
1 (2)分 AP 的比为 的点 的轨迹方程 的点Q的轨迹方程 的轨迹方程. 分 2

32 1 2 (1) ( x ? ) + y = 2 4 1 2 2 (2) ( x ? 2) + y = 9 小结】求一个随着已知曲线(伴随曲线 上的动点(伴随点 伴随曲线)上的动点 伴随点) 【小结】求一个随着已知曲线 伴随曲线 上的动点 伴随点
而动的点(生成点 的轨迹 生成曲线)方程用的方法 而动的点 生成点)的轨迹 生成曲线 方程用的方法 生成点 的轨迹(生成曲线 叫 课堂练习 代点法 .

知识结构
知a、b、r 、 、 (x-a)2+(y-b)2=r2 配 圆的方程 方 展 开

x2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F 、 、

D2+E2 -4F>0

小结
1. 本节课的主要内容是圆的一般方程 其表达式为 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
? x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ? ? 2 ? D + E 2 ? 4F > 0 ?

2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系 一般方程
配方 ???→ ←??? 展开

标准方程(圆心 半径 标准方程 圆心,半径 圆心 半径)

3. 给出圆的一般方程 如何求圆心和半径 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径 如何求圆心和半径? (用配方法求解 用配方法求解) 用配方法求解

小结
4. 要学会根据题目条件 恰当选择圆方程形式 要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式 恰当选择圆方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆 若知道或涉及圆心和半径 我们一般采用圆 的标准方程较简单. 的标准方程较简单 ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的 若已知三点求圆的方程 我们常常采用圆的 一般方程用待定系数法求解. 一般方程用待定系数法求解

作业
课本P123 练习 ,3 练习2, 课本 P124 习题A组 1,6 习题 组 , 《练习册》P71—P73 练习册》 《活页二十四》 活页二十四》


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