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柯西不等式(2)

时间:2016-07-16


高二数学组集体备课教案
主备人:郑飘伶 执行人:



题:一般形式的柯西不等式
1、理解二维、三维形式的柯西不等式的几种形式, 2、了解柯西不等式的一般形式及其证明过程(函数法和向量法) ; 3、会用柯西不等式证明简单不等式和求最值。 ① 知识与技能目标:一般形式的柯西不等式的推导过程,学会用柯西不等式 证明不等式和求最值。 ②过程与方法目标:会运用柯西不等式证明其他不等式和求最值。 ③情感、态度与价值观目标:激发学生学习数学的兴趣,在学生分析问题、解 决问题的过程中培养其积极探索的精神。 教学重点:一般形式的柯西不等式及应用. 教学难点:在运用不等式解决问题时式子结构的配凑 一、复习回顾: 1. 提问:二维形式的柯西不等式、三角不等式? 几何意义? 答案: (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 ;

内容及解析

目标及解析

教学重、难点 支持条件分析

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
2. 讨论:如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式,拓广到三维、四维? 提示: (柯西不等式的向量形式) :设 ? , ? 是两个向量,则 | ? ? ? |?| ? || ? | . 当且仅当 ? , ? 共线时等号成立。 二、新课探究 教学设计过程 与设计意图 1、三维形式的柯西不等式: 若 a , b, c , d 为实数,则 (a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 . 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立。 2、一般形式的柯西不等式:设 n 为大于 1 的自然数,ai , bi ( i ? 1,2,…,n ) 为任意实数, 则:(a12 ? a22 ? ?an 2 )(b12 ? b22 ? ?bn 2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?anbn )

? ? ??

? ? ??

? ? ??

? ? ??

i ? 1, 当且仅当 bi ? 0 , 2, …, 或存在一个数 k, 使得 ai ? kbi (i ? 1, 2,?, n) n)
时,等号成立。特别地,若 ai ? 0 ,等号成立条件可为

b b1 b2 ? ??? n a1 a2 an

三、应用举例:

1 例 1、已知 a1,a2,…,an 都是实数,求证: (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ? a12 ? a2 2 ? ? ? an 2 n
分析:用 n 乘要证的式子两边,能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。 例 2、已知 a,b,c,d 是不全相等的实数,证明:a + b + c + d > ab + bc + cd + da 分析:上式两边都是由 a,b,c,d 这四个数组成的式子,特别是右边式子的 字母排列顺序启发我们,可以用柯西不等式进行证明。 设计意图:例 1、例 2 都是利用柯西不等式证明其他的不等式,将不等式 的左边或右边配凑成柯西不等式式子的结构是关键。
例3、已知 x ? 2 y ? 3z ? 1,求 x2 ? y2 ? z2 的最小值.
2 2 2 2

设计意图:利用柯西不等式求最值,注意系数的配凑。

例 3、求函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值。 设计意图:利用柯西不等式求最值。注意形式上的配凑和取等的条件。

四、巩固练习: 教材 P41 习题 3.2

五、课堂小结: 一般形式的柯西不等式的代数形式、向量形式;运用不等式时注意式子结 构的配凑

六、课后作业 基础训练 P73 课后知能检测 1、一般形式的柯西不等式及其推导; 2、利用柯西不等式证明其他不等式 3、利用柯西不等式求最值

教学问题诊断

后记与反思


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