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07历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

时间:2010-01-10

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历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
第7届 (1974 年于波兰的华沙)
【题 1】一个处于基态的氢原子与另一个静止基态的氢原子碰撞.问可能发生非弹性碰 撞的最小速度为多少?如果速度较大而产生光发射,且在原速度方向可以观察到光.问这种 光的频率与简正频率相差多少?氢原子质量是 1.67×10-27kg,电离能 E=13.6 eV=2.18×10-18 J. 解:处于基态的氢原子能量为 E1 = E 子吸收的最小能量为 E = E 2 E1 = E (

1 1 ,第一激发态能量为 E 2 = E 2 .被氢原 2 1 2

1 1 3 2 ) = E = 1.163 × 10 18 J 2 4 1 2 我们必须求出在碰撞中能量损失为以上数据代最小速度.如果碰撞是完全非弹性的,则
v 2m( ) 2 2 2 = mv 2 4

2 碰撞中能量损失最大, 碰撞后的速度将是 v/2, 初动能与末动能之差为:mv 2

这个值应等于最小的能量子 E =

mv 2 4

因此 v =

4E = 6.26 × 10 4 m/s m

非弹性碰撞后,两个原子的速度为

v = 3.13 × 10 4 m/s 2

本题第二问的解答与多普勒效应有联系.对于比光速小很多的速度,相对速度之比给出 频率相对变化的极好近似:6.26×104:3×108=2.09×10-4=2.09×10-2 % y 两束光的频率按此比率稍小于或稍大于简正频率. 【题 2】给定一厚度为 d 的平行平板,其折射率按 下式变化 n( x) =

n0 1 x r
d

Α

O 束光在 O 点由空气垂直射入平板,并在 A 点以角 度射出,如图 7.1 所示.求 A 点的折射率 nA,并 确定 A 点的位置及平板的厚度. (设 n0=1.2,r=13cm,β1=300)
1

x

图 7.1

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解:首先考虑光的路线,如解图 7.1 所示.对于经过一系列不同折射率的平行平板的透 射光,可以应用斯奈尔 定律:

sin β1 n2 = , sin β 2 n1

sin β 2 n3 = sin β 3 n2
β3 β1
n1

更简单的形式是:

n1 sin β 1 = n 2 sin β 2 = n3 sin β 3 = …
这个公式对任意薄层都是成立的.在我们的情形里, 折射率只沿 x 轴变化,即 n x sin β x =常数 在本题中,垂直光束从折射率为 n0 的点入射,即 x=900 nx=n0 则常数等于 n0,于是在平板内任意一点有

β2
n2 n3 n4

解图 7.1

y

n x sin β x =n0
nx 与 x 的关系已知,因此沿平板中的光束为:

X

βx

sin β x =

n0 x rx = 1 = nx r r

O x C x

由解图 7.2 表明光束的路径是一个为 XC=r 的圆, 从而有:

解图 7.2

OC x =sin β x XC

现在我们已知光的路径,就有可能找到问题的解答.按照折射定律,当光线在 A 点射出 时,有: n A =

sin α sin α = 0 sin(90 β A ) cos β A

因为 nA sin A=n0,故有: sin β A =

n0 nA

cos β A = 1 (
于是 n A =

n0 2 ) nA

sin α 1 ( n0 2 ) nA
2

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2 n0 + sin 2 α

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因此 n A =

在本题情形 n A=1.3 由 1.3 =

1.2 x 1 1.3

得出 A 点的 x 坐标为 x=1 cm 光线的轨迹方程为 y 2+(1-x)2=r 2 代入 x=1 cm,得到平板厚度为 y=d=5 cm 【题 3】一科学探险队因船只失事流落荒岛.他们没有能源,却发现了一种惰性气体源. 这种气体比空气重,其压强与温度同周围的大气相等.探险队有两个膜片,其中一个能渗透 该气体,另一片只能渗透空气.试设计一个做工的热机. 解:我们要用到两个重要的定律.如果一个容器中装着气体混合物,则每种气体的分压 强等于这种气体在同样温度下单独占据相同体积时的压强.压强计在混合气体中读出的是各 分压强之和.如果一膜片对某一气体是可渗透的,则在膜 片两侧该气体的分压强相等.我们设计这样的热机(见解 图 7.3)对惰性气体能渗透的那张膜片装在管子里,这个 管子把气源与活塞下面的圆筒连通.对空气能渗透的那张 膜片装在圆筒底部.在活塞下部总有同样的一个大气压压 1 对气体可渗透 2 强,因而空气对所做的功来说是没有关系的.首先,打开 管中的阀门1,导通可渗透气体的膜片.膜片两侧气体的 对气体可渗透 分压强将相等,于是活塞下部也有这一分压强.结果圆筒 气体源 内总压强将达到二个大气压,活塞上升做功.关闭阀门1 可停止活塞的上升运动,然后打开阀门2,活塞回到初始 位置而不做功. 解图 7.3 如果圆筒导热良好,且过程足够缓慢,则上述过程是等温的,做功等于

RT ln

V2 V1

这个过程不是循环过程,我们也不在乎它的效率. 有两个膜片就可以实现上述过程,只要有一个周围是真空的气体源. 【实验题】两个同类的半导体二极管和一个欧姆电阻以未知方式联接,并封闭在一个盒 里.盒子有两个引出线接线柱,不打开盒子 试测量该电阻的欧姆值. 解答:分别在两个方向测定两个不同电压下 的电流,我们得到下列结果:两个方向都能 观测到电流,但并不相同,且不是电压的线 性函数.根据这些结果,不难画出如解图 7.4 所示的网络. 解图 7.4
3

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其次,画出两个方向的伏安图,找到在两个方向上电流相同的两个电压.电压之差 给出电阻两端的电压,除以电流,得出电阻的欧姆值.

4


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