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高中数学竞赛讲义

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几个初等函数的性质 一、基础知识 1.指数函数及其性质:形如 y=ax(a>0, a ? 1)的函数叫做指数函数,其定义域为 R,值域为 (0,+∞) ,当 0<a<1 时,y=ax 是减函数,当 a>1 时,y=ax 为增函数,它的图象恒过定点(0, 1) 。 1 m n 2.分数指数幂: a n ? a , a n ? n a m , a ?n ? 1 ?n ,a ? an m 1 n 。 am 3. 对数函数及其性质: 形如 y=logax(a>0, a ? 1)的函数叫做对数函数, 其定义域为 (0, +∞) , 值域为 R,图象过定点(1,0) 。当 0<a<1,y=logax 为减函数,当 a>1 时,y=logax 为增函数。 4.对数的性质(M>0, N>0) ; 1)ax=M ? x=logaM(a>0, a ? 1); 2)loga(MN)= loga M+ loga N; M )= loga M- loga N;4)loga Mn=n loga M; , N log c b 1 5)loga n M = loga M;6)aloga M=M; 7) loga b= (a,b,c>0, a, c ? 1). log c a n a 5. 函数 y=x+ (a>0) 的单调递增区间是 ? ?,? a 和 a ,?? , 单调递减区间为 ? a ,0 x 和 0, a 。 (请读者自己用定义证明) 3)loga( ? ? ? ? ? ? ? ? 6.连续函数的性质:若 a<b, f(x)在[a, b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)=0 在(a,b)上至少 有一个实根。 二、方法与例题 1.构造函数解题。 例 1 已知 a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0. 【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)),则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要证原不等式成立,只需证 f(-1)>0 且 f(1)>0(因为-1<a<1). 因为 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0, f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0, 所以 f(a)>0,即 ab+bc+ca+1>0. 例 2 (柯西不等式) a1, a2,?,an 是不全为 0 的实数, 1, b2,?,bn∈R, ( 若 b 则 ≥( · ( ? ai2 ) ? bi2 ) i ?1 i ?1 n n ?a b i ?1 i n n i )2,等号当且仅当存在 ? ? R,使 ai= ?bi , i=1, 2, ?, n 时成立。 【证明】 令 f(x)= ( 因为 ? ai2 )x2-2( ? ai bi )x+ ? bi2 = ? (ai x ? bi ) 2 , i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 n n n n n n ?a i ?1 2 i >0,且对任意 x∈R, f(x)≥0, 所以△=4( 展开得( ? ai bi )-4( ? ai2 )( ? bi2 )≤0. i ?1 n i ?1 i ?1 2 i n ?a i ?1 )( ?b i ?1 n 2 i )≥( ?a b i ?1 i n i )2。 等号成立等价于 f(x)=0 有实根,即存在 ? ,使 ai= ?bi , i=1, 2, ?, n。 1 1 ?? 1? ?? y ? ? 的最小值。 ? x ?

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