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【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第七章 立体几何 热点专题突破四 立体几何的综合问题课件 理

时间:2016-05-04


热点专题突破四 立体几何的综合问题

考点 1 空间距离与空间角的计算

简单的距离和空间角(异面直线的夹角、线面角和二面角)的计算利用定义和解三角形知识解决.复杂的距离 和空间角的计算则利用空间向量解决,即将异面直线的夹角转化为直线的两条方向向量的夹角、 线面角转化 为直线的方向向量和平面的法向量所成的角、 二面角转化为两平面的法向量的夹角求解,但要注意空间角和 其对应向量的夹角之间的关系.

典例1 (2015· 淮北二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠CDA=90°. PA⊥平面ABCD,PA=AD=AB=2,CD=1,M,N分别是PD,PB的中点.

(1)证明:直线NC∥平面PAD;
(2)求平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值.

【解题思路】利用已知的垂直关系建系,通过求两平面的法向量解
决问题.

空间位置关系的证明和空间角的计算方法 一般有两种方法,一是利用有关位置关系的判定定理和性质定理证明以及利用空间角的概念求解,熟悉定理 的条件以及空间角的概念是正确推理的关键,如面面垂直的判定定理的条件有 4 个;二是利用空间向量的方 法求解,将空间垂直关系转化为两向量的数量积的运算,将空间角转化为两向量夹角,结合空间向量的夹角公 式求解.

考点 2 平面图形的翻折问题

平面图形中的平行、垂直的位置关系到了空间几何体中哪些仍然平行、垂直,这些必须准确把握.一般 地,翻折后仍然在同一平面上的直线的位置关系不变,不在同一平面上的直线的位置关系变化与否是考虑的 重点,在准确理清位置关系的基础上结合相关的定理实施线线、线面、面面位置关系的转化.在理清几何体 中线线位置关系后,根据所求线面角、二面角的定义作出平面角,再利用解三角形知识即可求解.或者建立空 间直角坐标系,利用空间向量将空间角转化为向量夹角,利用空间向量的夹角公式求解.

典例2 如图所示的平面四边形ABCD中,△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形,△BCD为正三角形,且

BD=4,AC与BD交于点O(如图甲).现沿BD将平面四边形ABCD折成三棱锥A-BCD,使得折起后∠AOC=
θ(0<θ<π)(如图乙).

翻折问题与一般立体几何比较 翻折问题增加了判断翻折前后的哪些量不变、哪些量变化的判断过程,其求解二面角的方法一般也有两种, 一是利用传统的作图、证明、求解三步骤,即利用二面角的平面角的定义作出并且证明平面角(通常利用三 垂线定理作图和证明),再解三角形即可求解;二是利用空间向量将二面角的求解代数化,转化为两个平面的 法向量的夹角,但要注意二面角与法向量的夹角是相等还是互补.

考点 3 立体几何中的探索性问题
探索满足线线、线面、面面平行或垂直的点的位置,实际上是各种位置关系的判定定理和性质定理的灵活 应用.这类探索性问题一般是先从结论出发,寻找使结论成立的条件,再以此为条件进行证明,注意不能出现逻辑 性错误.如果不存在,一般应用反证法证明.不特殊的点的探索也可以利用向量法,用向量法探索适合题意的点的 位置,有着特有的优势.一般解法是设出适合题意的点,利用平行或垂直的等价条件建立方程组求解. 与空间角、空间距离有关的探索性问题,一般用向量法探索点的位置,一般解法是设出点的坐标,求出直 线的方向向量、平面的法向量,将异面直线夹角、线面角、二面角转化为两个向量的关系,并且建立方程(组), 通过解方程(组)确定点的位置.

典例3 (2014· 湖北高考)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别 是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2). (1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ. (2)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若 不存在,说明理由.

探索点的位置的方法 在二面角已知(如本题中的直二面角的情况下),解决探索点的位置或 λ 值的问题,用传统方法即利用二面角平 面角的定义找到平面角,利用解三角形知识建立方程求解,而利用向量法则一般都是先设出点的坐标,将二面 角转化为两个平面的法向量的夹角,利用空间向量建立方程求解.

【变式训练】
直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且∠BAD=60°,AA1=AB,E为BB1的延长 线上一点,D1E⊥面D1AC,设AB=2. (1)求二面角E-AC-D1的大小. (2)在D1E上是否存在一点P,使A1P∥平面EAC?若存在,求D1P∶PE的值;若不存在,请说 明理由.


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