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【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题5 立体几何补偿练习 理

时间:2016-09-04


专题检测(五)试卷评析及补偿练习
一、数形结合思想 在本试卷中,第 5,11,12,14,20,21 题主要体现了数形结合思想,数形结合,就是根据数与形 之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法 .数形结合包 含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动 性和直观性来阐明数形之间的联系,即以形作为手段,数作为目的;二是借助于数的精确性和 规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的.灵活运用数学思想方法,能 使数学问题快速得以 解决. 【跟踪训练】 1.如图所示,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A,D 为双曲线的两个焦点,其余 4 个顶点都在双曲 线上,则该双曲线的离心率是( )

(A) (C)

+1 (B)

-1 (D)
2

2.如图所示,已知直线 l:y=k(x+1)(k>0)与抛物线 C:y =4x 相交于 A,B 两点,且 A,B 两点在抛 物线 C 准线上的射影分别是 M,N,若|AM|=2|BN|,则 k 的值是( )

(A) (B)

(C)

(D)2

二、方程思想 在本试卷中,第 8,10,12,18,19,21 题主要体现了方程思想,考查圆锥曲线的方程与基本量, 考查圆锥曲线的几何性质的计算,考查直线与圆锥曲线的位置关系,意在考查考生的分析转 化能力与运算求解能力.解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及 二次方程与二次函数的有关理论. 【跟踪训练】 2 1.已知直线 l 与抛物线 y =8x 交于 A,B 两点,且 l 经过抛物线的焦点 F,A 点的坐标为(8,8), 则线段 AB 的中点到准线的距离是 . 2.已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,斜率为 2
2

的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)

1

两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 = +λ ,求λ 的值.

1.已知抛物线 y =4px(p>0)与双曲线 - =1(a>0,b>0)有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的交点, 且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为( (A) (B) +1 (C) +1 (D) )

2

2.(2015 河北模拟)已知椭圆 C1: + =1(a>b>0)与圆 C2:x +y =b ,若在椭圆 C1 上存在点 P,使得 由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是( (A)[ ,1) (B)[ , ] (C)[ ,1) (D)[ ,1)
2

2

2

2

)

3.如图所示,斜率为 1 的直线过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F,与抛物线交于 A,B 两点,M 为抛 物线弧 AB 上的动点.

(1)若|AB|=8,求抛物线的方程; (2)求 S△ABM 的最大值.

2

4.已知椭圆 M: + =1(a>b>0)的离心率为

,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形

周长为 6+4

.

(1)求椭圆 M 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 M 交于 A,B 两点,且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C,求△ABC 面积的 最大值.

3

专题检测(五)试卷评析及补偿练习 试卷评析 一、 【跟踪训练】 1.A 令正六边形的边长为 m, 则有|AD|=2m,|AB|=m,|BD|= m,

该双曲线的离心率等于

=

=

+1.

2.C 设抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 D, 由|AM|=2|BN|知,B 为线段 DA 的中点, 设 B(x0,y0)(y0>0),则 A(2x0+1,2y0), 于是有

解得

所以 k=

=

,

故选 C. 二、 【跟踪训练】 2 1.解析:由 y =8x 知 2p=8,所以 p=4, 则点 F 的坐标为(2,0). 由 题 设 可 知 , 直 线 l 的 斜 率 存 在 , 设 l 的 方 程 为 y=k(x-2), 点 A,B 的 坐 标 分 别 为 (xA,yA),(xB,yB). 又点 A(8,8)在直线上,所以 8=k(8-2),解得 k= .

所以直线 l 的方程为 y= (x-2). ① 将①代入 y =8x, 2 整理得 2x -17x+8=0, 则 xA+xB= ,所以线段 AB 的中点到准线的距离是
2

+ = +2= .

答案: 2.解:(1)直线 AB 的方程是

4

y=2
2

(x- ),

与 y =2px 联立, 2 2 从而有 4x -5px+p =0. 所以 x1+x2= . 由抛物线定义得 |AB|=x1+x2+p= +p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程为 y =8x. 2 2 (2)由于 p=4,则 4x -5px+p =0 2 即 x -5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4, 于是 y1=-2 从而 A(1,-2 设 C(x3,y3), 则 =(x3,y3)=(1,-2 λ -2 )+λ (4,4 ).
2 2

,y2=4

, ).

),B(4,4

)

=(4λ +1,4

又 =8x3,即[2
2

(2λ -1)] =8(4λ +1),

整理得(2λ -1) =4λ +1,解得λ =0 或λ =2. 补偿练习 1.B 依题意,得 F(p,0),因为 AF⊥x 轴, 2 2 设 A(p,y),y>0,y =4p ,所以 y=2p.所以 A(p,2p). 又点 A 在双曲线上,所以 =1.又因为 c=p,

所以 -

=1,化简,得 c -6a c +a =0,

4

2 2

4

即( ) -6( ) +1=0.所以 e =3+2

4

2

2

,e=

+1.

2.C 设椭圆的一个长轴端点为 P′, 则由椭圆 C1 上的点 P 所作圆 C2 的两条切线的夹角中角∠AP′B(A,B 分别为切点)最小,若椭圆 C1 上存在点 P 令切线互相垂直,

5

则只需∠AP′B≤90° , 即α =∠AP′O≤45° . 所以 sin α = ≤sin 45° = ,解得 a ≤2c ,所以 e ≥ .
2 2 2

即 e≥ .而 0<e<1,

所以 ≤e<1,即 e∈[ ,1).

3.解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由条件知 lAB:y=x- ,与 y =2px 联立,

2

消去 y,得 x -3px+ p =0, 则 x1+x2=3p. 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=4p. 2 又因为|AB|=8,即 p=2,则抛物线的方程为 y =4x. (2)由(1)知|AB|=4p,且 lAB:y=x- , 设与直线 AB 平行且与抛物线相切的直线方程为 y=x+m, 代入抛物线方程, 2 2 得 x +2(m-p)x+m =0. 由Δ =4(m-p) -4m =0,得 m= .
2 2

2

2

与直线 AB 平行且与抛物线相切的直线方程为 y=x+ ,

两直线间的距离为 d=

= p,故 S△ABM 的最大值为 ×4p× p=

p.

2

4.解:(1)因为椭圆 M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 6+4 所以 2a+2c=6+4 .

,

又椭圆的离心率为

,即 =

,

所以 c=

a,所以 a=3,c=2

,故 b =a -c =1.
6

2

2

2

椭圆 M 的方程为 +y =1. (2)不妨设直线 BC 的方程为 y=n(x-3),(n>0), 则直线 AC 的方程为 y=- (x-3).

2



得( +n )x -6n x+9n -1=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 因为 3x2= ,所以 x2= .

2

2

2

2

同理可得 x1=

.

所以|BC|=

,

|AC|=

,

S△ABC= |BC||AC|=

.

设 t=n+ ≥2,

则 SABC=

=

≤ ,

当且仅当 t= 时取等号.

所以△ABC 面积的最大值为 .

7


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