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河北省普通高中高二数学学业水平考试模拟试卷06

时间:2012-09-26


河北省普通高中学业水平考试模拟试卷 06
一、选择题:(本题共 25 小题,1-15 小题每小题 2 分,16—25 小题每小题 3 分共 60 分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8} ,集合 S ? {1, 3, 5} , T ? {3, 6} ,则 C U ? S ? T ? 等于 A. ? B. {2, 4, 7 , 8} C. {1, 3, 5, 6} D. {2, 4, 6, 8}

2.已知两条直线 y ? a x ? 2 和 y ? ( a ? 2 ) x ? 1 互相垂直,则 a 等于 (A)2 (B)1 (C)0 (D) ? 1 3.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了 了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 A.7 B.15 C.25 D.35 4.以点(2,-1)为圆心且与直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( (A) ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

(B) ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

(C) ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

(D) ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

5.如果 a ? 0, b ? 0 ,那么,下列不等式中正确的是 (D) | a | ? | b | b 6.如果函数 y ? f ( x ) 的图像与函数 y ? 3 ? 2 x 的图像关于坐标原点对称,则 y ? f ( x ) 的 (A)
b
2 2

1 a

?

1

(B) ? a ?

(C) a ? b

表达式为 (A) y ? 2 x ? 3

(B) y ? 2 x ? 3

(C) y ? ? 2 x ? 3

(D) y ? ? 2 x ? 3

7.已知 I 为全集,集合 M、N I,若 M∩N=N,则 A.
I

M?

I

N
?

B.M
?

I

N
? ?

C.

I

M
?

I

N
?

D.M ?

I

N

b 8.已知向量 a、 满足 a ? 1, b ? 4 , ,且 a ? b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为

? ?

A.

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

9.函数 y ? sin 2 x co s 2 x 的最小正周期是 (A) 2 ? (B) 4 ? (C)
?
4

(D)

?
2

10.设 S n 是等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,若 S 7 ? 3 5 ,则 a 4 ? A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

?y≤ x ? 11.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? ? y ≥ 3x ? 6

1

A.2 B.3 C.4 D.9 12.某地区有 300 家商店,其中大型商店有 30 家,中型商店有 75 家,小型商店 有 195 家。为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本。 若采用分层抽样的方法,抽取的中型商店数是 (A)2 (B)3 (C)5 (D)13 13.已知某等差数列共有 10 项,其中奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为 A.5 B.4 C. 3 D.2 14.已知 ? ? ( (A) 15. [log
1 7
(2? 3)

?
2

, ? ), s in ? ?

3 5

, 则 ta n (? ?

?
4

) 等于 1 7

(B) 7
(2 ? 3) ? 2]
2

(C) ?

(D) ? 7

+| 2 -3|的值是 (C)2 (D)4

(A)2 2 -4

(B)2 2

16.正方体的内切球与其外接球的体积之比为
? a ? ? ? ? ? ? 17.已知非零向量 a , b ,若 a ? 2 b 与 a ? 2 b 互相垂直,则 ? ? b

(A) 1 :

3

(B) 1 : 3

(C) 1 : 3 3

(D)1∶9

A.

1 4

B.
? 2 sin( x 3

4
?

C.
?
6 ), x ? R

1 2

D. 2
? 2 sin x , x ? R

18.为了得到函数 y 有的点 (A)向左平移 (B)向右平移 (C)向左平移 (D)向右平移
?
6

的图像,只需把函数 y

的图像上所

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)
3

1

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)
3

1

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)
2 3

?
6

19.已知 s in 2 ? ?
15 3

, ? ∈(0, ? ),则 sin ? ? co s ? ?
15 3
5 3
2

A.

B. ?

C.

D. ?

5 3

20.在各项均不为零的等差数列 ? a n ? 中,若 a n ? 1 ? a n ? a n ? 1 ? 0 ( n ≥ 2 ) ,则 S 2 n ? 1 ? 4 n ? A. ? 2 B. 0 C. 1 D. 2 21.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ), 则 f (6 ) 的值为 (A) -1 (B)0 (C)1 (D)2

2

22.设 x,y 为正数, 则(x+y)( A. 6 B.9

1 4 + )的最小值为 x y C.12 D.15
A1
C

C1 F1 B1

23.如图,正三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的各棱长都为 2,E、F 分别 是 A B , A1 C 1 的中点,则 EF 的长是 (A)2 (B) 3 (C)
5

(D) 7

A E

B

24.下列两个变量之间的关系是相关关系的是 A .正方形的棱长与体积 C.日照时间与水稻的亩产量 B. 单位面积产量为常数时,土地面积与产量 D. 电压一定时,电流与电阻

25.已知平面α 外不共线的三点 A,B,C 到α 的距离都相等,则正确的结论是 A.平面 ABC 必平行于α B.平面 ABC 必与α 相交 C.平面 ABC 必不垂直于α D.存在△ABC 的一条中位线平行于α 或在α 内 二、填空题:(本题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 26.已知两条直线 l1 : a x ? 3 y ? 3 ? 0, l 2 : 4 x ? 6 y ? 1 ? 0 . 若 l1 // l 2 ,则 a ? _
co sin 27.已知向量 a ? (1, ? ) , b ? (1, s ? ) ,则 a ? b 的最大值为

_ __ .

?

?

?

?

28.求值: tan 2 0 ? tan 4 0 ?
0 0

3 tan 2 0 tan 4 0 ? _____________
0 0

29.已知 x、y 的取值如下表所示: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 . .

? 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且 y ? 0 .9 5 x ? a ,则 a ?

30.正三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 ,所有棱长均为 1,则点 B 1 到平面 A B C 1 的距离为

三、解答题:(本大题共 3 小题,30 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 31.(本小题满分 8 分)在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作 品上交时间为 5 月 1 日至 30 日.评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统 计,绘制了频率分布直方图如下.已知从左至右各长方形的高的比为 2∶3∶4∶6∶ 4∶1,第三组的频数为 12,请解答下列问题: (1)本次活动共有多少件作品参加评比? (2)哪组上交的作品数量最多?有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖,这 两组哪组获奖率较高?

3

32. (本小题满分 10 分) S n 是数列 ?a n ? 的前 n 项和,a 1 ? 1 ,S n2 ? a n ? S n ? 设
?

?

1? ?(n ? 2 ) . 2?

⑴求 ?a n ? 的通项; ⑵设 b n ?
Sn 2n ? 1

,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 T n .

33.(本小题满分 12 分)某厂家拟在 2011 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销 售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m 万元(m≥0)满足,如果不搞促销活动,则 该产品的年销售量只能是 1 万件。已知 2008 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元, 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用)。 (1)将 2008 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2008 的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

4

河北省普通高中学业水平考试模拟试卷 06 答案 一.选择题 1 2 B D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 C 9 D 10 D 11 B 12 C 13 C

14 A

15 C

16 C

17 D

18 C

19 A

20 A

21 B

22 B

23 C

24 C

25 D

1.答案 B 解: S ? T ? {1, 3, 5, 6} ,则 C U ? S ? T ? = {2, 4, 7 , 8} , 2.答案 D. 解:两条直线 y ? a x ? 2 和 y ? ( a ? 2 ) x ? 1 互相垂直,则 a ( a ? 2 ) ? ? 1 ,∴ a=-1, 3.答案 B 4.答案 C. 解:r=
|3 ? 2 - 4 ? - 1 ) + 5 | ( 3 +4
2 2

=3,故选 C

5.答案 A 解:如果 a ? 0, b ? 0 ,那么 6.答案 D. 解:将-x,-y 代入函数 y ? 3 ? 2 x ,得 y ? f ( x ) 的表达式为 y ? ? 2 x ? 3 。 7.答案 C 解:∵M∩N=N,∴N ? M,∴ 8.答案 C 解:向量 a 、 b 满足 a ? 1, b ? 4 , 且 a .b ? 2 , 设 a 与 b 的夹角为 θ ,
1 ? = , | a |?|b | 2
I

1 a

? 0,

1 b

? 0 ,∴

1 a

?

1 b

.

N?

I

M
? ? ? ?

?

?

则 cosθ = ? 9.答案 D.

? ? a ?b

∴ θ =

?
3

,选 C.

解: y ? s in 2 x c o s 2 x ? 10.答案 D.

1 2

s in 4 x 所以最小正周期为 T ?

2? 4

?

?
2

,故选 D

解: S n 是等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,若 S 7 ? 7 a 4 ? 3 5, ∴ a 4 ? 5 ,选 D. 11.答案 B

5

?y ? x ? 解:设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 , 在坐标系中画出 ? y ? 3x ? 6 ?

y C

可行域△ABC,A(2,0),B(1,1),C(3,3),则目标函数
z ? 2 x ? y 的最小值为 3,选 B.
O

B x A

12.答案 C 解:各层次之比为:30?75?195=2?5?13,所抽取的中型商店数是 5。 13.答案 C 解: ?
? 5 a 1 ? 20 d ? 15 ? 5 a 1 ? 25 d ? 30 ? d ? 3 ,故选 C.

14.答案 A 解:已知 ? ? ( 15.答案 C 解: [log 16.答案 C 解:设正方体的棱长为 a,则它的内切球的半径为
1 2 a ,它的外接球的半径为
(2? 3)

?
2

, ? ), s in ? ?

3 5

, 则 ta n ? ? ?

3 4

, ta n (? ?

?
4

)=

1 ? ta n ? 1 ? ta n ?

?

1 7

,选 A.

(2 ?

3) ?

2]

2

+| 2 -3|= ( 2 ? 1) 2 +| 2 -3|=2

3 2

a,

故所求的比为 1∶3 3 ,选 C 17.答案 D 解:由 a+2b 与 a-2b 互相垂直?(a+2b)?(a-2b)=0?a -4b =0 即|a| =4|b| ?|a|=2|b|,故选 D
2 2 2 2

18.答案 C 解:先将 y ? 2 sin x , x ? R 的图象向左平移 得到函数 y ? 2 s in ( x ?
?
6

?
6

个单位长度,

), x ? R 的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 x 3 ?

(纵坐标不变)得到函数 y ? 2 sin( 19.答案 A 解:由 sin2A=2sinAcosA=
2 3

?
6

), x ? R 的图像

?0,又 A∈(0, ? )所以 A?(0,
2

?
2

),

所以 sinA+cosA?0,又(sinA+cosA) =1+2sinAcosA= 20.答案 A

5 3

故选 A

解: 设公差为 d, an+1=an+d, n-1=an-d, a n ? 1 ? a n ? a n ? 1 ? 0 ( n ≥ 2 ) 可得 2an- a n = 则 a 由
2 2

6

0,解得 an=2(零解舍去),故 S 2 n ? 1 ? 4 n ? 2×(2n-1)-4n=-2 21.答案 B 解:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,又 f(x+4)=-f(x+2)=f (x),故函数 f(x)的周期为 4,所以 f(6)=f(2)=-f(0)=0,选 B 22.答案 B 解:x,y 为正数,(x+y)( 23.答案 C 解:取 AC 的中点 G,连 EG,FG,则易得 EG=2,EG=1,故 EF= 5 ,选 C。 24.答案 C 解:C. 其余三个为函数关系 25.答案 D 解:已知平面 α 外不共线的三点 A、B、C 到 α 的距离都相等,则可能三点在 α 的同侧, 即平面 ABC 平行于 α , 这时三条中位线都平行于平面 α ; 也可能一个点 A 在平面一侧, 另两点 B、C 在平面另一侧,则存在一条中位线 DE//BC,DE 在 α 内,所以选 D. 二.填空题 26.答案 2 解:已知两条直线 l1 : a x ? 3 y ? 3 ? 0, l 2 : 4 x ? 6 y ? 1 ? 0 . 若 l1 // l 2 , ? 27.答案 2 解: a ? b =|sin?-cos?|= 2 |sin(?- 28.答案 3
ta n 2 0 ? ta n 4 0
0 0 0 0

1 x

?

4 y

)≥ 1 ? 4 ?

y x

?

4x y

≥9,选 B.

a 3

? ?

2 3

,则 a ? 2.

?

?

?
4

)|? 2

解: ta n 6 0 ? ta n ( 2 0 ? 4 0 ) ?
0 0 0

1 ? ta n 2 0 ta n 4 0
0 0

?

3

3?

3 tan 2 0 tan 4 0 ? tan 2 0 ? tan 4 0
0 0

29.答案 2.6
? 解: y ? 0 .9 5 x ? a 是一定过点( x , y ),也可以直接用公式求。

30.答案

21 7

解:连结 A C 1 , B C 1 , B1C , 则点 B 1 到平面 A B C 1 的距离转化为 C 点到平面 A B C 1 的距离, 易得 S ? A B C ?
1

1 2

?1?

7 2

?

7 4

,则由 V C

1

? ABC

? VC ? ABC

1

7

?

1 3

?

1 2

?1?1?

3 2

?

1 3

?

7 4

? h ,求得 h=

21 7



三.解答题 18.解:(1)依题意,可算出第三组的频率为
4 2 ? 3? 4 ? 6 ? 4 ?1



1 5

,-----------3 分
12 1 5

然后依据频率=

第三组的频数 样本容量

,知本次活动其参评的作品数=

=60(件);

-----------4 分 (2)根据频率分布直方图,可看出第四组上交的作品数量最多,共有
60 ? 4 2 ? 3? 4 ? 6 ? 4 ?1 ? 18 (件);-----------6 分 10 18

(3)易求得第四组获奖率为 第六组获奖率为
2 3



5 9

, -----------8 分



6 9



由此可知,第六组获奖率较高.

32.解:⑴? S n2 ? a n ? S n ?
?

?

1? 1? ? 2 ? ,? n ? 2 时, S n ? ( S n ? S n ? 1 ) ? S n ? ? , 2? 2? ? 1 Sn 1 S n ?1
1 S1

整理得, S n ? 1 ? S n ? 2 S n ? 1 S n ?

?

? 2 ,-----------3 分

? 数列 ?a n ? 是以 2 为公差的等差数列,其首项为

? 1 . -----------4 分

?

1 Sn

? 1 ? 2 ( n ? 1) ? S n ?

1 2n ? 1

,? a n ?

2Sn

2

2Sn ? 1

?

2 ( 2 n ? 1)
2

;-----------6 分

⑵由⑴知, b n ?

Sn 2n ? 1

?

1 ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 )

?

1 ? 1 1 ? ? ? ? ----------6 分 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 ? 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? ?
1 2 (1 ? 1 2n ? 1 ) ? n 2n ? 1 . -----------10 分

? Tn ?

33. 解:(1)由题意可知,当 m ? 0时 , x ? 1( 万件 ) ,
? 1 ? 3 ? k , 即 k ? 2 ,? x ? 3 ? 2 m ?1 .

-----------2 分

8

每件产品的销售价格为 1 . 5 ?
? 2006 年的利润

8 ? 16 x x

(元),
] ? ( 8 ? 16 x ? m )

y ? x [1 . 5 ?
2

8 ? 16 x x

? 4 ? 8 x ? m ? 4 ? 8 (3 ?

m ?1

)?m

? ?[

16 m ?1

? ( m ? 1)] ? 29 ( m ? 0 ). -----------6 分 16 m ?1 ? ( m ? 1) ? 2 16 ? 8 ,-----------8 分 16 m ?1 ? m ? 1, 即 m ? 3 (万元)时,-----------10 分

(2)? m ? 0时 ,

? y ? ? 8 ? 29 ? 21 , 当且仅当

y max ? 21 (万元)。

-----------12 分

所以该厂家 2006 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大,最大值为 21 万元。

9


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