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湖北省黄冈中学2013年春季期中考试数学试题(理科)

时间:2013-05-17

黄冈中学 2015 届高一(下)期中考试数学(理)试题
一、选择题(本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分. ) 1.数列 ?

1 1 1 1 1 , , ? , , ? K . 的一个通项公式可能是 2 4 6 8 10 1 1 1 A. (?1) n B. (?1) n n C. ( ?1) n ?1 2n 2n 2

D. ( ?1) n ?1

2.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a,b,c ,已知 a ? 2, c ? 3, B ? 的面积为

?
6

1 2n

,则 ?ABC

A.

3

B. 3

C.

3 2

D.

3 2

3. 等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 3, an ? 21, d ? 2 ,则 n ?

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

4. sin 34? sin 26? ? cos 34? cos 26? ?

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

5.已知 ?an ? 是等比数列,则下列数列中也一定是等比数列的是

A?.? a ? C (其中 C 为常数) ? n C.?anbn ? (其中 ?bn ? 为常数数列)
6.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a,b,c ,若

?1? B. ? ? ? an ?
D. 2an

? ?
D. 等腰或直角三角形

a b ? ,则 ?ABC 的形状是 cos B cos A

A. 等腰三角形

B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形

7.若 sin 74? ? m ,则 cos8? ?

A.

1? m 2

B. ?

1? m 2

C.

1? m 2

D. ?

1? m 2

8.等比数列的前 10 项和,前 20 项和,前 30 项的和分别为 S , T , R ,则

A. S 2 ? T 2 ? S ?T ? R ?

B. T 2 ? S R

2 C. ? S ? T? ? R ? T

D. S ? T ? R
C

9. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 , P、Q 分别为 边 AB、DA 上的点。设 ?BCP ? ? , ?DCQ ? ? ,

D

Q

A

P

B

若 ?APQ 的周长为 4 ,则 ? ? ? ?

A. 15?

B. 30?

C. 45?

D. 60?

10.下列命题中正确的是:

①若数列 ?an ? 是等差数列,且 am ? an ? as ? at (m、n、s、t ? N*) ,则 m ? n ? s ? t ; ②若 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项的和,则 S n,S 2n ? S n,S3n ? S 2n 成等差数列; ③若 S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项的和,则 S n,S 2n ? S n,S3n ? S 2n 成等比数列;

④若 S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项的和,且 S n ? Aqn ? B ; (其中 A、B 是非零常数,

n? N *) ,则 A ? B 为零. A. ①② B.
②③

C.

②④

D. ③④

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置.) 11.若三个数 5 ? 2 6, m,5 ? 2 6 成等差数列,则 m ? ____ .

12. 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 是 a,b,c , 已 知 a ? 5 2 ,c ? 1 0,A ?

?
6

, 则

C ? ____________ .
13. 函数 y ? sin 2 x ? 2sin x 的对称轴方程为 x ?
2

B ____ .

14.如图,一艘轮船 B 在海上以 40 n mile / h 的速度沿着方位角(从指北 方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 165? 的方向航行,此时轮船 B 的正南方有一座灯塔 A 。已知 AB ? 800 n mile ,则轮船 B 航行 时距离灯塔 A 最近. 15. 观 察 以 下 各 等 式 :

h

A

sin 2 30? ? cos 2 60? ? sin 30? cos 60? ?

3 4



sin 2 20? ? cos 2 50? ? sin 20? cos 50? ?

3 3 2 2 , sin 45? ? cos 105? ? sin 45? cos105? ? . 4 4

分析上述各式的共同特点, 请写出一个能反映一般规律的等式



三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(12 分)已知 cos ?

7? sin 2 x ? 2sin 2 x ?? ? 4 17? ?x? ,求 的值. ? x? ? , 12 4 1 ? tan x ?4 ? 5

17. 12 分) ( 如图四边形 ABCD 中,AB ? 2, BC ? 2 2, CD ? 7 ; ?B ? 4 ? ?C 15 且 5, 0 ? 求边 AD 的长. D A

?,

B

C

18.(12 分)已知函数 f ? x ? ? cos x ? 2sin x cos x ? sin x .
4 4

⑴求 f ? x ? 的最小正周期;

⑵当 x ? ? ?

? ? ? , 0 时,求 f ? x ? 的最小值以及取得最小值时 x 的集合。 ? 2 ? ?

20.(13 分) 某地正处于地震带上,预计 20 年后该地将发生地震.当地决定重新选址建设新 城区, 同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为 64a m , 每年拆除的数量相 同;新城区计划第一年建设住房面积 a m ,开始几年每年以 100% 的增长率建设新住 房,从第五年开始,每年新建的住房面积都比上一年新建的住房面积增加 a m .设第
2 2 2

n (n ? 1, 且n ?N)年新城区的住房总面积为 an m 2 ,该地的住房总面积为 bn m 2 .
⑴求 an ; ⑵若每年拆除 4a m ,比较 an +1 与 bn 的大小.
2

期中考试数学(理)答案
1.解析:考察数列的特点可知选 A 2.解析:考察三角形的面积公式 S ? ?

1 ac sin B ,选 C 。 2

3.解析:考察等差数列的通项公式,可知 a1 ? 1 ,由 an ? a1 ? ? n ?1? d 解得 n ? 11 ,选 C 。 4.解析:考察和角的余弦公式,原式 ? ? cos ? 34? ? 26? ? ? ?

1 ,选 B 。 2

5.解析:考察等比数列定义的理解, C 中若 bn ? 0 则非等比,选 B 。 6.解析:考察正弦定理,由 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B 得 2sin A cos A ? 2sin B cos B ,即

sin 2 A ? sin 2 B ,所以 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? ,即 A ? B 或 A ? B ?
2

?
2

。选 D 。

7.解析:考察诱导公式及倍角公式, sin 74? ? cos16? ? 2cos 8? ? 1 ? m ,选 C 。 8.解析: 考察等比数列的前 n 项和公式, Sn ? k ? kqn(其中 k ? 设

a1 ) 则 S ? k ? kq10 , , 1? q

T ? k ? kq20 , R ? k ? kq30 ,检验知选 A 。
9.解析:考察和角的正切公式, PB ? tan ? , DQ ? tan ? , PQ ? PB ? DQ ,由勾股定理

PQ2 ? AP2 ? AQ2 ,即 ? tan ? ? tan ? ? ? ?1 ? tan ? ? ? ?1 ? tan ? ? ,即
2 2 2

tan ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? 1 ,故 ? ? ? ?

?
4

。选 C 。

10.解析:考察等差、等比数列的有关性质,①的反例:?an ? 为常数列,③的反例:?an ? 的

q ? ?1, n 为偶数。选 C 。
11.解析:考察等差中项, m ?

?5 ? 2 6 ? ? ?5 ? 2 6 ? ? 5 。
2

12.解析:考察正弦定理,由

a c ? 3? 2 ? 得 sin C ? ,所以 C ? 或 。 sin A sin C 4 4 2

13.解析:考察三角恒等变换及三角函数的性质,

? ? ?? ? y ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 ,由 2 x ? ? k? ? 得 4 2 4? ?

对称轴为 x ?

k? 3? ? ?k ? Z ? 2 8

14.解析:考察解三角形的实际应用,过 A 作垂线,垂足为 C ,则 AC 为最近距离,

BC ? AB cos15? ? 200

?

6 ? 2 ,由

?

BC ?5 40

?

6 ? 2 知答案填 5

?

?

6? 2 。

?

15.解析:考察观察、分析、归纳的能力,

sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ?
16.解析:考察三角恒等变换, 原式 ?

3 ,其中 ? ? ? ? 30? 。 4

2sin x ? cos x ? sin x ? ? 2sin x cos x ? sin 2 x sin x 1? cos x
(10 分)

(6 分)

?? ? ?? ? ? ? cos ? ? 2 x ? ? ? cos 2 ? ? x ? ?2 ? ?4 ?
2
2

7 ?? ? ?4? ? 1 ? 2 cos ? ? x ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 25 ?4 ? ?5?

(12 分)

17.解析:考察解三角形的知识,连接 AC ,则可知 ?BAC ? 90?, ?ACB ? 45?, AC ? 2 , (4 分)在 ?ACD 中,由余弦定理 AD ? AC ? CD ? 2 AC ? CD ? cos ?ACD (8 分)
2 2 2

得 AD ? 4 ? 49 ? 2 ? 2 ? 7 ? cos 60? ? 39 ,故 AD ? 39 。 (12 分)
2

18.解析:考察三角恒等变换及三角函数的性质,

f ? x ? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ?? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2sin x cos x

?? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? 4? ?
⑴周期 T ? ⑵当 x ? ? ?

(4 分)

2? ? ? ? k ? Z *? ; (6 分) 2

? ? 3? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ?? , 0 ? 时, 2 x ? ? ? ? , ? , f ? x ? 在 ? ? , ? ? 上递减,在 ? ? , ? 4 ? 4 4? 2? ? 2 ? ? 4 ? 2 4?
?
4 ??

上递增,所以当 2 x ?

?
2

时, f ? x ? 取最小值 ? 2 , (10 分)此时 x 的集合为

? 3? ? (12 分) ?? ? 。 ? 8 ?
19.解析:解三角形与三角函数的综合, (1)由正弦定理得 a ? c ? b ,即 a ? b ? c ? bc , (3 分) b?c a?c
2 2 2

由余弦定理得 cos A ?

1 ,∴ A ? ? ; 分) (6 2 3
2

(2) f ( x ) ? cos ( x ? ) ? sin ( x ? ) ? 3 3
2

?

?

1 ? cos(2 x ? 2

2? 2? ) 1 ? cos(2 x ? ) 3 ? 3 ? ? 1 cos 2 x , 2 2

(10 分)

由 2k? ? 2 x ? 2k? ? ? ,得 k? ? x ? k? ?

?
2



? 故 f ( x ) 的单调递增区间为 [k? , k? ? ] , k ? Z . (12 分) 2
20.解:⑴设第 n 年新城区的住房建设面积为 cn m ,则 当 1 ? n ? 4 时, cn ? 2n?1 a ;当 n ? 5 时, cn ? (n ? 4)a . 所以, 当 1 ? n ? 4 时, an ? (2n ?1)a ; 当 n ? 5 时, an ? a ? 2a ? 4a ? 8a ? 9a ? …? (n ? 4)a ?
?(2n ? 1)a(1 ? n ? 4), ? 故 an ? ? n2 ? 9n ? 22 . a(n ? 5). ? ? 2
2

n 2 ? 9n ? 22 a. 2

(6 分)

⑵ 1 ? n ? 3 时, an?1 ? (2n?1 ?1)a , bn ? (2n ?1)a ? 64a ? 4na ,显然有 an?1 ? bn .

n ? 4 时, an?1 ? a5 ? 24a , bn ? b4 ? 63a ,此时 an?1 ? bn .

5 ? n ? 16 时, an ?1 ?

n 2 ? 11n ? 12 n2 ? 9n ? 22 a , bn ? a ? 64a ? 4na , 2 2

an?1 ? bn ? (5n ? 59)a . 所以, 5 ? n ? 11 时, an?1 ? bn ;
12 ? n ? 16 时, an?1 ? bn . n ? 17 时,显然 an?1 ? bn .
故当 1 ? n ? 11 时, an?1 ? bn ;当 n ? 12 时, an?1 ? bn .(13 分) 21.解: (1)由题意,得

Sn ? n ? 4 ,即 S n ? n 2 ? 4n . n

2 2 故当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 4n - (n ? 1) ? 4(n ? 1) ? 2n ? 3 .

注意到 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 5 ,而当 n ? 1 时, n ? 4 ? 5 , 所以, an ? 2n ? 3 (n ? N ) .
*

又 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 ,即 bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N ) ,
*

所以 ?bn ? 为等差数列,于是

11(b4 ? b8 ) ? 154. 2

20 ? 8 ? 3, 4 因此, bn ? b4 ? 3(n ? 4) ? 3n ? 4 ,
而 b4 ? 8 ,故 b8 ? 20 , d ? 即 bn ? b4 ? 3(n ? 4) ? 3n ? 4 (n ? N * ) . (5 分) 3 3 (2) cn ? ? 2[(2n ? 3) ? 2][2 ? (3n ? 4) ? 5] 2(an ? 2)(2bn ? 5)

3 1 1 . ? ? 2(2n ? 1)(6n ? 3) 2(2n ? 1)(2n ? 1) 2(2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 所以, Tn ? c1 ? c2 ? ?? cn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] 4 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? . 4 2n ? 1 4n ? 2 n ?1 n 1 ? ? ?0 由于 Tn ?1 ? Tn ? 4n ? 6 4n ? 2 (4n ? 6)(2n ? 1) 1 因此 Tn 单调递增,故 (TN ) min ? . 6 1 k 1 令 ? ,得 k ? 12 ,所以 k max ? 12 . (10 分) 6 75 2 ?2n ? 3(n ? 2l ? 1, l ? N * ) ? (3) f (n) ? ? ?3n ? 4(n ? 2l , l ? N * ) ? ?
① 当 m 为奇数时, m ? 9 为偶数. 此时 f (m ? 9) ? 3(m ? 9) ? 4 ? 3m ? 23 , 3 f (m) ? 6m ? 9 所以 3m ? 23 ? 6m ? 9 , m ?

14 ? N * (舍去) 3

② 当 m 为偶数时, m ? 9 为奇数. 此时, f (m ? 9) ? 2(m ? 9) ? 3 ? 2m ? 21, 3 f (m) ? 9m ? 12 , 所以 2m ? 21 ? 9m ? 12 , m ?

33 ? N * (舍去) . 7
(14 分)

综上,不存在正整数 m ,使得 f (m ? 9) ? 3 f (m) 成立.


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