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湖南大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:数列

时间:2013-07-20

湖南大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:数列 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.若 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

?an ? 是等比数列,前 n 项和 Sn ? 2n ?1 ,则 a12 ? a22 ? a32 ??? an2 ? (
n

)

A. (2 【答案】D

?1)2

B.

1 n (2 ? 1) 2 3

C. 4 ? 1
n

D.

1 n (4 ? 1) 3
)

2.在等差数列 ?a n ?中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 A.14 【答案】C B.15

1 ? 120 ,则 a9 ? a11 的值为( 3
D.17

C.16

3.设等差数列前项和为 Sn , S10 A.800 【答案】B 4.已知等差数列 {an } 中, a2 A.30 【答案】B 5.等比数列 A.16 【答案】B 6.等差数列 {an } 中, a1 ? a4 A.66 【答案】B 7.已知等比数列 A. 64 【答案】C

? 100, S20 ? 400, 则 S30 等于(
C.1000

) D.1100

B.900

? a4 ? 6 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? (
C. 5

)

B.15

6

D. 10

6

?an ?中,已知a1 ? 1, 公比q ? 2, 则a2和a8 的等比中项为(
B.±16 C.32 D.±32

)

? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则 {an } 的前 9 项的和 S9=(
C.144 D.297

)

B.99

?an ? 的前 n 项和 Sn ? 54 ,前 2n 项和 S2n ? 60 ,则前 3n 项和 S3n ? (
B.66 C. 60

)

2 3

D. 66

2 3
)

8.数列{an}是等差数列,n 是其前 n 项和, S 有且 S5<S6,6=S7>S8, S 则在下列结论中错误的是( A.a7=0 C.S9>S5 【答案】C 9.等比数列{ an }各项为正数,且 a2 a4 A.3 【答案】A B.6 B.d<0 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值

? a4a6 ? 2a3a5 ? 9 ,则 a3 ? a5 的值为(
C.9 D.12

)

10. 有一条信息, 若 1 人得知后用 1 小时将其传给 2 人, 这 2 人又用 1 小时分别传给未知此信息

的另外 2 人, 如此继续下去, 要传遍 100 万人口的城市, 所需的时间大约是( A.10 天 【答案】C B. 2 天 C.1 天 D. 半天

)

11.某人为了观看 2008 年奥运会,从 2001 年起,每年 5 月 10 日到银行存入 a 元定期储蓄,若 年利率为 p 且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到 2008 年 5 月 10 日将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为( A. )

a ?1 ? p ?8 ? 1 B. a(1 ? p) 8 p a ?1 ? p ?7 ? ?1 ? p ? p

?

?

C.

?

?

D.

a ?1 ? p ?8 ? ?1 ? p ? p
1

?

?
)

【答案】D 12.已知数列 A.8 【答案】C

?an ? 对于任意 m, n ? N * ,有 am ? an ? am?n ,若 a1 ? 4 ,则 a40 等于(
B.9 C.10 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) D.11

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.设 S n 表示等差数列 {a n } 的前 n 项和,且 S9 ? 18,Sn ? 240 ,若 a n ? 4 ? 30(n ? 9) ,则 n= 【答案】15 14.设等比数列 {an } 的公比 q ? 【答案】15

.

S 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



15. 设数列{an}是各项均为 1 的无穷数列.若在数列{an}的首项 a1 后面插入 1,隔 2 项,即 a3 后面插 入 2,再隔 3 项,即 a6 后面插入 3,......,这样得到一个新数列{bn},则数列{bn}的前 2011 项的 和为 【答案】3841 16.已知数列 【答案】4 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.数列{ (1)求数列{ (2)数列{ }的前 项和 }的通项公式 满足: ; . 的通项公式为 ,则其前 n 项和最大时 n 的值为 。 .

}中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;

若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)当 两式相减得: 时有: ,

∴ ∴数列{ 从而 (2)假设数列{

,又

,∴



}是首项 6,公比为 2 的等比数列. ,∴ }中存在三项 只能是 , , . ,它们可以构成等差数列,



.∴ 、 、 均为正整数,

∴(*)式左边为奇数右边为偶数,不可能成立. 因此数列{ 项 18.在数列 {an } 中, an

}中不存在可以构成等差数列的三

? 4n?1 ? n , n ? N * .

(1)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; (2)证明不等式 Sn?1 ? 4Sn ,对任意 n ? N 皆成立.
*

【答案】 (1)数列 {an } 的通项公式为 an

? 4n?1 ? n
4分

所以数列 {an } 的前 n 项和 Sn
*

?

1? (1 ? 4n ) n(n ? 1) 4n ? 1 n(n ? 1) ? ? ? 1? 4 2 3 2

(2)证明:对任意的 n ? N ,

Sn?1 ? 4Sn ?

4n?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) 4n ? 1 n(n ? 1) ? ? 4( ? ) 3 2 3 2

1 1 ? ? (3n 2 ? n ? 4) ? ? (3n ? 4)(n ? 1) 2 2
当 n ? 1 时, Sn?1

? S2 ? a1 ? a2 ? (1 ? 1) ? (4 ? 2) ? 8, 4S1 ? 4(1 ? 1) ? 8, S2 ? 4S1 ;
1 2

* 当 n ? 2 且 n ? N 时, 3n ? 4 ? 0, n ? 1 ? 0 ,∴ ? (3n ? 4)( n ? 1) ? 0 ,即 Sn?1

? 4S n

所以不等式 Sn?1

? 4Sn ,对任意 n ? N * 皆成立。
2

19. 设二次方程 an x

且满足 6? ? 2?? ? 6? ? 3 . ? an?1x ?1 ? 0(n ? N ? ) 有两个实根 ? 和 ? ,

(1)试用 an 表示 an ?1 ; (2)求证: {an ? } 是等比数列; (3)当 a1 ? 项公式. 【答案】 (1) ? ? ? ?

2 3

7 时,求数列 {an } 的通 6

an?1 6a 1 2 , ?? ? ,而 6? ? 2?? ? 6? ? 3 ,得 n ?1 ? ? 3 , an an an an

1 1 an ? ; 2 3 1 1 2 2 1 2 (2)由(1) an ?1 ? an ? ,得 an ?1 ? ? (an ? ) ,所以 {an ? } 是等比数列; 2 3 3 3 2 3 7 2 1 7 2 1 (3)当 a1 ? 时, {an ? } 是以 ? ? 为首项,以 为公比的等比数列, 6 3 2 6 3 2 2 1 1 2 1 an ? ? ? ( ) n ?1 ,得 an ? ? ( ) n (n ? N ? ) . 3 2 2 3 2 1 20.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n(n ? 1) ,且 an 是 bn 与 1 的等差中项。 2
即 6an?1 ? 2 ? 3an ,得 an ?1 ? (1)求数列

?an ?和数列 ?bn ?的通项公式;
an ,求数列 ?C n ? 的前 n 项和 Tn ; 3n

(2)令 C n

?

(3)若

?a n f ( n) ? ? ?bn

(n ? 2k ? 1) ( n ? 2k )

(k ? N * ) ,是否存在 n ? N *

使得 f (n ? 13) ? 2 f (n) ,并说明理由。

【答案】 (1)由 S n ?

n ?1 ?S1 1 2 1 n ? n ,由 an ? ? 求得 an ? n ?1 2 2 ?Sn ? Sn?1 n ? 2
∴ bn

又∵ 2an

? bn ? 1

? 2n ? 3

n ?1 3n 1 1 2 1 n ∴ Tn ? 0 ? ( ) ? 1 ? ( ) ? ... ? ( n ? 1) ? ( ) 3 3 3 1 1 1 1 Tn ? 0 ? ( ) 2 ? ... ? (n ? 2)( ) n ? ( n ? 1) ? ( ) n ?1 两式相减得: 3 3 3 3 2 1 1 1 Tn ? 1? ( ) 2 ? ... ? ( ) n ? ( n ? 1) ? ( ) n ?1 3 3 3 3 1 1 ( )2 ? [1 ? ( ) n ?1 ] 2 1 1 1 n ?1 3 ∴ Tn ? 3 ? (n ? 1) ? ( ) n ?1 ? ? [1 ? n ?1 ] ? n ?1 1 3 3 6 3 3 1? 3
(2) Cn ?

∴ Tn ?

1 1 1 n ? 1 1 2n ? 1 ? ? n ?1 ? ? ? 4 4 3 2 ? 3n 4 4 ? 3n

(3)当 n 为奇数时:

f (n) ? an ? n ?1

f (n ? 13) ? 2n ? 23

∴ 2n ? 23 ? 2n ? 2 ? n ? ? 当 n 为偶数时

f (n) ? bn ? 2n ? 3

f (n ?13) ? n ?12 由题

∴ 2 ? (2n ? 3) ? n ? 12 ? n ? 6 为偶数 ∴满足条件的 n 存在且等于 6. 21.已知 n 条直线: l1 :

x ? y ? c1 ? 0 , c1 = 2 , l 2 : x ? y ? c2 ? 0 ,

l3 : x ? y ? c3 ? 0 ,…, l n : x ? y ? cn ? 0 .(其中 c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn )这n条平行
线中,每相邻两条之间的距离顺次为 2,3,4,…,n. (1)求 cn ; (2)求 x ? (3)求 x ?

y ? cn ? 0 与 x 轴、y 轴围成的图形的面积; y ? cn?1 ? 0 与 x ? y ? cn ? 0 及 x 轴、y 轴围成的图形的面积.
cn ? 2 2
=2+3+4+…+n,

【答案】(1)由题意可知: l1 到 l n 的距离为:

∵ cn >

2 ∴ cn =

2n(n ? 1) 2

(2)设直线 l n :x-y+cn=0 交 x 轴于M点,交y轴于N点,则△OMN的面积为:

S△OMN=

1 1 2 n 2 (n ? 1) 2 │OM││ON│= c n = 2 2 4

(3)围成的图形是等腰梯形,由(2)知Sn=

n 2 (n ? 1) 2 .则有 4

Sn-1=

( n ? 1) 2 n 2 , 4
3

Sn-Sn-1=

n 2 (n ? 1) 2 ( n ? 1) 2 n 2 3 - =n 4 4

所以所求面积为 n

22.在数列 ?a n ? 中,已知 a n ? 1, a1 ? 1且a n ?1 ? a n ? (I)求数列 ?a n ? 的通项公式;

a n ?1

2 (n ? N * ) ? an ? 1

2 (II)令 c n ? (2a n ? 1) , S n ?

1 1 1 ? ??? ,若 S n ? k 恒成立,求 k 的取值范围。 c 1c 2 c 2c 3 c n c n ?1

【答案】 (1)因为 a n ?1 ? a n ?

2 2 2 ,所以 an ?1 ? an ? an ?1 ? an ? 2 , an ?1 ? an ? 1

1? ? 1? ? 即 ? an ?1 ? ? ? ? an ? ? ? 2 , 2? ? 2? ?
1 1? ? 令 b n ? ? an ? ? ,?b n ?1 ? b n ? 2 ,故 ? n ? 是以 为首项,2 为公差的等差数列。 b 4 2? ?
所以 b n ?
2

2

2

1 8n ? 7 ? 2?n ? 1? ? , 4 4

因为 an

? 1 ,故 a n ?

1 ? 8n ? 7 。 2
2

(2)因为 c n 所以

? ?2an ? 1? ? 8n ? 7 ,

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ,分 c n c n ?1 ?8n ? 7??8n ? 1? 8 ? 8n ? 7 8n ? 1 ? ? 1 1 1 1? 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? c 1c 2 c 2c 3 c n c n ?1 8 ? 9 9 17 8n ? 7 8n ? 1 ?

所以 S n

1? 1 ? 1 ? ?1 ? ?? , 8 ? 8n ? 1 ? 8
因为 S n

? k 恒成立,故 k ?

1 。 8


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