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高中数学苏教版选修2-2课件:第二章 推理与证明 2.1.1.2_图文

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第2课时
阶 段 二

类比推理
学 业 分 层 测 评

1.结合实例,理解类比推理的含义,能利用类比进行简单的推理. (重点、难点) 2.区别归纳推理与类比推理,了解合情推理的合理性.(易混点)

[基础· 初探] 教材整理1 类比推理 阅读教材P67“例1”以上部分,完成下列问题. 根据 两个 ( 或两类 )对象之间在某些方面的 相似 或 相同 ,推演出它们在 其他方面也 相似 或 相同 ,像这样的推理通常称为类比推理,简称类比法.其 思维过程为: 观察、比较→ 联想、类推 →猜测新的结论

1.判断正误: (1)类比推理是特殊到特殊的推理.( (2)类比推理的结论一定正确.(
【答案】 (1)√ (2)×

) )

2.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想:正四面体的内 切球切于四面各正三角形的________.

【解析】 “边的中点”类比为“各面的中心”. 【答案】 中心

教材整理2 合情推理 阅读教材P68“练习”以上部分,完成下列问题. 1.合情推理的含义 根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉 等推测某些结果的推理过程称为合情推理. 归纳推理 和 类比推理都是数学活动中 常用的合情推理.

2.合情推理的特点 (1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围,带有猜想的成分,因此推理所 得的结论未必正确; (2)合情推理具有猜测和发现结论,探索和提供证明的思路和方向的作用.

如图218所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点) 有n(n>1,n∈N*)个点,每个图形总的点数记为an,则a6=_____,an=_______ (n>1,n∈N*).

图218

【解析】 依据图形特点,可知第5个图形中三角形各边上各有6个点,因此 a6=3×6-3=15.由n=2,3,4,5,6的图形特点归纳得an=3n-3(n>1,n∈N*).

【答案】 15 3n-3

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1:________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问2:________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问3:________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________

[小组合作型]

数列中的类比推理

在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+?+an=a1+a2+? +a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,若b9= 1,则有什么样的等式成立?
【精彩点拨】 在等差数列与等比数列的类比中,等差数列中的和类比等比 数列中的积,差类比商,积类比幂.

【自主解答】

在等差数列{an}中,a10=0,

∴a1+a2+?+an+?+a19=0, 即a1+a2+?+an=-a19-a18-?-an+1. 又由a10=0, 得a1+a19=a2+a18=?=an+a20-n =an+1+a19-n=2a10=0, ∴a1=-a19,a2=-a18,?,a19-n=-an+1, ∴a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19-n,

若a9=0, 同理可得a1+a2+?+an=a1+a2+?+a17-n, 相应的,在等比数列{bn}中,若b9=1, 则可得b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n∈N*).

1.有关数列的类比推理必须寻找合适的类比对象,从等差、等比数列的定 义、性质、通项公式与前n项和公式探求,充分挖掘事物的本质及内在联系. 2.类比推理的一般步骤为:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或 一致性);(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;(3) 检验这个猜想.

[再练一题] a1+a2+a3+?+an * 1.若数列{an}(n∈N )是等差数列,则有数列bn= ( n ∈ N ) n
*

也是等差数列.类比上述性质,相应地:若数列{cn}(n∈N*)是等比数列,且 cn>0,则数列dn=________(n∈N*)也是等比数列.

【解析】 和类比积,高类比开方,因此dn= c1· c2· c3· ?· cn 【答案】 n c1· c2· c3· ?· cn

n

类比推理在几何中的应用

如图219所示,在平面上,设ha,hb,hc分别是△ABC三条边上的 高,P为△ABC内任意一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,可以得到结 pa pb pc 论h +h +h =1. a b c

图219

证明此结论,通过类比写出在空间中的类似结论,并加以证明.

【精彩点拨】 三角形类比四面体,三角形的边类比四面体的面,三角形边 上的高类比四面体以某一面为底面的高.
【自主解答】 1 BC· pa S △PBC pa 2 = , ha=1 S△ABC ha 2BC·

pb S△PAC pc S△PAB 同理,h = ,h = . S△ABC c S△ABC b ∵S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC, pa pb pc S△PBC+S△PAC+S△PAB ∴h +h +h = =1. S△ABC a b c

类比上述结论得出以下结论:如图所示,在四面体ABCD中,设ha,hb,hc, hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离,P为该四面体内任意一点,P到相应 pa pb pc pd 四个面的距离分别为pa,pb,pc,pd,可以得到结论h +h +h +h =1. a b c d

1 S · p pa 3 △BCD a VPBCD 证明如下:h =1 =V , a ABCD S · h 3 △BCD a pb VPpc VPpd VPACD ABD ABC 同理,h =V ,h =V ,h =V . b c d ABCD ABCD ABCD ∵VPBCD+VPACD+VPABD+VPABC=VABCD, pa pb pc pd ∴h +h +h +h a b c d VPBCD+VPACD+VPABD+VPABC = =1. VABCD

1.一般地,平面图形与空间图形类比如下:

平面图形 空间图形

点 线

线 面

边长 面积

面积 体积

线线角 二面角

三角形 四面体

2.类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论.

[再练一题] 2.在上例中,若△ABC的边长分别为a,b,c,其对角分别为A,B,C,那 么由a=b· cos C+c· cos B可类比四面体的什么性质?

【解】

在如图所示的四面体中,S1,S2,S3,S分别表示△PAB,△PBC,

△PCA,△ABC的面积,

α,β,γ依次表示平面PAB,平面PBC,平面PCA与底面ABC所成二面角的大 小. 猜想S=S1· cos α+S2· cos β+S3· cos γ.

[探究共研型]

类比推理在其他问题中的应用

探究1 鲁班发明锯子的思维过程为:带齿的草叶能割破行人的腿,“锯 子”能“锯”开木材,它们在功能上是类似的.因此,它们在形状上也应该类 似,“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理?
【提示】 类比推理.

探究2

在计算“1×2+2×3+?+n(n+1)”时,有如下方法: 1 先改写第k项:k(k+1)=3[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得 1 1×2=3(1×2×3-0×1×2), 1 2×3=3(2×3×4-1×2×3), ?? 1 n(n+1)=3[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)], 1 相加得1×2+2×3+?+n(n+1)=3n(n+1)(n+2). 类比上述方法,请你计算“1×3+2×4+?+n(n+2)”,其结果写成关于n 的一次因式的积的形式为________.

【提示】

1 1×3=6×(1×2×9-0×1×7),

1 2×4=6×(2×3×11-1×2×9), 1 3×5=6×(3×4×13-2×3×11), ?? 1 n(n+2)=6[n(n+1)(2n+7)-(n-1)n(2n+5)], 1 各式相加,得1×3+2×4+3×5+?+n(n+2)=6n(n+1)(2n+7).

已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点 P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率kPM,kPN都存在时,那么kPM与kPN之 x2 y2 积是与点P的位置无关的定值,试写出双曲线 a2 - b2 =1(a>0,b>0)具有类似特征 的性质,并加以证明.
【精彩点拨】 →理论证明 双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论

【自主解答】

x2 y2 类似性质:若M,N为双曲线 a2 - b2 =1(a>0,b>0)上关于原

点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率kPM,kPN都存 在时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值. 证明如下:设点M,P的坐标分别为(m,n),(x,y),则 N(-m,-n).因为点M(m,n)是双曲线上的点,
2 2 b b 所以n2=a2m2-b2.同理y2=a2x2-b2.

y-n y+n y2-n2 b2 x2-m2 b2 则kPM· kPN= · = = 2· = 2(定值). x-m x+m x2-m2 a x2-m2 a

1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征. 2.进行类比推理时,首先,找出两类对象之间可以确切表达的相似特征; 然后,用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得到一个猜想.

[再练一题] 1 3.三角形的面积为S= 2 (a+b+c)r,a、b、c为三角形的边长,r为三角形内 切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为________.

【解析】 △ABC的内心为O,连结OA,OB,OC(图略),将△ABC分割为三 个小三角形,这三个小三角形的高都是r,底边长分别为a,b,c;类比:设四面 体ABCD的内切球球心为O,连结OA,OB,OC,OD,将四面体分割为四个以O 1 为顶点,以原来面为底面的四面体,高都为r,所以有V=3(S1+S2+S3+S4)r. 1 【答案】 3 (S1+S2+S3+S4)r(S1,S2,S3,S4为四个面的面积,r为内切球的
半径)

[构建· 体系]

1.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶ 4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为 ________. 【解析】 由平面和空间的知识,可知面积之比与边长之比成平方关系,在 空间中体积之比与棱长之比成立方关系,故若两个正四面体的棱长的比为1∶2, 则它们的体积之比为1∶8.
【答案】 1∶8

2.正方形的面积为边长的平方,则在立体几何中,与之类比的图形是 ________,结论是________. 【导学号:01580033】
【答案】 正方体 正方体的体积为棱长的立方

T20 T30 3.在公比为4的等比数列{bn}中,若Tn是数列{bn}的前n项积,则有T ,T , 10 20 T40 100 也成等比数列,且公比为 4 ;类比上述结论,相应地,在公差为3的等差数列 T30 {an}中,若Sn是{an}的前n项和.可类比得到的结论是________.

【解析】

因为等差数列{an}的公差d=3,

所以(S30-S20)-(S20-S10) =(a21+a22+?+a30)-(a11+a12+?+a20) 个=100d=300, =10d+10d+?+1010 d 同理可得:(S40-S30)-(S30-S20)=300, 所以数列S20-S10,S30-S20,S40-S30是等差数列,且公差为300. 即结论为:数列S20-S10,S30-S20,S40-S30也是等差数列,且公差为300.

【答案】 数列S20-S10,S30-S20,S40-S30也是等差数列,且公差为300

4.类比圆的下列特征,找出球的相关特征. (1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆; (2)平面内不共线的3个点确定一个圆; (3)圆的周长与面积可求.
【解】 (1)在空间中,与定点距离等于定长的点的集合是球; (2)空间中不共面的4个点确定一个球; (3)球的表面积与体积可求.

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________


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