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03历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

时间:2010-01-10


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历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
第3届 (1969 年于捷克斯洛伐克的布尔诺)
【题 1】右图的力学系统由三辆车组成,质量分别为 mA= 0.3kg,mB=0.2kg,mC=1.5kg. B (a)沿水平方向作用于 C 车的力 F 很大.使 A,B 两车相 F C A 对 C 车保持静止.求力 F 及绳子的张力. (b)C 车静止,求 A,B 两车的加速度及绳子的张力. (忽略阻力和摩擦力,忽略滑轮和车轮的转动惯量) 解: (a)A,B 两车相对 C 车保持静止,A 车在竖直方向没有加速度,因此它对绳的拉 力为 mAg.这个力使 B 车得到加速度 a B =

mA g .又三车系统以相同的加速度运动,则: mB

F = ( m A + m B + mC )

mA g mB

由给定的数值得:aB=aC=aA=1.5g=14.7m/s2 绳中的张力为:T=mAg=2.94N 水平推力为:F=29.4N (b)如果 C 车静止,则力 mAg 使质量 mA+mB 加速,加速度为:

a AB =

mA g =0.6g=5.88N m A + mB

绳中的张力为:T/=mAg-mA×0.6g=1.176N 【题 2】 在质量为 m1 的铜量热器中装有质量为 m2 的水, 共同 的温度为 t12;一块质量为 m3,温度为 t3 的冰投入量热器中(如右 图所示) 试求出在各种可能情形下的最终温度. . 计算中 t3 取负值. 0 铜的比热 c1=0.1kcal/kg C,水的比热 c2=1kcal/kg0C,冰的比热 c3=0.5kcal/kg0C,冰的熔解热 L=80kcal/kg. 解:可能存在三种不同的终态: (a)只有冰; (b)冰水共存; (c)只有水. (a)冰温度升高,但没有熔化,达到某一(负)温度 ta; 放出的热量和吸收的热量相等: c3 m3(ta-t3)=(c1 m1+c2 m2) 12-ta)+m2L (t
1

m3 c3 t3

m2 c2 t2 m1 c1 t1

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得出最终的温度为 t a =

(m1c1 + m2 c 2 )t12 + m3 c3t 3 + m2 L m1c1 + m2 c3 + m3 c3

(1)

情况(a)的条件是 ta<0(注:指 00C) ,如果上式的分子为负值,我们得到下列条件: (c1 m1+c2 m2)t12<―c3 m3t3―m2L (2) (c)现在让我们讨论冰块全部熔化的情况.设它们最终的温度为 tc,冰块吸收的热量等 于量热器和水放出的热量:c3 m3(0-t3)+m3 L+c2 m3tc=(c1 m1+c2 m2) 12-tc) (t (m1c1 + m 2 c 2 )t12 + m3 c3t 3 m3 L 得出最终的温度为 t c = (3 ) m1c1 + m2 c 2 + m3 c 2 这种情况只有在 tc>0时才能发生.取上式的分子为正值,得到下列条件: (c1 m1+c2 m2)t12>―c3 m3t3+m3L (4) (b)冰水共存这种情况是冰和水混合后都以 00C 共存于量热器中.根据(2)式和(4) 式,条件为:―c3 m3t3―m2L<(c1 m1+c2 m2)t12<―c3 m3t3+m3L 如果混合后有 x 克冰熔化了,则―c3 m3t3+x L=(c1 m1+c2 m2)t12 故冰熔化了的质量为 x =

(m1c1 + m2 c2 )t12 + m3 c3 t 3 L

于是混合后,在量热器中有质量为(m3―x)的冰和质量为(m2+x)的水.x 为负值意 味着有水结为冰,冰的质量增加.对于给定的数值,我们可以从公式容易得到最终的结果. 【题 3】 在竖直平面内有半径 R=5cm 的线圈 (如图) . 质量 m=1g 的小球系在长度为 l 的绝缘轻绳上,从线圈 l 的最高点悬挂着. 当线圈和小球两者都带有 Q=9×10-8C R Fn α 的相同电量时,发现小球在垂直线圈平面的对称轴上处 α 于平衡.求绳的长度. F mg 解:如果线圈上的全部电荷集中与一点,则库仑力 为F = k

Q2 l2

线圈上各点施于小球的力与对称轴夹角为,它们在轴上的投影为 Fn=Fcos.小球的 重量为 mg.由上图可得: sin α = mg = R = mg F l Q2 k 2 l 所以:l = 3

RkQ 2 =7.2cm(k=9×109N m2/C2) mg
l

(注:以上解答为原解,可能有错) R 另解: 如解答图 3.3.1, 在线圈上取一电荷微元, 长为 d ,电荷量为d ,为线电荷密度,2πR =Q.则微元电荷对小球的作用力为:
2

α

α
Fti

Fni

Fi

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Fi = k

λdQ
l2


把 Fi 沿平行轴和垂直轴分解:Fni=Fi cos 解答图 Fti=Fi sin 在线圈上取与上电荷微元对称的电荷微元,如 解答图 3.3.2.对称的电荷微元,长也为 d ,电荷量 为d ,它对小球的作用力为: Fi = k
/

Fti

Fi

λdQ
l2

R

α
l

α

Fni

把 Fi 沿平行轴和垂直轴分解: Fn/i=Fi /cos 解答图 3.3.2 Ft/i=Fi /sin Fni 与 Fn/i 方向相同,合力为大小相加,Fti 与 Ft/i 方向相反,合力为大小相减,等于零. 所以线圈对小球作用的库仑力为:

2πλQ Q2 Fn=∑Fni= k cos α = k 2 cos α l2 l
对小球受力分析,小球受三力作用:重力 mg, 库仑力 Fn,拉力 T,如解答图 3.3.3.则:

T R l

α

α

Fn

mg
解答图 3.3.3

F

F l cos α = n R mg
把 Fn= k

RkQ 2 Q2 cos α 代入上式解得: l = 3 =7.2cm mg l2

(k=9×109N m2/C2)

【题 4】一块平板玻璃放置在边长为 2cm 的玻璃立方体上,两者之间有 一层平行的薄空气隙.波长在 0.4m 到 1.15m 之间的电磁波垂直入射到平 板上, 经空气隙的两边表面反射而发生干涉. 在此波段中只有两种波长获得 极大的增强,其一是1=0.4m.求空气隙的厚度. 解:光在厚度为 d 的空气隙中往返,经过的距离为 2d.光被玻璃反射 时,还经受 1800 的相位改变.于是对波长为1 的光,增强的条件为: 2d= k1λ1 +

d

λ1
2

(k1=0,1,2,3,……)

类似地,对其它波长的光,产生极大增强的条件是: 2d= k 2 λ 2 +

λ2
2

(k2=0,1,2,3,……)
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比较这两个条件,得到:

2k1 + 1 λ 2 = 2k 2 + 1 λ1

根据波长给定的范围,得到:

λ2 1.15 = = 2.875 λ1 0.4

这个比值的最小可能值为 1,最大可能值为 2.875.因此我们得到关于 k1 和 k2 的下列条 件:1<

2k1 + 1 <2.875 2k 2 + 1

(1)

对不同的 k1 和 k2,我们算出上述分数值,得到下表: k1 k2 0 1 2 3 4 5 0 1 0.33 0.2 0.14 0.11 0.09 1 3 1 0.6 0.43 0.33 0.27 2 5 1.67 1 0.71 0.56 0.45 3 7 2.33 1.4 1 0.78 0.64 4 9 3 1.8 1.29 1 0.81 5 11 3.67 2.2 1.57 1.22 1

只有分数值满足条件(1)式的各个 k1 和 k2 对才是合格的,我们已在表格中算出.但其 中只有一对是允许的.这就是说,我们应当找出这样的一列,其中只能有一对是允许的 k1 和 k2.从表中看出,仅有的是 k1=2,k2=1 这一对,其分数值是 1.67,这就是解答. 对于 k1=0.4m 的光,根据 2d=2×0.4+0.2=1m,得到空气隙的厚度为 d=0.5m 由 2×0.5= λ 2 +

λ2
2

得到第二个波长为 k2=0.667m 【实验题】给定一闭合电路,它是由已知电阻 R,未知电阻 X 以及内阻可以忽略的电源 组成的.电阻 X 是可调电阻器,由引线,毫米标尺,滑动接触块组成.另一电路由干电池和 零点在中心的电流计组成,它与主电路的连接方式使得没有电流流过电流计.试测定电阻 X 及端电压之比.

R U X x E

R U y X

E

4

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解答图 3.5.1 解答图 3.5.2 解答:联接两种补偿电路,如解答图 3.5.1 和解答图 3.5.2.第一次测量不包括 R.滑动 接触块的位置在第一次测量中由比率 x 给出,在第二次测量中由 y 给出,在此两中测量下, 电阻值之比等于电势差之比,所以有

E xX = , U R+ X
解得: X = R (

E R + yX = U R+ X

1 ) x y

把 X = R(

1 E xX E x ) 代入 = 得: = x y U R+ X U 1+ x y

5


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