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高一数学必修1 幂函数 ppt

时间:2011-03-31


东营市第一中学高一备课组

2009.10.29

我国著名数学家华罗庚教授在其 《数学的用场与发展》中指出:
“宇宙之大,粒子 之微,火箭之速,化 工之巧,地球之变, 生物之谜,日用之 繁,无处不用数 学。”

我们先看下面几个具体问题:
(1)如果正方形的边长为a,

想一想

那么正方形的面积

这些函数有什么 S=a2,这里S是a的函数; 共同的特征?

(2) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积

(3) 如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方 1 形的边长

V=a3,这里V是a的函数;

a?S

2

,这里a是S的函数;

它们有以下共同特点:

(1)都是函数;
(2) 指数为常数. (3) 均是以自变量为底的幂; 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自 变量,α是常数. 注意: 幂函数中α的可以为任意实数.
议一议:幂函数与指数函数共同点与不同点是什么?

幂函数与指数函数的对比
名称

式子 指数函数: y=a 幂函数: y= x
x a

a

x

y

底数 指数

指数 底数

幂值 幂值

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数

1.判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4 √ 1 ( 2) y ? 2 √ x (3) y= -x2 x

(4) y ? x

1 2


x

(5) y=3x2

(6) y=x3-2 x

2.若幂函数y=f(x)的图象过点 (2, 2) ,则函 数的解析式为__________ y? x

在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x, y=x2,y=x3,y=x1/2,y=x-1的图象. 打开几何画板

常见幂函数的性质
函数 性质

y=x R R 奇 增

y=x2 R [0,+∞) 偶 [0,+∞)增 (-∞,0]减
(1,1)

y=x3 R R 奇 增
(1,1)

y?x

1 2

y=x-1
| ? R且x ? 0? ?xx ?y|y ? R且y ? 0?

定义域 值域 奇偶性 单调性

[0,+∞) [0,+∞)

非奇非 偶

(1,1)

奇 (0,+∞)减 (-∞,0)减
(1,1)

公共点 (1,1)

探究:幂函数的性质
(1)幂函数的图象都通过点 (1,1) (2) 如果α>0,

打开几何

在 区间[0,+∞)上是 增函数
如果a<0, 在区间(0,+∞)上是 减函数 (3) 当α为奇数时, 幂函数为 奇函数 当α为偶数时,

幂函数为 偶函数;

y

y=x3 y=x2 y=x-2

y

y=x-1

1

y=x1/2
1

1

y=x-1/2
1

0

X

0

X

a>0
(1)图象都过(0,0)点和 (1,1)点; (2)在第一象限内,函数值 随x 的增大而增大,即 在[0,+∞)上是增函 数。

a<0
(1)图象都过(1,1)点; (2)在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,即在 (0,+∞)上是减函数。 (3)在第一象限,图象向上与 y 轴无限接近,向右与 x 轴无限接近。

y ? x3

y ? x2
y?x

y?x

1 2

y ? x ?1

例一、 比较大小:
(1)1.53/5 < 1.73/5
(3)2.2-2/3

<

1.8-2/3

> 0.61.5 (4)0.15-1.2 > 0.17-1.2
(2)0.71.5

例二、求下列函数的定义域:

(1)y = (2x+5)1/2
(1)解:y = 2 x ? 5 解不等式2x+5≥0 得

(2)y = (x-3)-1/5 1 解:y = 5 x ?3
解不等式 x – 3 ≠0得

?

x≥-5/2

函数y = (2x+5)1/2 的 定义域为[ -5/2,+∞) .

?

函数y=(x-3)-1/5的定 义域为(-∞,3)∪(3,+∞).

X≠3

例1

比较下列各组数的大小:

(1)(?? ) 和(-3)
3

3

(2)3
注意:

1 ? 2
1.4

和 3.1

1 ? 2

(3) 3 和 5

1.5

?利用幂函数的增减性比较两个数的大小. ?当不能直接进行比较时,可在两个数中间 插入一个中间数,间接比较上述两个数的大小

练习:比较下列各组数的大小。 (1) 1.5
1 ? 3

和 1.7
1 2

1 ? 3

(2) 4.1 和 3.8

1 2

练习 将下列函数序号填在相应 图象下面的括号里。
(1) y=x
4 5

(2) y=x

4 3

(3) y=x

?

1 2

(4) y=x

?

1 3

4
2
4

1
2
1
2

-6
-4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

-1

-1

-2

-2

-4

-4

练习 幂函数 y ? x y ? x y ? x 在第一象限的图象如图所示, 试比较m、n、p的大小。
m

n

p

6

6

m
4

4

n
2

p

m p n

2

-4

-2

2

4

6

-4

-2

2

4

6

-2

-2

-4

-4

? 练习、给定函数解析式:
? 1 3 ? 2 3 ?

(1) y ? x ; (2) y ? x ; (3) y ? x ; (4) y ? x ; (5) y ? x ; (6) y ? x ; (7) y ? x ; (8) y ? x 3 ; (9) y ? x ?3 ; (10) y ? x
?
? 3 2 1 3 1 2 3 2

1 2

2 3

则图象关于y轴对称的函数是___; 则图象关于原点对称的函数是___;

?

?

则互为反函数的两个函数是___。

例2、若 ( x ? 1) ? (3 ? 2 x) , 求x的范围.
解:考虑函数 y ? x
∴由条件有
1 2

1 2

1 2

在[0,+∞)上为单调增函数

x ?1 ? 0 ? ? ? 3 ? 2x ? 0 ?x ?1 <3 ? 2 x ?

解得:

2 ?1 ? x ? 3
1 - 3 1 - 3

改为:(x+1) <(3-2x)

?

(m ? Z ) 例3:已知幂函数 f(x)= x 为偶函数且在区间 上是单调减 ?0,??? 函数,

m2 ?2 m?3

?

(1)则函数解析式是___;
a f ( x) ?

?

(2)讨论函数g(x)= 偶性

b xf ( x)

的奇

例 3.证明幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函 数.
证明:任取x1,x2∈ [0,+∞),且x1<x2,则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
?
?

x1 ? x2
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )
x1 ? x2 x1 ? x2

x1 ? x2

因为x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0,

所以f ( x1 ) ? f ( x2 ),即幂函数f ( x) ? x在[0, ??)上是增函数.

小 结
(1) 幂函数的定义;
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自 变量,α是常数.

(2)掌握幂函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 的图象和性质
2 3 ?1

1 2

(3) 利用幂函数的单调性判别幂函数值大小

课堂小结:
1. 幂函数的定义
2. 幂函数的定义域 3. 幂函数的图象和性质 课后作业: 1.比较大小: (1)0.53/5——0.493/5 (2)8.1-1/5——8.01-1/5

(3)(3/5)- 5——(4/5)- 5
2.求下列函数的定义域: ( 1)

1 ( 4) 3 —— 3

1 3 4

y?

1 3? x

( 2)

y ? (2x ? 5)

?2 3

习题3.3


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