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04历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

时间:2010-01-10


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历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
第4届 (1970 年于苏联的莫斯科)
【题 1】如图 4.1(a), ,在质量 M=1kg 的木板上有质量 m=0.1kg 的小雪橇.雪橇 (b) 上的马达牵引着一根绳子,使雪橇以速度 v0=0.1m/s 运动.忽略桌面与木板之间的摩擦.木 板与雪橇之间的摩擦系数 =0.02.把住木板,起动马达.当雪橇达到速度 v0 时,放开木板. 在此瞬间,雪橇与木板端面的距离 L=0.5m.绳子拴在(a)远处的桩子, (b)木板的端面上. 试描述两种情形下木板与雪橇的运动.雪橇何时到达木板端面?
m L
m L M


M



图 4.1(a) 图 4.1(b) 解: (a)在第一种情形中(如图 4.1(a),雪橇处于匀速运动状态. ) 雪橇与木板以不同的速度运动.这样引起的最大摩擦力为mg,它作用在木板上,产生 的加速度 a =

mg
M

,直至木板达到雪橇的速度 v0 为止.加速时间为 t 0 =
2 v0 v2M = 0 =0.255m 2a 2mg

v0 v 0 M =5.1s = a mg

在这段时间内,雪橇的位移为 S 0 =

因此,雪橇离木板右端点的距离为 0.5m-0.255m=0.245m 雪橇不能达到木板的一端,因为这段时间以后,木板与雪橇以相同的速度 v0 一起运动. 在木板加速期间,马达必须用力mg 牵引绳子,但以后马达不能施加力的作用,它只是卷 绳子. (b)在第二种情形中(如图 4.1(b),木板与桌面之间无摩擦.木板与雪橇形成一个 ) 孤立系统,可以用动量守恒定律.当我们放开木板时,雪橇的动量为 mv0,释放后的木板具 有速度 v2,它由下式决定: mv0=M v2+m(v0+v2) 此式表明 v2=0,所以木板保持不动,雪橇以同一速度继续前进. 雪橇达到木板右端的时间为 t =

L 0 .5 = =5 s v 0 0 .1
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【题 2】NaCl 的晶体点阵由边长为 5.6×10 cm 的立方晶胞组成,它是面心立方点阵.钠 原子量约为 23,氯原子量为 35.5,NaCl 密度为 2.22g/cm3.试计算氢原子的质量 (如图 4.2) . 解:我们先求出一个晶胞的 Na 离 5.6 10-8cm 子数.在立方晶胞中心有一个离子,在 立方晶胞的每一边也有一个离子,但后 者仅有四分之一是属于这个晶胞的. 故钠离子数为: 1 +

12 =4 4

氯离子也是这个数.密度可以表示为晶 图 4.2 胞的质量与体积之比,故若用 m 表示氢原子的质量,则密度可表示为:

ρ=

4 × 23m + 4 × 35.5m = 2.22 (5.6 × 10 8 ) 3

解上式可求得氢原子的质量为 m=1.66×10-24g=1.66×10-27kg 【题 3】半径 r=10cm 的金属球置于半径 R=20cm 的薄金属 空心球内,两球同心.内球靠一根长导线经过外球的开孔接地. 若外球带电量 Q=10-8C,求外球电势(如图 4.3) . 解:这里有两个电容,并联连接.其一由外球和内球组成,另一 由地与外球组成.由电容相加便可算出电势. 导体球相对远处地球的电容为

R r

R ,其中 k=9×109 N m2/C2,R k

为导体球半径.在空心球情形,如果内球接地①,电容为:

1 1 1 = k( ) , Ca r R
所以: C a =

图 4.3

1 Rr k Rr

两个电容并联总电容为: C =

R 1 Rr 1 R2 + = k k Rr k Rr Q =225V C

把 R=0.2m,r=0.1m,k=9×109 N m2/C2 代入上式得:C=44.4×10-12F=44.4 pF 故外球相对与地球的电势为: U =

(注:①Ca 是内外球组成的球形电容器的电容,与内球是否接地无关. )
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【题 4】在半径 r=2m,孔径 d=0.5m 的凹面镜的焦点位置上,放一块圆形屏幕,使平 行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都 P α 能达到该圆形屏幕. 试求圆形屏幕的直径. α 如果在上述条件下圆形屏幕的直径减少到 h 仅由原来的 1/8,问有多少部分的光能达 到在同样位置的屏幕上? 2α α F O 解:我们只有采用较精确形式的反射 χ F1 定律, 通过利用某些数学近似来求解本题. 按照教科书中通常的理论推导,半径 PO=R 的凹面镜的焦点位于距离 R 的中点 F 处.我们用 h 表示凹面镜孔径之半.在 P 点的入射光线与半径的夹角为,反射 后与轴交于 F1 点.OP F1 是等腰三角形. 图 则: OF1 =

R 2 cos α R R R = (sec α 1) 2 cos α 2 2

故实际焦点与理论距离的偏差为

FF1 = OF1 OF =

我们把圆形屏放在点 F 处,要求出屏幕的最小半径值 x.在直角三角形 P F F1 中,应用 2h R 2h 通常的小角近似,得: x = F1 F tan 2α ≈ F1 F sin 2α = F1 F = (sec α 1) = h(sec α 1) R 2 R 对于小角度: cos α ≈ 1

α2
2

,故 sec α =

1 α2 ≈ 1+ cos α 2

将α ≈

h h3 代入,得焦"斑"的半径为 x = R 2R 2

将数值:h=50/2=25cm;R=200cm,代入 即得:x=0.195cm=1.95mm 再看问题的第二部分.如果圆形屏的半径为 x,则入射到凹面镜的光束半径为

h = 3 2R 2 x
如果我们用半径 kx 的屏代替半径为 x 的屏,则入射光束的半径为:

hk = 3 2 R 2 kx
入射光的量正比于 hk ,因此
2

hk2 = ( 2 R 2 kx ) 2 = h 2 3 k 2
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本题情形是 k =

1 1 ,由此得出,落在圆形屏幕上光的量将是前者的 8 4

【实验题】桌上有三个装在支架上的透镜,一块有几何图形的屏,一支杆和一把卷尺. 仅用所给的工具,以不同的方法测定透镜的焦距. 解答:有几种可能的方法.在凸透镜情形,我们用目视观查虚像的消失,并测定透镜的 距离. 我们注视着实像,借助于视差把杆放在实像的位置上,测量物距和像距,从而计算出焦 距. 再看凹透镜情形.我们把凹透镜与一个强会聚的凸透镜密接在一起,并用上述方法之一 测量系统的焦距,然后算出凹透的焦距.

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