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高中数学必修1(北师)第一章1-1集合的含义与表示含同步练习与答案

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高中数学必修1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 集合 1.1 集合的含义与表示

一、知识清单
集合的概念 集合的表示法 空集的概念 集合中元素的性质 常见的数集及其记法 元素和集合的关系 集合的分类

二、知识讲解
1.集合的概念 描述: 一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成 的集合(set)(或集).构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(element). 集合通常用英语大写字母 A ,B ,C ,? 来表示,它们的元素通常用英语小写字母 a , b , c ,? 来表示. 例题: 判断下面的语句能否确定一个集合,能构成集合的,写出其中的元素. (1)小于 10 的所有正偶数;(2)方程 x2 ? 1 = 0 的实数解. 解:(1)能构成集合,其中的元素有 2 ,4 ,6 ,8 ;(2)能构成集合,其中的元素有 ?1, 1.

2.集合中元素的性质 描述: 集合中元素的性质包括: 集合中元素的确定性 给定集合中的元素必须是确定的,也就是任何一个对象或者在给定集合中,或者不在给定集合 中,二者必居其一. 集合中元素的互异性 给定集合中的元素是互不相同的,也就是说集合中的元素是不可能重复出现的. 集合中元素的无序性 集合中的元素不考虑顺序,只要构成两个集合的对象是一样的,就称这两个集合是相同的. 例题: 下面表述中的对象可以构成集合的是______. (1)高中数学中所有难题;(2)中国体重超过 100kg 的人的全体;(3)大于 5 的自然数全 体. 解:(2)(3)构成集合.(1)不符合集合中元素的确定性.

判断下列语句是否正确: (1)由 1 ,2 ,3 ,2 ,1 构成一个集合,这个集合共有 5 个元素; (2)由 1 ,2 构成的集合和与 2 ,1 构成的集合是不同的集合; (3)非常大的数可以构成一个集合. 解:(1)不正确,不符合集合中元素的互异性;(2)不正确,两个集合元素相同,是相同集合;(3) 不正确,不符合集合中元素的确定性. 由 x ,?x ,|x|,√x 2 ,√x 4 构成的集合中,最多含有( )个元素. A.2 B.3 C.4        D.5 解:B ? ? ? ? |x| = x 或 |x| = ?x ,|x| = √x2 ,√x4 = x2 ,所以最多含有 3 个元素.

? ?

? ?

3.元素和集合的关系 描述: 给定一个集合 A ,任何一个对象 a 是不是这个集合的元素就确定了.若 a 是集合 A 的元素 就说 a 属于(belong to)集合 A ,记作 a ∈ A ; 若 a 不是集合 A 中的元素,就说 a 不属于(not belong to)集合 A ,记作 a ? A . 例题: 已知集合 A 含有 a ? 2,2a2 + 5a ,12 三个元素,且 ?3 ∈ A,求 a 的值.

3 . 2 当 a = ?1 时,a ? 2 = ?3 ,2a2 + 5a = ?3,不满足集合中元素的互异性,所以 a = ?1 舍
解:因为 ?3 ∈ A,则 ?3 = a ? 2 或 ?3 = 2a2 + 5a,所以 a = ?1 或 a = ? 去. 当 a=?

3 3 时,经检验,符合题意.故 a = ? . 2 2

4.集合的表示法 描述: 集合的表示法包括: 列举法 把集合的元素一一列举出来,并用 "{ }" 括起来表示集合的方法叫做列举法. 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是:在花括号内先写上表示这 个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所 具有的共同特征.如:所有奇数的集合表示为E = {x ∈ Z | x = 2k + 1, k ∈ Z}. 例题: 用列举法表示下列集合: (1)由元素 0 ,1 构成的集合; (2) 8 的所有正因数构成的集合; (3)方程 x 2 ? 2x + 1 = 0 的实数解集合; (4)不大于 50 的自然数构成的集合. 解:(1){0, 1};(2){1, 2, 4, 8};(3){1} ;(4){0, 1, 2, 3, ? , 50} . 用描述法表示下列集合: (1)大于 1 的实数构成的集合;

(2)大于 1 的整数构成的集合; (3)方程 x 2 ? 4x + 3 = 0 的实数解构成的集合; (4)所有的偶数构成的集合. 解:(1){x ∈ R | x > 1};(2){x ∈ Z | x > 1};(3){x | x2 ? 4x + 3=0};(4) {x | x = 2n, n ∈ Z}. 判断下面每组集合是否表示相同的集合: (1)A = {2, 1}、B = {x | x 2 + 3x + 2 = 0}、C = {x | x2 (x ? 2) = 0};

∣ ∣ y=2 2 (3)A = {x | y = x }、B = {y | y = x2 }、C = {(x, y)| y = x2 }.

2 2 (2)D = {(1, 2)}、E = {(x, y) ∣ { x = 1 }、F = {(x, y) ∣ ∣ (x ? 1) + (y ? 2) = 0};

解:(1)中三个集合都是不相同的集合;(2)中三个集合都是相同的集合;(3)中三个集合都是不相 同的集合. 用列举法表示下列集合:

8 ∣ 8 ∣ A = {x ∈ N ∣ ∈ N},B = { ∈ N ∣ x ∈ N}. ∣ 6?x ∣ 6?x 解:A = {2, 4, 5},B = {2, 4, 8} .

5.常见的数集及其记法 描述: 常见的数集及其记法有: 全体非负整数组成的集合称为自然数集,记作 N ; 全体正整数组成的集合称为正整数集,记作 N ? 或 N + ; 全体整数组成的集合称为整数集,记作 Z ; 全体有理数组成的集合称为有理数集,记作 Q ; 全体实数组成的集合称为实数集,记作 R . 例题: 用符号 ∈ 或 ? 填空: (1)0 ____N ;(2)?3____Z ;(3)3.14 ____Q ; (4)π ____Q ; (5) ? ?√2 ____R ; (6)sin 60 ____Q ; (7)0 ____{0} ; (8)0 ____?. 解:(1)、(2)、(3)、(5)、(7)填入 ∈,(4)、(6)、(8)填入 ?. 下面有四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 0 ; (2)若 ?a 不属于 N ,则 a 属于 N ; (3)若 a ∈ N ,b ∈ N ,则 a + b 的最小值为 2 ; (4) x 2 ? 2x + 1 = 0 的解可表示为 {1, 1} . 其中正确命题的个数为( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 解:B 因为 ?√2 ? N,而 √2 ? N,所以(2)错误; 若 a ∈ N ,b ∈ N ,则 a + b 的最小值应为 0 ,(3)错误; 方程 x 2 ? 2x + 1 = 0 的解应表示为 {1} ,(4)错误.

6.集合的分类 描述: 含有有限个元素的集合称为有限集,含有无限个元素的集合称为无限集.我们通常用 card(A) 来表示有限集合 A 中元素的个数. 例题: 判断下面集合是有限集,还是无限集,是有限集的,写出集合中元素的个数: (1)英文字母全体构成的集合; (2)全体偶数构成的集合; (3)12 的正因数构成的集合; (4)方程 x 2 ? 2x + 1 = 0 的解集. 解:(1)有限集,26个元素;(2)无限集;(3)有限集,6 个元素;(4)有限集,1 个元素.

7.空集的概念 描述: 空集 不含任何元素的集合叫做空集(empty set),记为 ? . 例题:
下列四个集合中,是空集的是( A.{x | x + 3 = 3} C.{x | x 2 < x} 解:D 对于
x 2 ? x + 1 = 0 , Δ < 0 ,所以 {x | x 2 ? x + 1 = 0}



B.{(x , y) | y 2 = ?x 2 , x , y ∈ R} D.{x | x 2 ? x + 1 = 0} 是空集.

关于 x 的不等式 kx 2 ? 6kx + k + 8 < 0 的解集为空集,求实数 k 的取值范围. 解:(1)当 k = 0 时,原不等式化为
8 < 0 ,显然符合题意.

(2)当 k ≠ 0 时,要使二次不等式的解集为空集,则必须满足
{ k > 0, Δ = (6k)2 ? 4 × k (8 + k) ? 0, {k | 0 ? k ? 1} .

解得

0 < k ? 1 ,综上,得

k

的取值范围为

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