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高三抛物线专题复习讲义及练习(理).

时间:2014-01-05


抛物线专题复习
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p ? 0 ): 标准方程 图形
y 2 ? 2 px


y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py


x 2 ? ?2 py


y

y

y

y

x O

x O

x O
O

x

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率

F( x??

p , 0) 2 p 2

F (?
x? p 2

p ,0) 2

F (0, y?? p 2

p ) 2

F (0,?
y? p 2

p ) 2

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0)
e ?1

2.抛物线的焦半径、焦点弦 ① y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦半径 PF ? y ? P ;
2 2

② 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为 2p. ③ AB 为抛物线 y
2

? 2 px 的焦点弦,则 x A xB

?

p2 , y A y B ? ? p 2 , | AB | = xA ? xB ? p 4
? x ? 2 pt
2 ? y ? 2 pt

3. y 2 ? 2 px 的参数方程为 ? 考点 1 抛物线的定义

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

( t 为参数) x 2 ? 2 py 的参数方程为 ? ,

( t 为参数).

题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例 1 ]已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之 和的最小值为 变式: 1.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P ( x1,y1 ),P2 ( x2,y2 ) , P3 ( x3,y3 ) 在抛物线上,且 1
| P F | 、 | P2 F | 、 | P3 F | 成等差数列, 则有 1

( C. x1 ? x3 ? 2x2
1



A. x1 ? x2 ? x3

B. y1 ? y2 ? y3

D. y1 ? y3 ? 2 y2

2. 已知点 A(3,4), F 是抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MA ? MF 最小时,M 点坐标 是 ( ) A. (0, 0) B. (3, 2 6 ) C. ( 2, 4) D. (3, ? 2 6 )

考点 2

抛物线的标准方程

题型:求抛物线的标准方程 [例 2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上

变式: 3.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线
x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则 p 的值 3

4. 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上;②焦点在 x 轴上;③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 能使这抛物线方程为 y2=10x 的条件是____________.(要求填写合适条件的序号)

5. 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 Y 轴的交点,A 为抛物线上一点,且
| AM |? 17 , | AF |? 3 ,求此抛物线的方程.

考点 3

抛物线的几何性质

题型:有关焦半径和焦点弦的计算与论证 [例 3 ]设 A、B 为抛物线 y
2

? 2 px 上的点,且 ?AOB ? 90 ? (O 为原点),则直线 AB 必过的定点坐标为

变式; 6. 若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,则实数 a ?

7. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、B,若 A、B 在抛物线准线上的射影为 A1 , B1 ,则
?A1 FB1 ?

(

)

A. 45 ?

B. 60 ?

C. 90 ?

D.

120 ?

2

基础巩固训练 1.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于
a 2 ? 2a ? 4(a ? R) ,则这样的直线

( C.1 条或 2 条 D.不存在



A.有且仅有一条

B.有且仅有两条

2.在平面直角坐标系 xOy 中,若抛物线 x 2 ? 4 y 上的点 P 到该抛物线焦点的距离为 5,则点 P 的纵坐 标为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ( )

3.两个正数 a、b 的等差中项是 标为

9 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则抛物线 y 2 ? (b ? a ) x 的焦点坐 2 1 B. (0, ) 4

1 A. (0, ? ) 4

1 C. ( ? , 0) 2

1 D. ( ? , 0) 4

(

)

4. 如果 P1 , P2 ,?, P8 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的点,它们的横坐标依次为 x1 , x2 ,?, x8 ,F 是抛物 线的焦点, x1 , x2 ,?, xn (n ? N ? ) 成等差数列且 x1 ? x2 ? ? ? x9 ? 45 , | P5 F | = 若 则 A.5 B.6 C. 7 D.9 ( )

5.抛物线 y 2 ? 4 x的焦点为F , 准线为 l,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60°的直线与抛物 线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AB⊥l,垂足为 B,则四边形 ABEF 的面积等于 A. 3 3 B. 4 3 C. 6 3 D. 8 3 ( )

??? ? FA 6.设 O 是坐标原点, 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, 是抛物线上的一点, 与 x 轴正向的夹角为 60? , A F ??? ? 则 OA 为 .

综合提高训练 7.在抛物线 y ? 4 x 2 上求一点,使该点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离为最短,求该点的坐标

8. 已知抛物线 C : y ? ax 2 ( a 为非零常数)的焦点为 F ,点 P 为抛物线 c 上一个动点,过点 P 且与 抛物线 c 相切的直线记为 l . (1)求 F 的坐标; (2)当点 P 在何处时,点 F 到直线 l 的距离最小?

3

9. 设抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点.点 C 在抛 物线的准线上,且 BC∥X 轴.证明直线 AC 经过原点 O.

10.椭圆

x2 y2 9 ? 2 ? 1 上有一点 M(-4, )在抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)的准线 l 上,抛物线的焦点也 2 5 a b

是椭圆焦点.(1)求椭圆方程; (2)若点 N 在抛物线上,过 N 作准线 l 的垂线,垂足为 Q 距离,求|MN|+|NQ|的最小值.

11.已知抛物线 C 的一个焦点为 F( 1 ,0) ,对应于这个焦点的准线方程为 x=- 1 .
2 2

(1)写出抛物线 C 的方程; (2)过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,O 点为坐标原点,求△ AOB 重心 G 的轨迹方程; (3)点 P 是抛物线 C 上的动点,过点 P 作圆(x-3)2+y2=2 的切线,切 点分别是 M,N.当 P 点在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值.

4

抛物线专题练习 1.如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为 A. (1, 0) B. (2, 0) C. (3, 0) D. (-1, 0) 2.圆心在抛物线 y 2=2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 A x2+ y 2-x-2 y 1 =0 4








1 =0 4

B x2+ y 2+x-2 y +1=0

C x2+ y 2-x-2 y +1=0

D x2+ y 2-x-2 y + (

3.抛物线 y ? x 2 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短的点的坐标是 A. (1,1)
1 1 B. , ) ( 2 4 3 9 C. ( , ) 2 4



D. (2,4) )

4.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 1m,则水面宽为( A. 6 m B. 2 6 m C.4.5m D.9m (

5.平面内过点 A(-2,0) ,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 A. y 2=-2x B. y 2=-4x C.y 2=-8x D.y 2=-16x



6.抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是 6,则抛物线的方程 是 A. y 2=-2x B. y 2=-4x C. y 2=2x D. y 2=-4x 或 y 2=-36x ( )

7.过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那么|AB|= A.8 B.10 C.6 D.4 ( ) )

8.把与抛物线 y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量 a ? (2,?3) 平移,所得的曲线的方程是( A ( y ? 3) 2 ? ?4( x ? 2) B ( y ? 3) 2 ? ?4( x ? 2) C ( y ? 3) 2 ? ?4( x ? 2)

D ( y ? 3) 2 ? ?4( x ? 2) ( )

9.过点 M(2,4)作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条

10. 过抛物线 y =ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 两点, Q 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、 q,则
1 1 ? 等于 p q


1 2a



A.2a

B.

C.4a

D.

4 a

11.抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若 AB 的长为 4 3 ,则焦点到 AB 的距离为



12.抛物线 y =2x2 的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是



5

13.P 是抛物线 y 2=4x 上一动点,以 P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经过一个 定点 Q,点 Q 的坐标是 .

14.抛物线的焦点为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 9 4



15.已知动圆 M 与直线 y =2 相切,且与定圆 C: x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

16.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于 5, 求抛物线的方程和 m 的值.

17.动直线 y =a,与抛物线 y 2 ? 轨迹的方程.

1 x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 (0,3a) ,求线段 AB 中点 M 的 2

18.如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM|= 当的坐标系,求曲线段 C 的方程. ,|AN|=3,且|BN|=6.建立适

19.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) .过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两 点 A、 | AB |? 2 p . B, (Ⅰ) a 的取值范围; 求 (Ⅱ) 若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N, Rt?NB 求 A 面积的最大值.

6

抛物线专题复习
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p ? 0 ): 标准方程 图形
y 2 ? 2 px


y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py


x 2 ? ?2 py


y

y

y

y

x O

x O

x O
O

x

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率

F( x??

p , 0) 2 p 2

F (?
x? p 2

p ,0) 2

F (0, y?? p 2

p ) 2

F (0,?
y? p 2

p ) 2

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0)
e ?1

2.抛物线的焦半径、焦点弦 ① y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦半径 PF ? y ? P ;
2 2

② 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为 2p. ③ AB 为抛物线 y
2

? 2 px 的焦点弦,则 x A xB

?

p2 , y A y B ? ? p 2 , | AB | = xA ? xB ? p 4
? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

3. y 2 ? 2 px 的参数方程为 ? 考点 1 抛物线的定义

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

( t 为参数) x 2 ? 2 py 的参数方程为 ? ,

( t 为参数).

题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例 1 ]已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之 和的最小值为 【解题思路】将点 P 到焦点的距离转化为点 P 到准线的距离 [解析]过点 P 作准线的垂线 l 交准线于点 R,由抛物线的定义知, PQ ? PF ? PQ ? PR ,当 P 点为抛 物线与垂线 l 的交点时, PQ ? PR 取得最小值,最小值为点 Q 到准线的距离 ,因准线方程为 x=-1,故 最小值为 3
7

【名师指引】 灵活利用抛物线的定义, 就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的 转换,一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关
y 变式:1.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P (x1,y1 ),P2 (x2 , 2 ) , P3 ( x3,y3 ) 在抛物线上, 1

且 | P F | 、 | P2 F | 、 | P3 F | 成等差数列, 则有 1 A. x1 ? x2 ? x3 [解析]C B. y1 ? y2 ? y3 C. x1 ? x3 ? 2x2 D. y1 ? y3 ? 2 y2





p p p 由抛物线定义, 2( x2 ? ) ? ( x1 ? ) ? ( x3 ? ), 即: x1 ? x3 ? 2x2 . 2 2 2

2. 已知点 A(3,4), F 是抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MA ? MF 最小时,M 点坐标是 A. (0, 0) B. (3, 2 6 ) C. ( 2, 4) D. (3, ? 2 6 ) ( [解析] 设 M 到准线的距离为 MK ,则 | MA | ? MF |? MA ? MK ,当 MA ? MK 最小时, M 点坐标是 ( 2, 4) ,选 C 考点 2 抛物线的标准方程 )

题型:求抛物线的标准方程 [例 2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上

【解题思路】以方程的观点看待问题,并注意开口方向的讨论. [解析] (1)设所求的抛物线的方程为 y 2 ? ?2 px 或 x 2 ? 2 py ( p ? 0) , ∵过点(-3,2) ∴ 4 ? ?2 p(?3)或9 ? 2 p ? 2
2 9 ∴ p ? 或p ? 3 4 9 4 ∴抛物线方程为 y 2 ? ? x 或 x 2 ? y , 2 3

1 9 前者的准线方程是 x ? , 后者的准线方程为 y ? ? 3 8

(2)令 x ? 0 得 y ? ?2 , y ? 0 得 x ? 4 , 令 ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时 , ∴ p ? 8 ,此时抛物线方程 y 2 ? 16 x ;焦点为(0,-2)时

p ?4 2

p ? 2 ∴ p ? 4 ,此时抛物线方程 2

x 2 ? ?8 y .∴所求抛物线方程为 y 2 ? 16 x 或 x 2 ? ?8 y ,对应的准线方程分别是 x ? ?4, y ? 2 .

变式: 3.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 [解析]
p ? 3 ?1 ? p ? 4 2
8

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则 p 的值 3

4. 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上;②焦点在 x 轴上;③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 能使这抛物线方程为 y2=10x 的条件是____________.(要求填写合适条件的序号) [解析] 用排除法,由抛物线方程 y2=10x 可排除①③④,从而②⑤满足条件.

5. 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 Y 轴的交点,A 为抛物线上一点,且
| AM |? 17 , | AF |? 3 ,求此抛物线的方程

[解析] 设点 A' 是点 A 在准线上的射影,则 | AA'|? 3 ,由勾股定理知 | MA'|? 2 2 ,点 A 的横坐标为

(2 2 ,3 ?
考点 3

p 2 ) ,代入方程 x 2 ? 2 py 得 p ? 2 或 4,抛物线的方程 x ? 4 y 或 x 2 ? 8 y 2

抛物线的几何性质

题型:有关焦半径和焦点弦的计算与论证 [例 3 ]设 A、 为抛物线 y B
2

? 2 px 上的点,且 ?AOB ? 90 ? (O 为原点),则直线 AB 必过的定点坐标为_ .

【解题思路】由特殊入手,先探求定点位置
?y ? kx 2p 2p [解析]设直线 OA 方程为 y ? kx ,由 ? 2 解出 A 点坐标为 ( 2 , ) k k ? y ? 2 px

1 ? k ( x ? 2 pk 2 ) ?y ? ? x 解出 B 点坐标为 (2 pk 2 ,?2 pk ) ,直线 AB 方程为 y ? 2 pk ? ? ,令 y ? 0 得 k ? 1? k2 2 ? y ? 2 px ?

x ? 2 p ,直线 AB 必过的定点 (2 p, 0)

【名师指引】 (1)由于是填空题,可取两特殊直线 AB, 求交点即可; (2)B 点坐标可由 A 点坐标 用?
1 换 k 而得。 k

变式: 6. 若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,则实数 a ? [解析]-1

7.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、B,若 A、B 在抛物线准线上的射影为 A1 , B1 ,则
?A1 FB1 ? (



A. 45 ?

B. 60 ?

C. 90 ?

D.

120 ?

[解析]C

基础巩固训练 1.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于
9

a 2 ? 2a ? 4(a ? R) ,则这样的直线

( C. 1 条或 2 条 D. 不存在



A. 有且仅有一条 [解析]C

B. 有且仅有两条

| AB |? xA ? xB ? p ? a 2 ? 2a ? 5 ? (a ? 1)2 ? 4 ? 4 ,而通径的长为 4.

2.在平面直角坐标系 xOy 中,若抛物线 x 2 ? 4 y 上的点 P 到该抛物线焦点的距离为 5,则点 P 的纵坐 标为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ( )

[解析] B 利用抛物线的定义,点 P 到准线 y ? ?1 的距离为 5,故点 P 的纵坐标为 4. 3.两个正数 a、b 的等差中项是 标为
1 A. (0, ? ) 4 9 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则抛物线 y 2 ? (b ? a ) x 的焦点坐 2 1 B. (0, ) 4

1 C. ( ? , 0) 2

1 D. ( ? , 0) 4

(

)

[解析] D. a ? 5, b ? 4, b ? a ? ?1 4. 如果 P1 , P2 ,?, P8 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的点,它们的横坐标依次为 x1 , x2 ,?, x8 ,F 是抛物 线的焦点, x1 , x2 ,?, xn (n ? N ? ) 成等差数列且 x1 ? x2 ? ? ? x9 ? 45 , | P5 F | = 若 则 A.5 [解析]B B.6 C. 7 D.9 ( )

根据抛物线的定义, 可知 PF ? xi ? i

p ( 2, n) ? ? xi ? 1 i ? 1 , ??, , x1 , x2 ,?, xn (n ? N ? ) 2

成等差数列且 x1 ? x2 ? ? ? x9 ? 45 , x5 ? 5 , | P5 F | =6 5.抛物线 y 2 ? 4 x的焦点为F , 准线为 l,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60°的直线与抛物 线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AB⊥l,垂足为 B,则四边形 ABEF 的面积等于 A. 3 3 B. 4 3 C. 6 3 D. 8 3 ( )

[解析] C. 过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H, A(m, n) , AF ? AB ? m ? 1, FH ? OH ? OF ? m ? 1 , 设 则
1 SABEF= [2 ? (3 ? 1)] ? 2 3 ? 6 3 2 ??? ? FA 6.设 O 是坐标原点, 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, 是抛物线上的一点, 与 x 轴正向的夹角为 60? , A F ??? ? 则 OA 为 .
? m ? 1 ? 2(m ? 1) ? m ? 3, n ? 2 3

[解析] 21 .
? A(3,2 3 )

过 A 作 AD ? x 轴于 D,令 FD ? m ,则 FA ? 2m 即 2 ? m ? 2m ,解得 m ? 2 .
?OA ? 32 ? (2 3 ) 2 ? 21

综合提高训练 7.在抛物线 y ? 4 x 2 上求一点,使该点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离为最短,求该点的坐标 [解析]解法 1:设抛物线上的点 P( x,4 x 2 ) ,点 P 到直线的距离
10

1 | 4( x ? ) 2 ? 4 | | 4x ? 4x ? 5 | 4 17 2 d? , ? ? 17 17 17
2

当且仅当 x ?

1 1 时取等号,故所求的点为 , ( 1 ) 2 2

解法 2:当平行于直线 y ? 4 x ? 5 且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求,设该直线方程为
y ? 4 x ? b 代入抛物线方程得 4 x 2 ? 4 x ? b ? 0 由 ? ? 16 ? 16b ? 0 得 b ? ?1, x ?

1 1 ,故所求的点为 , ( 1 ) 2 2

8. 已知抛物线 C : y ? ax 2 ( a 为非零常数)的焦点为 F ,点 P 为抛物线 c 上一个动点,过点 P 且与 抛物线 c 相切的直线记为 l . (1)求 F 的坐标; (2)当点 P 在何处时,点 F 到直线 l 的距离最小? 解: (1)抛物线方程为 x 2 ?
1 y a

故焦点 F 的坐标为 (0,

1 ) 4a

2 (2)设 P( x0 , y 0 ) 则 y 0 ? ax0

? y' ? 2ax, ? 在P点处抛物线(二次函数)的切线的斜率 k ? 2ax0
2 直线 l 的方程是 y ? ax0 ? 2ax0 ( x ? x0 ) 2 即 2ax0 x -y ? ax0 ? 0

0? ?d ?

1 2 ? ax0 4a

(2ax0 ) 2 ? (?1) 2

?

1 4a

4a 2 x0 ? 1 ?
2

1 . 4a

当且仅当 x0 ? 0 时上式取“=” 此时P的坐标是(0,0)

?当P在(0,0) 处时,焦点F到切线L的距离最小.

9. 设抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点.点 C 在抛 物线的准线上,且 BC∥X 轴.证明直线 AC 经过原点 O.
?p ? 证明:因为抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F ? , 0 ? ,所以经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 ?2 ?

x ? my ?

p ,代人抛物线方程得 2

y 2 ? 2 pmy ? p 2 ? 0 .
y1 y2 ? ? p 2 .

若记 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 y1 , y 2 是该方程的两个根,所以 因为 BC∥X 轴,且点 C 在准线 x ? ? 故直线 CO 的斜率为 k ?

p ? p ? 上,所以点 C 的坐标为 ? ? , y2 ? , 2 ? 2 ?

y2 2 p y1 ? ? . 即 k 也是直线 OA 的斜率,所以直线 AC 经过原点 O. p y1 x1 ? 2

10.椭圆

x2 y2 9 ? 2 ? 1 上有一点 M(-4, )在抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)的准线 l 上,抛物线的焦点也 2 5 a b
11

是椭圆焦点.(1)求椭圆方程; (2)若点 N 在抛物线上,过 N 作准线 l 的垂线,垂足为 Q 距离,求|MN|+|NQ|的最小值.
2 2 解: (1)∵ x 2 ? y 2 ? 1 上的点 M 在抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)的准线 l 上,抛物线的焦点也是椭圆焦点.

a

b

∴c=-4,p=8??①
16 81 ? ? 1 ??② 2 a 25b 2

9 ∵M(-4, )在椭圆上 5



∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ??③
x2 y2 ? ?1 25 9

∴由①②③解得:a=5、b=3 由 p=8 得抛物线为 y 2 ? 16 x 由椭圆定义得|NQ|=|NF|

∴椭圆为

设椭圆焦点为 F(4,0) , ∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|

9 41 = (?4 ? 4) 2 ? ( ? 0) 2 ? ,即为所求的最小值. 5 5

11.已知抛物线 C 的一个焦点为 F( 1 ,0) ,对应于这个焦点的准线方程为 x=- 1 .
2 2

(1)写出抛物线 C 的方程; (2)过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,O 点为坐标原点,求△AOB 重心 G 的轨迹方程; (3)点 P 是抛物线 C 上的动点,过点 P 作圆(x-3)2+y2=2 的切线,切点分别是 M,N.当 P 点在 何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值. 解: (1)抛物线方程为:y2=2x. (2)①当直线不垂直于 x 轴时,设方程为 y=k(x- 1 ),代入 y2=2x,
2

(4 分)

得:k2x2-(k2+2)x+ k

2

4

?0.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2),则 x1+x2= k

2

?2 k2

,y1+y2=k(x1+x2-1)= 2 .
k

设△AOB 的重心为

? 0 ? x1 ? x 2 k 2 ? 2 ? ?x ? ? 3 3k 2 ? G(x,y)则 ? 0 ? y1 ? y 2 2 y? ? ? 3 3k ?

,消去 k 得 y2= 2 x ? 2 为所求, 分) (6
3 9

②当直线垂直于 x 轴时,A( 1 ,1) ,B( 1 ,-1) ,
2 2

(8 分)

△AOB 的重心 G( 1 ,0)也满足上述方程.综合①②得,所求的轨迹方程为 y2= 2 x ? 2 , 分) (9
3 3 9
12

(3)设已知圆的圆心为 Q(3,0) ,半径 r= 根据圆的性质有:|MN|=2

2

, . (11 分)

| MP | | MQ | | PQ | 2 ?r 2 2 ? 2r ? 2 2 ? 1? 2 | PQ | | PQ | | PQ | 2

当|PQ|2 最小时,|MN|取最小值,

设 P 点坐标为(x0,y0),则 y 02 =2x0. ∴当 x0=2,y0=±2 时,|PQ|2 取最小值 5,
2 30 5

|PQ|2=(x0-3)2+ y 02 = x 02 -4x0+9=(x0-2)2+5,

故当 P 点坐标为(2,±2)时,|MN|取最小值

.

抛物线专题练习 1.如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为 A. (1, 0) B. (2, 0) C. (3, 0) D. (-1, 0) 2.圆心在抛物线 y 2=2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 A x2+ y 2-x-2 y 1 =0 4



A )



D )
1 =0 4

B x2+ y 2+x-2 y +1=0

C x2+ y 2-x-2 y +1=0 D x2+ y 2-x-2 y + (

3.抛物线 y ? x 2 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短的点的坐标是 A. (1,1)
1 1 B. , ) ( 2 4 3 9 C. ( , ) 2 4

A )

D. (2,4) B )

4.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 1m,则水面宽为( A. 6 m B. 2 6 m C.4.5m D.9m (

5.平面内过点 A(-2,0) ,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 A. y 2=-2x B. y 2=-4x C.y 2=-8x D.y 2=-16x

C



6.抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是 6,则抛物线的方程 是 A. y 2=-2x B. y 2=-4x C. y 2=2x D. y 2=-4x 或 y 2=-36x ( B )

7.过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那么|AB|= A.8 B.10 C.6 D.4 ( A ) )

8.把与抛物线 y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量 a ? (2,?3) 平移,所得的曲线的方程是 ( C A ( y ? 3) 2 ? ?4( x ? 2) B ( y ? 3) 2 ? ?4( x ? 2) C ( y ? 3) 2 ? ?4( x ? 2) D ( y ? 3) 2 ? ?4( x ? 2) ( C

9.过点 M(2,4)作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条



10. 过抛物线 y =ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 两点, Q 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、 q,则
1 1 ? 等于 p q

A.2a

B.

1 2a

C.4a

D.

4 a

( 2

C

) .

11.抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若 AB 的长为 4 3 ,则焦点到 AB 的距离为
13

12.抛物线 y =2x2 的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是 x ?

k . 4

13.P 是抛物线 y 2=4x 上一动点,以 P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经过一个 定点 Q,点 Q 的坐标是 (1,0) .

x2 y2 14.抛物线的焦点为椭圆 ? ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 y 2 ? ?4 5 x . 9 4

15.已知动圆 M 与直线 y =2 相切,且与定圆 C: x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. [解析]:设动圆圆心为 M(x,y) ,半径为 r,则由题意可得 M 到 C(0,-3)的距离与到直线 y=3 的距离相等,由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以 C(0,-3)为焦点,以 y=3 为准线 的一条抛物线,其方程为 x 2 ? ?12 y .

16.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于 5, 求抛物线的方程和 m 的值. [解析]:设抛物线方程为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) ,则焦点 F( ?
p ,由题意可得 ,0 ) 2

?m 2 ? 6 p ? ? m 解之得 ?m ? 2 6 或 ?m ? ?2 6 , 故所求的抛物线方程为 x 2 ? ?8 y , 的值为? 2 6 ? ? 2 p 2 ?p ? 4 ?p ? 4 ? m ? (3 ? ) ? 5 2 ?

17.动直线 y =a,与抛物线 y 2 ? 轨迹的方程.

1 x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 (0,3a) ,求线段 AB 中点 M 的 2

?x ? a2 y2 [解析]: M 设 (x, , ( 2a ,a ) 又 B (0,3a) 得 ? y) A , 消去 a , 得轨迹方程为 x ? , y2 ? 4x 即 4 ? y ? 2a
2

18.如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM|= 当的坐标系,求曲线段 C 的方程. [解析]:如图建立坐标系,以 l1 为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴,点 O 为坐标原点.由题意可知: 曲线 C 是以点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段,其中 A、B 分别为 C 的端点.设曲线 段 C 的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0), ( x A ? x ? xB , y ? 0) ,
14

,|AN|=3,且|BN|=6.建立适

其中 x A , xB 分别为 A、 的横坐标,p ? MN . 所以 M (? B 得
p ( x A ? ) 2 ? 2 pxA ? 17 2

p p ,0), N ( ,0) . 由 AM ? 17 ,AN ? 3 2 2



p ( x A ? ) 2 ? 2 pxA ? 9 2

②联立①②解得 x A ?

4 .将其代入①式 p

?p ? 4 ?p ? 2 ?p ? 2 p 并由 p>0 解得 ? ,或 ? .因为△AMN 为锐角三角形,所以 ? x A ,故舍去 ? . 2 ?xA ? 1 ?xA ? 2 ?xA ? 2

∴ p=4 , x A ? 1 . 由 点 B 在 曲 线 段 C 上 , 得
y 2 ? 8 x(1 ? x ? 4, y ? 0) .

xB ? BN ?

p ?4 2

.综上得曲线段 C 的方程为

19.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) .过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两 点 A、B, | AB |? 2 p . (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求 Rt?NAB 面积的最大值. [解析]: (Ⅰ) 直线 l 的方程为 y ? x ? a , y ? x ? a代入y 2 ? 2 px ,得 将
x 2 ? 2(a ? p) x ? a 2 ? 0 . 设

?4(a ? p) 2 ? 4a 2 ? 0, 直线 l 与抛物线两个不同交点的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 ? x ? x ? 2(a ? p), ? 1 2 ? x1 x2 ? a 2 . ?



y1 ? x1 ? a, y 2 ? x2 ? a ,

∴ | AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p( p ? 2a) . ∵ 0 ?| AB |? 2 p, 8 p( p ? 2a) ? 0 , ∴ 0 ? 8 p ( p ? 2a ) ? 2 p . 解得
? p p ?a?? . 2 4

(Ⅱ)设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q,令坐标为 ( x3 , y3 ) ,则由中点坐标公式,得
x3 ? x1 ? x 2 ? a ? p, 2

y3 ?

y1 ? y 2 ( x1 ? a) ? ( x2 ? a) ? ? p. 2 2



| QM | 2 ? (a ? p ? a) 2 ? ( p ? 0) 2 ? 2 p 2 .
1 2

又 ?MNQ 为等腰直角三角形,
2 2 p?2p p | AB | ? 2 2

∴ | QN |?| QM |? 2 p ,

∴ S ?NAB ? | AB | ? | QN | ?

? 2 p2

即 ?NAB 面积最大值为 2 p 2 .
天 · 星 o 天

15

· 星 o

m

m


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