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双曲线的定义及标准方程_图文

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双曲线的定义及标准方程

知识梳理
1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离差的绝对 值等于常数(小于|F1F2|且大于零),则点的轨迹叫双曲线 . 这两个 定点 叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.集 合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常

数且a>0,c>0:
(1)若 a<c 时,则集合P为双曲线;

(2)若a=c时,则集合P为 两条射线 ;
(3)若 a>c 时,则集合P为空集.

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准 方程

x2 y 2 y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0) a2-b2=1(a>0,b>0)





范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率

x≥a 或 x≤-a, y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称轴: 坐标轴 ;对称中心: 原点

A1(-a,0),A2(a,0) A (0,-a),A (0,a) 1 2
b y=± ax e=

a y=± bx
c a
,e∈(1,+∞)

线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2| =2a;线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长 实虚轴 |B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫 做双曲线的虚半轴长 a, b, c 的关系 c2= a2+b2

共轭双曲线
共轭双曲线是以已知双曲线的 虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲 线,也可以看做把原方程中的正 负号交换了位置后 得到的新方程。
y x ? 2 ?1 2 a b
2 2

的共轭双曲线为

y 2 x2 ? 2 ?1 2 b a

等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲 线,其方程为 x2 - y2 = λ(λ ≠ 0) ,其离心
y=±x . 2 ,渐近线方程为________ 率为e=____

共渐近线系双曲线方程

跟踪训练 1 (1)(2015· 课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4, 3), 1 且渐近线方程为 y=± 2x,则该双曲线的标准方程为________. (2)(2016· 河南郑州二模)经过点(2,1),且渐近线与圆 x2+(y -2)2=1 相切的双曲线的标准方程为( x2 y2 A.11-11=1 3 y2 x2 C.11-11=1 3 )

x2 2 B. 2 -y =1 y2 x2 D.11-11=1 3
(2)A

x2 2 【答案】 (1) 4 -y =1

考点一 双曲线的定义及应用

【例 1】 (1)已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9, 动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程 为________. x2 y2 (2)已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线 4 12 右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为____________.

解析

(1) 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆

C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,

得|MC1| -|AC1| =|MA|,|MC2| -|BC2| =|MB|,
因为|MA| =|MB| ,所以 |MC1| -|AC1| =|MC2| - |BC2| ,即 |MC2| - |MC1| = |BC2| - |AC1| = 2 ,
所以点 M 到两定点 C1,C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据 双曲线的定义,得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的 距离大,与 C1 的距离小),其中 a=1,c=3,则 b2=8.故点 M
2 y 的轨迹方程为 x2- 8 =1(x≤-1).

(2)如图所示,设双曲线的右焦点为 E,则 E(4,0).由 双曲线的定义及标准方程得 |PF| - |PE| = 4 ,则 |PF| + |PA|=4+|PE|+|PA|.由图可得, 当 A, P, E 三点共线时, (|PE|+|PA|)min=|AE|=5,从而|PF|+|PA|的最小值为 9.

2 y 答案 (1)x2- 8 =1(x≤-1)

(2)9

规律方法

双曲线定义的应用主要有两个方面:一是

判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而 根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中, 常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||= 2a,运用平方的方法,建立与|PF1|,|PF2|的联系.

【训练 1】 (1)已知 F1、F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦 点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos ∠F1PF2=( 1 A.4 3 B.5 3 C.4 4 D.5 )

5 (2)设椭圆 C1 的离心率为13,焦点在 x 轴上且长轴长为 26, 若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对 值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( x2 y 2 A. 2- 2=1 4 3 x2 y 2 C. 2- 2=1 3 4 x2 y2 B. 2- 2=1 13 5 x2 y2 D. 2- 2=1 13 12 )

解析

(1)由 x2-y2=2,知 a=b= 2,c=2.

由双曲线定义,|PF1|-|PF2|=2a=2 2,又|PF1|=2|PF2|, ∴|PF1|=4 2,|PF2|=2 2,在△PF1F2 中,|F1F2|=2c=4, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 3 由余弦定理,得 cos ∠F1PF2= =4. 2|PF1|·|PF2| (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0), 设曲线 C2 上的一点 P,则||PF1|-|PF2||=8<10=|F1F2|. 由双曲线的定义知曲线 C2 为双曲线且 a=4,b=3. x2 y2 故曲线 C2 的标准方程为 2- 2=1. 4 3 答案 (1)C (2)A

考点二 双曲线的标准方程的求法 x2 y2 【例 2】 (1)过双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦
点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点), 则双曲线 C 的方程为( x2 y2 A. 4 -12=1 x2 y2 C. 8 - 8 =1 ) x2 y2 B. 7 - 9 =1 x 2 y2 D.12- 4 =1

x 2 y2 (2)(2016· 沈阳四校联考)设双曲线与椭圆27+36=1 有共同 的焦点,且与椭圆相交,一个交点的坐标为( 15,4),则 此双曲线的标准方程是________.

解析

(1)由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近

b 线方程为 y=ax,因此可得点 A 的坐标为(a,b).设右焦点为 F(c, 0),由已知可知 c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16, c 所以有(c-a) +b =c ,又 c =a +b ,则 c=2a,即 a=2=2,
2 2 2 2 2 2 2 2 x y 所以 b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为 4 -12=1,

故选 A. x2 y2 (2)法一 椭圆 + =1 的焦点坐标是(0,±3), 27 36 y2 x2 设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),

x2 y2 法二 椭圆 + =1 的焦点坐标是(0,±3).设双曲线方程 27 36 y2 x2 为a2-b2=1(a>0,b>0),则 a2+b2=9,又点( 15,4)在双 16 15 曲线上,所以 a2 - b2 =1,解得 a2=4,b2=5. y2 x2 故所求双曲线的方程为 4 - 5 =1. x2 y2 法三 设双曲线的方程为 + =1(27<λ<36), 27-λ 36-λ 15 16 由于双曲线过点( 15,4),故 + =1, 27-λ 36-λ y2 x2 解得 λ1=32,λ2=0(舍去).故所求双曲线方程为 4 - 5 =1. y2 x2 答案 (1)A (2) 4 - 5 =1

规律方法

求双曲线标准方程的一般方法:

(1)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件, x2 y2 列出参数 a、b、c 的方程并求出 a、b、c 的值与双曲线a2-b2= x 2 y2 1 有相同渐近线时可设所求双曲线方程为a2-b2=λ(λ≠0). (2)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出 a 的值, 由定点位置确定 c 的值.

x2 y2 【训练 2】 (1)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点 a b 为 F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3 相切, 则双曲线的方程为( x2 y2 A. - =1 9 13 x2 2 C. 3 -y =1 ) x2 y2 B. - =1 13 9
2 y D.x2- 3 =1

(2)(2016· 郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2=24y 的焦点重合,其一条渐近线的倾斜角为 30°,则 该双曲线的标准方程为( x2 y2 A. - =1 9 27 y2 x2 C. - =1 12 24 ) y2 x2 B. - =1 9 27 y2 x2 D. - =1 24 12

解析

b (1)由题意知, 双曲线的渐近线方程为 y=± 即 bx± ay ax,

= 0 ,因为双曲线的渐近线与圆 (x - 2)2 + y2 = 3 相切,所以 |2b| 2 2 = 3 , 由双曲线的一个焦点为 F (2 , 0) 可得 a + b =4, 2 2 a +b
2 y 所以|b|= 3, 即 b2=3, 所以 a2=1, 故双曲线的方程为 x2- 3

=1,故选 D.

(2)∵x2=24y,∴焦点为(0,6), y2 x2 ∴可设双曲线的方程为a2-b2=1(a>0,b>0). a ∵渐近线方程为 y=± bx,其中一条渐近线的倾斜角为 30°,
2 2 3 y x a ∴b= 3 ,c=6,∴a2=9,b2=27.其方程为 9 -27=1.

答案 (1)D (2)B


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