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利用导数解决恒成立问题

时间:2018-06-30


利用导数 研究“恒成立”的问题

【问题展示】
不等式恒成立问题是近年高考的热点问题,常 以压轴题形式出现,交汇函数、方程、不等式和 数列等知识,有效地甄别考生的数学思维能力.由 于不等式恒成立问题往往都可以转化为函数的最 值问题,而导数,以其本身所具备的一般性和有 效性,在求解函数最值中,起到无可替代的作用,

【总结提升】解决恒成立问题的基本方法: 1.分离参数法:其优点在于:有时可以 避开繁琐的讨论. 2.直接研究函数的形态. 其缺点在于:有些问讨论比较复杂. 当然,在解决问题时,要根据所给问题 的特点,选择恰当的方法来解题.并在解题 过程中,能够依据解题的进程合理地调整解 题策略.

1:已知函数f ( x) ? x 2 ? a,g ( x) ? a ln x(a ? 0), 对任意x ? (0,??), f ( x) ? g ( x)恒成立,求a的取值范围.

a 2 2:已知f(x) ? x ? ,g(x)? ?x ? 2lnx, 其中a ? 0, x 若对于?x1 ,x 2 ?(0, ??),都有f(x1 ) ? g(x2 )恒成立, 求a的取值范围.

2

【总结提升】

(1).对?x ? D,有f(x)? g(x)恒成立? 对?x ? D,f(x) ? g(x)? 0

?f(x)? g(x)?m i n ? 0; 恒成立 ? 对?x ? D,

对?x ? D,有f(x)? g(x)恒成立? 对?x ? D,f(x) ? g(x)? 0

?f(x)? g(x)?m a x ? 0; 恒成立 ? 对?x ? D,
? 对x ? D,f ( x) min ? g ( x) max ;

(2) .形如?x1,x2 ? D, 都有f ( x1 ) ? g ( x2 )恒成立

形如?x1,x2 ? D, 都有f ( x1 ) ? g ( x2 )恒成立 ? 对x ? D,f ( x) max ? g ( x) min ;

延伸学习

已知函数f ( x) ? ax ? ln x(a ? 0), g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2. 若对?x1 ? (0,??), 均存在x2 ? [0,1], 使得f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求a的取值范围.

已知函数 f ( x) ? (1 ? x)e x ?1. . (I )求函数 f ( x ) 的最大值;

f ( x) , x ? ?1, 且x ? 0 , (Ⅱ)设 g ( x) ? x

证明: g ( x) < 1.

(Ⅰ) f ?(x)=- xe . 当 x∈ (-∞, 0)时, f ?(x)> 0, f (x)单调递增; 当 x∈ (0,+∞ )时, f ?(x)< 0, f (x)单调递减. 所以 f (x)的最大值为 f (0)= 0. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x>0 时, f (x)< 0, g (x)< 0< 1. 当- 1< x<0 时, g (x)< 1 等价于设 f (x)> x. x 设 h (x)=f (x)- x,则 h ?(x)=- xe - 1. 当 x∈ (- 1,- 0)时, 0<- x< 1, 0< ex< 1,则 0<- xex< 1, 从而当 x∈ (- 1, 0)时, h ?(x)< 0, h (x)在 (- 1, 0]单调递减. 当- 1< x<0 时, h (x)> h (0)= 0,即 g (x)< 1. 综上,总有 g (x)< 1.

x

优化问题

优化问题就是最值问题,导数是求函数最值的有力工具.

面积、容积的最值问题

例1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴 的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各 空2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的 尺寸,才能使四周空白面积最小?

x

分析:已知版心的面 积,你能否设计出版心 的高,求出版心的宽, 从而列出海报四周的面 积来?

图3.4-1

解 : 设版心的高为xdm, 则版心的宽为

128 S ( x) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 x 512 ? 2x ? ? 8, x ? 0 x
512 求导数,得S ( x) ? 2 ? 2 x
'

128 dm, 此时四周空白面积为 x
你还有其他解法 吗?例如用基本 不等式行不?

令:S ' ( x) ? 2 ?

512 ?0 2 x

解得:x ? 16,x ? ?16 (舍)

128 128 于是宽为: ? ?8 x 16

当x ? ? 0,16?时,s' ? x ? ? 0;

当x ??16, ???时,s' ? x ? ? 0.

因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点。所以, 当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最 小。

解法二:由解法(一)得
512 512 S ( x) ? 2 x ? ? 8 ? 2 2x ? ?8 x x

? 2 ? 32 ? 8 ? 72
512 当且仅当2x ? , 即x ? 16( x ? 0)时S 取最小值 x

128 此时y= ?8 16

答:应使用版心宽为8dm,长为 16dm,四周空白面积最小

说明
1、设出变量找出函数关系式; 确定出定义域; 所得结果符合问题的实际意义。 2、在实际应用题目中,若函数 f ( x )在定义域 内只有一个极值点x0 ,则不需与端点比较, f ( x0 ) 即是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)

题后感悟
1.解决面积,容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或

容积表示为变量的函数,结合实际问题的写出定义域,利用
导数求解函数的最值.

2.步骤:

利润最大问题

问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
? 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗? ? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本 是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出售1ml的 饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为 6cm,(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的 利润最大? (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?

解:由于瓶子的半径为 ∴每瓶饮料的利润: r,所以每瓶饮料的利润是
4 3 y ? f (r ) ? 0.2 ? p r ? 0.8p r 2 3 3

令f ' (r ) = 0.8π (r - 2r )? 0,得r = 2
r f '( r ) f (r) (0,2)

r 2 = 0.8π( - r ) 3 2

(0 ? r ? 6)
2 0 -1.07p (2,6]

-

+
增函数↗

减函数↘

当半径r>2时,f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增, 即半径越大,利润越高; 当半径r<2时,f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减, 即半径越大,利润越低. 1.半径为2cm 时,利润最小,这时 f (2) ? 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值 2.半径为6cm时,利润最大


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