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高考数学常用公式及结论200条(三)【天利】

时间:2010-03-05


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高考数学常用公式及结论 200 条(三)
152.排列恒等式 (1) An = ( n m + 1) An
m m 1

;

(2) An =
m

n Anm1 ; nm m m 1 (3) An = nAn 1 ;
(4) nAn = An +1 An ;
n n n +1 m

(6) 1!+ 2 2!+ 3 3!+ + n n ! = ( n + 1)! 1 . 153.组合数公式

(5) An +1 = An + mAn
m

m 1

.

C

m n =

Anm n(n 1) (n m + 1) n! * = = ( n ∈N , m ∈ N ,且 m ≤ n ). N m Am 1× 2 × × m m!(n m)!
m nm

154.组合数的两个性质 (1) C n = C n (2) C
m n + 0

;
m C n +1 .

C

m 1 = n

注:规定 C n = 1 . 155.组合恒等式 (1) Cn =
m

n m + 1 m 1 Cn ; m n m (2) Cn = Cnm1 ; nm n m 1 m (3) Cn = Cn 1 ; m
(4)

∑C
r =0 r r 0

n

r n

= 2n ;
r r r r +1

(5) C + C r +1 + C r + 2 + + C n = C n +1 . (6) C n + C n + C n + + C n + + C n = 2 .
1 2

r

n

n

(7) C n + C n + C n + = C n + C n + C n + 2
1 3 5 0 2 4

n 1

.

(8) C n + 2C n + 3C n + + nC n = n 2
1 2 3

n

n 1

.

(9) C m C n + C m C n + + C m C n = C m + n .
r
0 1 0r

r 1

r

r

(10) (C n ) + (C n ) + (C n ) + + (C n ) = C 2 n .
0 2 1 2 2 2

n 2

n

156.排列数与组合数的关系

Anm = m Cn . ! m
157.单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) "在位"与"不在位" ①某(特)元必在某位有 An 1 种;②某(特)元不在某位有 An An 1 (补集思想)
m m 1 m 1

1

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m 1 n 1 (着眼元素)种. k mk

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=A A
1 n 1

m 1 n 1 (着眼位置)

=A

m n 1

+A

1 m 1

A

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) ①定位紧贴: k ( k ≤ m ≤ n) 个元在固定位的排列有 Ak An k 种. ②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An k +1 Ak 种.注:此类问题 常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k,h 个( k ≤ h + 1 ) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一 组互不能挨近的所有排列数有 Ah Ah +1 种. (3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? 当 n > m + 1 时,无解;当 n ≤ m + 1 时,有
n Am +1 n = C m +1 种排法. n An n
h k n k +1 k

(4) 两组相同元素的排列: 两组元素有 m 个和 n 个, 各组元素分别相同的排列数为 Cm + n . 158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 m , n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配 方法数共有 N = C mn C mn n C mn 2 n C 2 n C n =
n n n n n

(mn)! . (n!) m

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 m n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其 分配方法数共有
n n n n n Cmn Cmn n Cmn 2 n ... C2 n Cn (mn)! = . m! m!(n!) m (3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + +n m ) 个物体分给 m 个人,物件 必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则

N=

nm n n 其分配方法数共有 N = C p1 C p 2 n1 ...C n m m!=

p!m! . n1!n2 !...nm !

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + +n m ) 个物体分给 m 个人, 物件必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a, b,c,…个相等,则其分配方法数有 N =

p !m ! . a!b!c!... n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...) (5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + +n m ) 个物体分为任意的 n1 , =

nm n n C p1 C p 2 n1 ...Cnm m!

n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数 p! 有N = . n1!n2!...nm! (6) (非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + +n m ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a,b,c,…个相等, p! . 则其分配方法数有 N = n1!n2!...nm !(a!b!c!...) (7) (限定分组有归属问题)将相异的 p p = n1 +n2 + +nm ) ( 个物体分给甲, 丙, 乙, ……
等 m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得 n1 件,乙得 n2 件,丙得 n3 件,…时,则无论 n1 ,

n2 ,…, nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

2

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n n nm N = C p1 C p 2 n1 ...Cnm =

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p! . n1!n2!...nm!

159. "错位问题"及其推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为

1 1 1 1 + + (1)n ] . 2! 3! 4! n! 推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为 f (n) = n ![
1 2 3 4 f (n, m) = n ! Cm (n 1)!+ Cm (n 2)! Cm (n 3)!+ Cm (n 4)! p m + (1) p Cm (n p)!+ + (1)m Cm (n m)!
1 2 3 4 Cm C m C m Cm Cp Cm + 2 2 + 4 + (1) p m + + (1) m m ] . 1 An An An An Anp Anm

= n ![1

160.不定方程 x1 +x2 + +xn = m 的解的个数
(1)方程 x1 +x2 + +xn = m ( n, m ∈ N )的正整数解有 C m1 个.

n 1

(2) 方程 x1 +x2 + +xn = m ( n, m ∈ N )的非负整数解有 C n+m1 个.

n 1

(3) 方程 x1 +x2 + +xn = m ( n, m ∈ N )满足条件 xi ≥ k ( k ∈ N , 2 ≤ i ≤ n 1 ) 的非负整数解有 C m+1 ( n 2)( k 1) 个. (4) 方程 x1 +x2 + +xn = m ( n, m ∈ N )满足条件 xi ≤ k ( k ∈ N , 2 ≤ i ≤ n 1 )
n n n 的正整数解有 C nn+11 C 12 C m+n1k 2 + C n22 C m+n12 k 3 + (1) n 2 C nn 2C m+11( n2) k 个. m n 2




n 1

161.二项式定理
0 1 2 r n (a + b) n = C n a n + C n a n 1b + C n a n 2 b 2 + + C n a n r b r + + C n b n ;

二项展开式的通项公式
r Tr +1 = C n a n r b r (r = 0,2 ,n) . 1,

162.等可能性事件的概率

P ( A) =

m . n

163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(AB)= P(A)P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2… An)=P(A1) P(A2)… P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率

Pn (k ) = Cnk P k (1 P ) n k .
168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) Pi ≥ 0(i = 1, 2,) ; (2) P + P2 + = 1 . 1 169.数学期望

Eξ = x1 P + x2 P2 + + xn Pn + 1
3

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170.数学期望的性质 (1) E ( aξ + b) = aE (ξ ) + b .

(2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Eξ = np .
k 1 (3) 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ = k ) = g (k , p ) = q p ,则 Eξ =

1 . p

171.方差

Dξ = ( x1 Eξ ) p1 + ( x2 Eξ ) p2 + + ( xn Eξ ) pn +
2 2 2

172.标准差

σξ = Dξ .
173.方差的性质 (1) D ( aξ + b ) = a Dξ ;
2

(2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Dξ = np (1 p ) .
(3) 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ

= k ) = g (k , p ) = q k 1 p ,则 Dξ =

q . p2

174.方差与期望的关系

Dξ = Eξ 2 ( Eξ ) .
2

175.正态分布密度函数
1 f ( x) = e 2π 6

( x )2
262

, x ∈ ( ∞, +∞ ) ,式中的实数μ, σ ( σ >0)是参数,分别表

示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数
x 1 f ( x) = e 2 , x ∈ ( ∞, +∞ ) . 2π 6 177.对于 N ( , σ 2 ) ,取值小于 x 的概率 x F ( x) = Φ . σ P ( x1 < x0 < x 2 ) = P ( x < x 2 ) P ( x < x1 )
2

= F ( x2 ) F ( x1 )

x x1 = Φ 2 Φ . σ σ
178.回归直线方程
n ∑ ( xi x )( yi y ) i =1 = n = a + bx ,其中 b = 2 y ∑ ( xi x ) i =1 a = y bx

∑ x y nx y
i =1 n i i

n

∑x
i =1

2

i

nx 2

.

179.相关系数

r=

∑ ( x x )( y y )
i =1 i i

n

∑ (x x ) ∑ ( y y )
2 i =1 i i =1 i

n

n

=
2

∑ ( x x )( y y )
i =1 i i

n

.
n 2 2 2 i =1

(∑ xi nx )(∑ yi ny )
2 i =1

n

4

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|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限

0 (1) lim q = 1 n →∞ 不存在
n
k k 1

| q |< 1 q =1 | q |< 1或q = 1
(k < t ) (k = t ) . (k > t )
.

0 ak n + ak 1n + + a0 at (2) lim = n →∞ b n t + b n t 1 + + b t t 1 0 bk 不存在
(3) S = lim

a1 1 q n 1 q
x → x0

(

n →∞

)=

a1 1 q

( S 无穷等比数列

{a q }
n 1 1

( | q |< 1 )的和).

181. 函数的极限定理
x → x0

lim f ( x) = a lim f ( x) = lim+ f ( x) = a .
x → x0

182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ; (2) lim g ( x) = a, lim h( x) = a (常数),
x → x0 x → x0

则 lim f ( x) = a .
x → x0

本定理对于单侧极限和 x → ∞ 的情况仍然成立. 183.几个常用极限

1 = 0 , lim a n = 0 ( | a |< 1 ) ; n →∞ n →∞ n 1 1 (2) lim x = x0 , lim = . x → x0 x → x0 x x0
(1) lim 184.两个重要的极限 (1) lim

sin x =1; x →0 x
x

1 (2) lim 1 + = e (e=2.718281845…). x →∞ x
185.函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x) = a , lim g ( x) = b ,则
x → x0 x → x0

(1) lim f ( x ) ± g ( x ) = a ± b ;
x → x0 x → x0

(2) lim f ( x ) g ( x ) = a b ; (3) lim

x → x0

g ( x)

f ( x)

=

a (b ≠ 0) . b

186.数列极限的四则运算法则 若 lim an = a, lim bn = b ,则 (1) lim ( an ± bn ) = a ± b ;
n →∞ n →∞ n →∞

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(2) lim ( an bn ) = a b ;
n →∞

(3) lim

(4) lim ( c an ) = lim c lim an = c a ( c 是常数).
n →∞ n →∞ n →∞

an a = (b ≠ 0) n →∞ b b n

187. f (x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

f ′( x0 ) = y′
188.瞬时速度

x = x0

= lim

f ( x0 + x) f ( x0 ) y = lim . x → 0 x x → 0 x

υ = s′(t ) = lim
a = v′(t ) = lim

s s (t + t ) s (t ) . = lim t → 0 t t → 0 t

189.瞬时加速度

v v(t + t ) v(t ) . = lim t →0 t t →0 t 190. f (x ) 在 (a, b) 的导数 dy df y f ( x + x) f ( x) f ′( x) = y′ = = lim = lim . = x dx dx x →0 x x →0 191. 函数 y = f (x ) 在点 x0 处的导数的几何意义

函 数 y = f (x ) 在 点 x0 处 的 导 数 是 曲 线 y = f (x ) 在 P ( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率

f ′( x0 ) ,相应的切线方程是 y y0 = f ′( x0 )( x x0 ) .
192.几种常见函数的导数 (1) C ′ = 0 (C 为常数). (2) ( xn ) = nx
'

(3) (4) (5)

(6) 193.导数的运算法则

(n ∈ Q) . (sin x)′ = cos x . (cos x)′ = sin x . 1 1 e (ln x)′ = ; (log a x )′ = log a . x x x x x x (e )′ = e ; (a )′ = a ln a .

n 1

(1) (u ± v) ' = u ' ± v ' . (2) (uv ) ' = u 'v + uv ' . (3) ( ) =
'

u v

u 'v uv ' (v ≠ 0) . v2
' '

194.复合函数的求导法则 设函数 u = ( x ) 在点 x 处有导数 u x = ( x ) ,函数 y = f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有 导 数 yu = f (u ) , 则 复 合 函 数 y = f ( ( x )) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 y x = yu u x , 或 写 作
' ' ' ' '

f x' ( ( x)) = f ' (u ) ' ( x) .
195.常用的近似计算公式(当 x 充小时)

1 n 1 x ; 1+ x ≈1+ x ; 2 n 1 α ≈ 1 x ; (2) (1 + x) ≈ 1 + α x (α ∈ R ) ; 1+ x
(1) 1 + x ≈ 1 +
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(3) e ≈ 1 + x ; (4) ln (1 + x) ≈ x ;
x

(5) sin x ≈ x ( x 为弧度) ; (6) tan x ≈ x ( x 为弧度) ; (7) arctan x ≈ x ( x 为弧度) 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f (x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ′( x ) > 0 ,右侧 f ′( x ) < 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ′( x ) < 0 ,右侧 f ′( x ) > 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 197.复数的相等

a + bi = c + di a = c, b = d .( a , b, c, d ∈ R ) 198.复数 z = a + bi 的模(或绝对值) | z | = | a + bi | = a 2 + b 2 .
199.复数的四则运算法则 (1) (a + bi ) + (c + di ) = ( a + c ) + (b + d )i ; (2) (a + bi ) (c + di ) = ( a c ) + (b d )i ; (3) ( a + bi )(c + di ) = ( ac bd ) + (bc + ad )i ; (4) ( a + bi ) ÷ (c + di ) =

ac + bd bc ad + i (c + di ≠ 0) . c2 + d 2 c2 + d 2

200.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ∈ C ,有 交换律: z1 z2 = z2 z1 . 结合律: ( z1 z2 ) z3 = z1 ( z2 z3 ) . 分配律: z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d =| z1 z2 |= ( x2 x1 ) 2 + ( y2 y1 ) 2 ( z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i ).
202.向量的垂直 非零复数 z1 = a + bi , z2 = c + di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ 2 ,则

OZ1 ⊥ OZ 2 z1 z2 的实部为零

z2 2 2 2 为纯虚数 | z1 + z2 | =| z1 | + | z2 | z1

| z1 z2 |2 =| z1 |2 + | z2 |2 | z1 + z2 |=| z1 z2 | ac + bd = 0 z1 = λ iz2 (λ为非
零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax + bx + c = 0 ,
2

①若 = b 4ac > 0 ,则 x1,2 =
2

b ± b2 4ac ; 2a b 2 ; ②若 = b 4ac = 0 ,则 x1 = x2 = 2a 2 ③若 = b 4ac < 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭
b ± (b 2 4ac)i 2 (b 4ac < 0) . 2a

复数根 x =

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