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2018年秋高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.3 集合的基本运算 第2课时 补集及综合应用学案 新人

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啊啊啊啊 啊啊啊 啊啊啊 啊

第 2 课时 补集及综合应用

学习目标:1.了解全集的含义及其符号表示.(易混点)2.理解给定集合中一个子集的补集的含义,

并会求给定子集的补集.(重点、难点)3.会用 Venn 图、数轴进行集合的运算.(重点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1.全集

(1)定义:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.

(2)记法:全集通常记作 U.

思考:全集一定是实数集 R 吗?

[提示] 全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化,如在实数范围内解不等式,全集为实

数集 R,而在整数范围内解不等式,则全集为整数集 Z.

2.补集

文字语言

对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集,记作?UA

符号语言

?UA={x|x∈U,且 x A}

图形语言

[基础自测] 1.思考辨析 (1)全集一定含有任何元素.( ) (2)集合?RA=?QA.( ) (3)一个集合的补集一定含有元素.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× 2.已知全集 U={-1,0,1},且?UA={0},则 A=________. {-1,1} [∵U={-1,0,1},?UA={0},∴A={-1,1}.] 3.设全集为 U,M={1,2},?UM={3},则 U=________. {1,2,3} [U=M∪{?UM}={1,2}∪{3}={1,2,3}.] 4.若集合 A={x|x>1},则?RA=________.
{x|x≤1} [∵A={x|x>1},∴?RA={x|x≤1}.]

【导学号:37102063】

[合 作 探 究·攻 重 难] 补集的运算
(1)已知全集为 U,集合 A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},?UB={1,4,6},则集合 B=________;
-1-

啊啊啊啊 啊啊啊 啊啊啊 啊
(2)已知全集 U={x|x≤5},集合 A={x|-3≤x<5},则?UA=________. (1){2,3,5,7} (2){x|x<-3 或 x=5} [(1)法一(定义法) 因为 A={1,3,5,7},?UA={2,4,6}, 所以 U={1,2,3,4,5,6,7}. 又?UB={1,4,6}, 所以 B={2,3,5,7}. 法二(Venn 图法) 满足题意的 Venn 图如图所示.

由图可知 B={2,3,5,7}. (2)将集合 U 和集合 A 分别表示在数轴上,如图所示.

由补集的定义可知?UA={x|x<-3 或 x=5}.]

[规律方法] 求集合的补集的方法
定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解. 图法:借助 Venn 图可直观地求出全集及补集.
数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题.

[跟踪训练]

1.(1)设集合 A={x∈N*|x≤6},B={2,4},则?AB 等于( )

A.{2,4}

B.{0,1,3,5}

C.{1,3,5,6}

D.{x∈N*|x≤6}

(2)已知 U={x|x>0},A={x|2≤x<6},则?UA=________.

(1)C (2){x|0<x<2 , 或 x≥6} [(1) 因 为 A = {x∈N*|x≤6} = {1,2,3,4,5,6},B={2,4},所以?AB={1,3,5,6}.故选 C. (2)如图,分别在数轴上表示两集合,则由补集的定义可知,?UA= {x|0<x<2,或 x≥6}.]

【导学号:37102064】

集合交、并、补集的综合运算 设全集为 R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求?RB,?R(A∪B)及(?RA)∩B.
[解] 把集合 A,B 在数轴上表示如下:
-2-

啊啊啊啊 啊啊啊 啊啊啊 啊
由图知?RB={x|x≤2 或 x≥10},A∪B={x|2<x<10}, 所以?R(A∪B)={x|x≤2,或 x≥10}. 因为?RA={x|x<3,或 x≥7}, 所以(?RA)∩B={x|2<x<3,或 7≤x<10}.
[规律方法] 解决集合交、并、补运算的技巧
如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集 的定义来求解.在解答过程中常常借助于 Venn 图来求解.
如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行 交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
[跟踪训练] 2.全集 U={x|x<10,x∈N*},A? U,B? U,(?UB)∩A={1,9},A∩B={3},(?UA)∩(?UB)={4,6,7}, 求集合 A,B.
【导学号:37102065】
[解] 法一(Venn 图法):根据题意作出 Venn 图如图所示. 由图可知 A={1,3,9},B={2,3,5,8}. 法二(定义法):(?UB)∩A={1,9},(?UA)∩(?UB)={4,6,7},∴?UB={1,4,6,7,9}. 又 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ∴B={2,3,5,8}. ∵(?UB)∩A={1,9},A∩B={3}, ∴A={1,3,9}.
与补集有关的参数值的求解 [探究问题] 1.若 A,B 是全集 U 的子集,且(?UA)∩B=?,则集合 A,B 存在怎样的关系? 提示:B? A 2.若 A,B 是全集 U 的子集,且(?UA)∪B=U,则集合 A,B 存在怎样的关系? 提示:A? B
设集合 A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集 U=R,且(?UA)∩B=?,求实数 m 的取 值范围.
-3-

啊啊啊啊 啊啊啊 啊啊啊 啊

结合数轴 思路探究:法一: 由A求?UA ――→
?UA∩B=?

建立m的不等关系

法二: ?UA

等价转化 B=? ――→ B? A

[解] 法一(直接法):由 A={x|x+m≥0}={x|x≥-m},得?UA={x|x<-m}. 因为 B={x|-2<x<4},(?UA)∩B=?,

所以-m≤-2,即 m≥2, 所以 m 的取值范围是 m≥2. 法二(集合间的关系):由(?UA)∩B=?可知 B? A, 又 B={x|-2<x<4},A={x|x+m≥0}={x|x≥-m}, 结合数轴:

得-m≤-2,即 m≥2. 母题探究:1.(变条件)将本例中条件“(?UA)∩B=?”改为“(?UA)∩B=B”,其他条件不变,则 m 的取值范围又是什么? [解] 由已知得 A={x|x≥-m},所以?UA={x|x<-m},又(?UA)∩B=B,所以-m≥4,解得 m≤ -4. 2.(变条件)将本例中条件“(?UA)∩B=?”改为“(?UB)∪A=R”,其他条件不变,则 m 的取值范 围又是什么? [解] 由已知 A={x|x≥-m}, ?UB={x|x≤-2 或 x≥4}. 又(?UB)∪A=R, 所以-m≤-2,解得 m≥2.

[规律方法] 由集合的补集求解参数的方法 如果所给集合是有限集,由补集求参数问题时,可利用补集定义并结合知识求解. 如果所给集合是无限集,与集合交、并、补运算有关的求参数问题时,一般利用数轴分析
法求解.

[当 堂 达 标·固 双 基] 1.已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,4,5},则?NM 等于( )

A.{2,3,4}

B.{0,2,3,4,5}

【导学号:37102066】

-4-

啊啊啊啊 啊啊啊 啊啊啊 啊

C.{0,5}

D.{3,5}

C [因为 M={2,3,4},N={0,2,3,4,5},所以?NM={0,5}.故选 C.]

2.U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( )

A.{1,2,4}

B.{2,3,4}

C.{0,2,3,4}

D.{0,2,4}

D [∵?UA={0,4},B={2,4},∴(?UA)∪B={0,2,4}.] 3.设集合 S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则(?RS)∪T 等于(

) 【导学号:37102067】

A.{x|-2<x≤1}

B.{x|x≤-4}

C.{x|x≤1}

D.{x|x≥1}

C [因为 S={x|x>-2},所以?RS={x|x≤-2}. 而 T={x|-4≤x≤1},

所以(?RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}.] 4.已知全集 U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a},若?UA={x|2≤x≤5},则 a=________. 2 [∵A={x|1≤x<a},?UA={x|2≤x≤5}, ∴A∪(?UA)=U={x|1≤x≤5},且 A∩(?UA)=?,∴a=2.] 5.已知全集 U={2,0,3-a2},U 的子集 P={2,a2-a-2},?UP={-1},求实数 a 的值.
【导学号:37102068】

[解] 由已知,得-1∈U,且-1 P,

因此?????3a- 2-aa2= -- 2=1, 0,

解得 a=2.

当 a=2 时,U={2,0,-1},

P={2,0},?UP={-1},满足题意. 因此实数 a 的值为 2.

-5-


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