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导数常用的基本性质及其用法

时间:2016-11-25


导数常用的基本性质及其用法
1. f ( x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商) :

f ?( x0 ) ? y?

x ? x0

? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim . ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x

2.瞬时速度:

? ? s?(t ) ? lim

?t ?0

?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim . ? t ? 0 ?t ?t

3.瞬时加速度:

a ? v?(t ) ? lim

?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t

4. f ( x) 在 ( a, b) 的导数:

f ?( x) ? y? ?

dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? lim ? lim . dx dx ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

5.函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 相应的切 线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 6.几种常见函数的导数: ⑴ C ? ? 0 (C 为常数). ⑶ (sin x)? ? cos x . ⑸ (ln x )? ? ⑵ ( xn )' ? nxn ?1 (n ? Q) . ⑷ (cosx)? ? ? sin x . ⑹ (e )? ? e ; (a )? ? a ln a .
x x x x

1 1 e x ; (log a )? ? log a . x x

7.导数的运算法则: ⑴ (u ? v)' ? u ' ? v' . ⑶( ) ?
'

⑵ (uv)' ? u 'v ? uv' .

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

8.复合函数的求导法则: 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ' ? ? ' ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应 点 U 处有导 数
' ' ' ' ' ' 则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数, 且 yx ? yu ? ux , 或写作 f x (? ( x)) ? f (u)? ( x) . yu ' ? f ' (u) ,


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