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人教A版高中数学必修5精品教案

时间:2015-03-09





教学说明................................................................................................................................. 1 第一章 解三角形 .............................................................................................................. 4

概 述 ............................................................................................................................. 4 1.1 正弦定理和余弦定理 .......................................................................................... 6 1.1.1 正弦定理 ............................................................................................................. 6 教案 A ................................................................................................................ 6 教案 B .............................................................................................................. 10 1.1.2 余弦定理 ........................................................................................................... 15 教案 A .............................................................................................................. 15 教案 B .............................................................................................................. 19 1.2 应用举例 ............................................................................ 错误!未定义书签。 教案 A .............................................................................. 错误!未定义书签。 教案 B .............................................................................. 错误!未定义书签。 第一章测试题 ............................................................................. 错误!未定义书签。

第二章

数列 ..................................................................................... 错误!未定义书签。

概 述 ........................................................................................... 错误!未定义书签。 2.1 数列的概念及简单表示方法 ............................................ 错误!未定义书签。 教案 A .............................................................................. 错误!未定义书签。 教案 B .............................................................................. 错误!未定义书签。 2.2 等差数列 ............................................................................ 错误!未定义书签。 教案 A .............................................................................. 错误!未定义书签。 教案 B .............................................................................. 错误!未定义书签。 2.3 等差数列的前 n 项和 ........................................................ 错误!未定义书签。 教案 A .............................................................................. 错误!未定义书签。 教案 B .............................................................................. 错误!未定义书签。 2.4 等比数列 ............................................................................ 错误!未定义书签。 教案 A .............................................................................. 错误!未定义书签。 教案 B .............................................................................. 错误!未定义书签。 2.5 等比数列的前 n 项和 ........................................................ 错误!未定义书签。 教案 A .............................................................................. 错误!未定义书签。 教案 B .............................................................................. 错误!未定义书签。 数列复习小结 ............................................................................. 错误!未定义书签。 1

第二章测试题 ............................................................................. 错误!未定义书签。

第三章

不等式 ................................................................................. 错误!未定义书签。

概述 ............................................................................................. 错误!未定义书签。 3.1 不等关系与不等式 ............................................................ 错误!未定义书签。 教案 A .............................................................................. 错误!未定义书签。 教案 B .............................................................................. 错误!未定义书签。 3.2 一元二次不等式及其解法 ................................................ 错误!未定义书签。 教案 A .............................................................................. 错误!未定义书签。 教案 B .............................................................................. 错误!未定义书签。 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 ............ 错误!未定义书签。 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ............................... 错误!未定义书签。 教案 A .............................................................................. 错误!未定义书签。 教案 B .............................................................................. 错误!未定义书签。 3.3.2 简单的线性规划问题 ....................................................... 错误!未定义书签。 教案 A .............................................................................. 错误!未定义书签。 教案 B .............................................................................. 错误!未定义书签。 a?b 3.4 基本不等式: ab ? ............................................... 错误!未定义书签。 2 教案 A .............................................................................. 错误!未定义书签。 教案 B .............................................................................. 错误!未定义书签。 第三章测试题 ............................................................................. 错误!未定义书签。

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人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修

教学说明
本模块包括“解三角形” 、 “数列” 、 “不等式”三章内容,全书约需 36 课时,具体 课时分配如下: 第一章 解三角形 约 8 课时 第二章 数列 约 12 课时 第三章 不等式 约 16 课时 “解三角形”的主要内容是介绍三角形的正、余弦定理,及其简单应用,旨在通过 对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的 三角形度量问题以及能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何 计算有关的实际问题. “数列”的主要内容是数列的概念与表示,等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和.数列作为一种特殊的函数, 是反映自然规律的基本数学模型.教科书通过对日常生 活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,力求使学生在探 索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛 应用,并利用它们解决一些实际问题. “不等式”这一章通过大量现实世界和日常生活中的具体实例引入不等关系,帮助 学生理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值,进而引导学生结合一些实际问 题探索求解一元二次不等式的基本方法,用二元一次不等式组表示平面区域,以及解决 一些简单的二元线性规划问题的方法,最后引导学生讨论了基本不等式及其简单应用. 教学中的几点建议 1.关注数学情境的建立,重视反映数学的应用价值 要关注数学情境的建立,充分挖掘现实世界和实际生活中有关数学实例, “解三角 形” 、 “数列”和“不等式”三章内容有着丰富的实际背景,除了教科书中的实例还有很 多很好的相关的素材,教学过程中应该充分给予挖掘,力求问题的引入能够反映一定的 生活背景,激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值. 在第一章“解三角形”中,引言就是从一个测量问题引入,在解三角形的过程中不 断与一些实际测量问题相联系, 如怎样在航行的途中测出海上两个岛屿之间的距离?怎 样测量底部不可到达的建筑物的高度?怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的 海拔高度?怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?等等. 第二章“数列”应自始至终贯彻“数列作为一种特殊函数,是反映自然规律的基本 数学模型” 的思想, 创造性地发掘日常生活中的实际问题, 深入探讨教科书中大量实例, 如存款利息、出租车收费、校园网问题、希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、放射性物 质的衰变、诺贝尔奖金发放金额问题、商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房 中的数学等等.使学生充分感受到数列是反映现实生活的数学模型,体会数学是来源于 现实生活,并应用于现实生活的. 第三章 “不等式” 可从日常生活中经常用到的“长与短、 ” “大与小” 、 “多与少” 、 “远 与近”等实际情境中引入不等关系,如通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式 1

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的有关概念,从中认识到学习不等关系及不等式的必要性;从银行贷款中的资金分配问 题中引入二元一次不等式组的数学模型;从现实生产、生活中,经常遇到的资源利用、 人力调配、生产安排等问题中引入二元线性规划问题.再如,结合北京召开的第 24 届国 际数学家大会的会标,联系我国古代数学家赵爽的弦图,紧紧抓住弦图中相关面积间存 在的数量关系引入不等式 a ? b ? 2ab .
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2.重视各部分内容之间的联系 数学各部分的内容构成一个有机的整体,教师应充分注意这一点,并在教学中力求 体现这种联系.例如,在第一章中,对于正弦定理和余弦定理,应注意它们与已经学习 的关于三角形的定性研究的结论的联系.余弦定理的证明使用了向量的方法,不仅使定 理的证明简洁而明快,而且也能够体现向量及其运算的作用.第二章则应有意识地关注 数列与函数的关系,强调数列作为一种特殊函数的意义,有条件的话也可注意联系算法 和微积分思想,揭示“离散”和“连续”之间的关系.第三章则强调不等式与函数、方 程的关系, 在一元二次不等式的解法和简单的线性规划问题中, 始终注意数与形的联系, 通过对不等式、函数与方程关系的理解来解决所面临的不等式的问题.另外,在各章习 题、探究性问题和阅读材料安排中也应注意各部分内容的联系. 3.重视基本数学思想方法的教学 要重视基本的数学思想方法的教学,如函数的思想,优化的思想,以及类比、归纳 等合情推理的方法.如第一章“解三角形”对于正弦定理和余弦定理的研究,都是从对 于初中数学中对于三角形的定性研究进一步深化为定量研究的角度去展开的, 其中蕴含 着函数思想.正弦定理的证明从直角三角形的情形出发, 体现从特殊到一般的归纳过程, 从一定程度上也反映了类比的思想.第二章不仅贯彻数列是特殊函数的观点,而且不断 在等差数列和等比数列之间进行类比,从求 1+2+3+?+100 的高斯算法出发,将这种规 律性推广到一般等差数列, 从而获得一般等差数列的求和思路, 这又是归纳的生动案例. 在第三章中,对于二元一次不等式与“平面区域”的关系,体现了从特殊到一般的归纳 思想,线性规划的内容则突出体现了优化的思想. 同时,在教学中要有意识地体现“数形结合”的思想,如三角形解的个数问题、数 列与相应函数的联系、 不等式表示的几何意义, 特别是线性规划, 从问题的提出到解决, 都直接依赖于“平面区域”. 4.适当使用现代信息技术 现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深 刻的影响,高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合(如把算法融入到 数学课程的各个相关部分) , 整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质.教学中应充 分地考虑现代信息技术的教育价值,并在相部分内容中适当体现,教科书在第二章和第 三章,分别设计了“信息技术应用”专题,介绍 2 的近似计算和利用 Excel 解决线性 规划问题等,鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现.具体来说,在解三角形 的过程中可以利用计算器简化一些繁杂的计算,在数列一章的学习中,可以利用相关的 2

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计算机软件来探索规律, 在不等式一章中可以利用图形计算器或有关计算机软件来寻求 不等式的解,可以用 Excel 来解简单的线性规划问题. 5.要充分展现数学文化 数学是人类文化的重要组成部分,是人类社会进步的产物,也是推动社会发展的动 力.数学不仅具有重要的科学价值,同时还具有丰富的人文价值,本模块教材为我们提 供了许多可供展现数学文化的素材,天文地理、数学名著、考古发现、趣闻轶事. . . . . . , 无一不散发出浓厚的文化气息, 教师要挖掘教材中的人文因素, 既注重数学的科学价值, 也不忽视对数学人文精神的提升,有意识地建设数学课堂文化,充实学生人文内涵,利 用教师人格魅力,提升学生人文品位. 如在“等差数列”复习课中,我们可以引用如下数学史料: ①今有金鉴,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重两斤.问次一尺各重几何? ②今有五人分五钱,令上二人与下三人相等,问各得几何? ③今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何? ④今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫.问织几何? 以上四题出自我国古代数学名著《九章算术》 (1 世纪)和《张丘建算经》 (5 世纪) 中,学生在理解题意后可通过等差数列的通项公式、前 n 项和公式便捷获解.我们在教 学中,要很好地发挥数学科学本身所固有的人文价值功能,挖掘数学中的文化气息,欣 赏数学的美,培养学生的创新个性,在数学新课程理念指导下,大力弘扬人文精神,积 极介绍数学文化,做到科学与人文精神的有机整合.帮助学生“初步了解数学科学与人 类社会之间的相互作用,体会数学科学价值、应用价值、人文价值,开阔视野,寻求数 学进步的历史轨迹,激发对于数学创新原动力的认识,受到优秀文化的熏陶,领会数学 的美学价值,从而提高自身的文化素养和创新意识”.

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第一章 解三角形
概述
在本章中,要求学生在已有知识的基础上,通过对任意三角形的边角关系的探究, 发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系, 并认识到运用它们可以解决一些与 测量和几何计算有关的实际问题. 1. 内容与课程学习目标 本章的中心内容是解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在 解三角形的应用上.通过本章学习,学生应当达到以下学习目标: (1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能 解决一些简单的三角形度量问题. (2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题. 2. 教学要求 (1)基本要求 ①会证明正弦定理、余弦定理. ②能理解正、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用. ③能用正、余弦定理解斜三角形. ④理解用正、余弦定理讨论三角形解的情形. ⑤掌握用正、余弦定理解任意三角形的方法. ⑥通过解三角形在实际中的一些应用,培养学生分析问题、解决问题的能力. ⑦理解三角形的面积公式 S ?

1 ab sin C 并能应用. 2

⑧根据实际条件,利用本章知识完成一个有关测量的实习作业. (2)发展要求 ①了解正、余弦定理与三角形外接圆半径的关系. ②利用正、余弦定理讨论三角形中的边角关系. ③条件允许的情况下,可多做几个实习作业,以培养学生应用知识解决实际问题的 能力. (3)说明 ①可以利用计算机进行近似计算,但不要求太复杂繁琐的运算. ②不必增加在立体几何情况下求解三角形的问题,可在立体几何学习时适当拓展. ③应用问题应限制在正、余弦定理的简单应用上. ④实习作业不要求太复杂的问题. 3. 教学内容及课时安排建议 4

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1.1 正弦定理和余弦定理(约 2 课时) 1.1.1 正弦定理 1.1.2 余弦定理 1.2 应用举例(约 3 课时) 4. 评价建议 (1)要在本章的教学中,应该根据教学实际,启发学生不断提出问题,研究问题. 在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中,应该因势利导,根据具体教学过程中 学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明.如对于正弦定理, 可以启发得 到有应用向量方法的证明, 对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法.在应用 两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中, 一个问题也常常有多种不同的解决 方案,应该鼓励学生提出自己的解决办法,并对于不同的方法进行必要的分析和比较. 对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序, 得到在实际中可以直接应 用的算法. (2)适当安排一些实习作业,目的是让学生进一步巩固所学的知识,提高学生分 析问题和解决实际问题的能力、 动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结 果和能力,增强学生应用数学的意识和数学实践能力.教师要注意对于学生实习作业的 指导,包括对于实际测量问题的选择,及时纠正实际操作中的错误,解决测量中出现的 一些问题.

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1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理
教案 A
教学目标 一、知识与技能 1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证明方法; 2. 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 二、过程与方法 从已有的几何知识出发, 共同探究在任意三角形中, 边与其对角的关系, 通过观察、 推导、比较、由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作. 三、情感、态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 培养学生合情推理探索 数学规律的数学思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系 来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 教学重点和难点 教学重点:正弦定理的内容、正弦定理的证明及基本应用. 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学关键:熟练掌握正弦定理的应用. 教学突破方法: 1. 抓住学生情感的兴奋点,激发他们的兴趣,鼓励学生大胆猜想、积极探索,以 及及时地鼓励,使他们知难而进.另外,抓知识选择的切入点,从学生原有的认知水平 和所需的知识特点入手,教师在学生主体下给予适当的提示和指导. 2. 抓住学生的能力线,联系方法与技能使学生较易证明正弦定理,另外通过例题 和练习来突破难点. 教法与学法导航 教学方法: 采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生独立自 主和合作交流为前提,以“正弦定理的发现”为基本探究内容,以生活实际为参照对象, 让学生的思维由问题开始,到猜想的得出、猜想的探究、定理的推导,并逐步得到深化. 学习方法 指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法,采取个人、小组、 集体等多种解难释疑的尝试活动, 将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究.让学 生在问题情景中学习、观察、类比、思考、探究、概括、动手尝试相结合,体现学生的 6

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主体地位,增强学生由特殊到一般的数学思维能力. 教学准备 教师准备:投影仪、几何画板. 学生准备:直尺、三角板. 教学过程 一、创设情境,导入新课 本节课由一个实际问题引入, “工人师傅的一个三 角形的模型坏了, 只剩下如右图所示的部分, ∠ A=47° , ∠B=53° ,AB 长为 1m,想修好这个零件,但他不知道 AC 和 BC 的长度是多少而无法截料,你能帮师傅这个 忙吗?” 设计意图:激发学生帮助别人的热情和学习的兴 趣,从而进入今天的学习课题. 图1 二、主题探究,合作交流 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨在直角三角形中,角与 边的等式关系.如图 2,在 Rt△ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中 正弦函数的定义,

a ? sin A , c b ? sin B , c a b ? ? c. 所以 sin A sin B 又因为 sin C ? 1 ,所以 a b c ? ? . sin A sin B sin C

图2

思考 1 那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 3,当△ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的 高是 CD,根据三角函数的定义, CD ? a sin B , CD ? b sin A , a sin B ? bsin A , 所以 得到

a b ? . sin A sin B b c ? . sin B sin C
图3

同理,在△ABC 中,

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从而

a b c ? ? . sin A sin B sin C

思考 2 还有其方法吗? 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这问题. 如图 4,过点 A 作单位向量 j ? AC ,由向量的加法可得 AB ? AC ? CB 则 j ? AB ? j ?(AC ? CB ). ∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB , 即 j AB cos?90?? A? ?0 ? j CB cos?90??C ? , A j 图4 C

B

a c ∴ c sin A ? a sin C ,即 . ? sin A sin C
同理,过点 C 作 j ? BC ,可得

a b c b c ? ? ,从而 . ? sin B sin C sin A sin B sin C 当△ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立(由学生课后自己推导). 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 a b c ? ? sin A sin B sin C
定理说明 (1)正弦定理说明在同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同 一正数,即存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2)

a b c ? ? 等价于 sin A sin B sin C a b b c a c ? ? ? , , . sin A sin B sin B sin C sin A sin C

思考:正弦定理的基本作用是什么? ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?

b sin A ; sin B

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如

sin A ?

a sin B . b

一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形. 三、拓展创新,应用提高 例 1 在△ABC 中,已知 A=32.0°,B=81.8° , a ? 42.9 cm,解三角形. 8

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解:根据三角形内角和定理, C=180° -(A+B)=180° -(32.0° +81.8° )=66.2° ; 根据正弦定理, b ? 根据正弦定理,

asin B 42.9sin81.8? ? ?80.1(cm) ; sin A sin32.0?

asinC 42.9sin66.2? ? ? 74.1(cm) sin A sin32.0? 注:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器. 例 2 在△ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm,A=40°,解三角形(角度精确到 1°, 边长精确到 1cm). 解:根据正弦定理, c? bsin A 28sin40? ? ? 0.89999 , a 20 因为 0°< B <180°,所以 B≈64°,或 B≈116°. (1) 当 B≈64°时, C =180? ? ( A ? B) ? 180? ? (40? ? 64?)=76? , sin B ?

c=

a sin C 20sin76? = ?30 (cm) . sin A sin40?

(2)当 B≈116°时, C =180? ? ( A ? B) ? 180? ? (40? ? 116?)=24? ,

c=

a sin C 20sin24? = ? 13 (cm) . sin A sin40?

注:已知两边和其中一边的对角解三角形时,要注意可能有两解的情形. 课堂练习 第 4 页练习第 1、2 题. 补充练习 已知在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,求 a:b:c. (答案:2:3:4) 四、小结 1. 定理的表示形式:

a b c a ?b ? c ? ? ? =k (k ?0) ; sin A sin B sin C sin A?sin B ?sin C 或 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC (k ? 0).
2. 正弦定理的应用范围 (1)已知两角和任一边,求其它两边及一角; (2)已知两边和其中一边对角,求另一边的对角. 五、课堂作业 第 10 页习题 1.1 A 组第 1,2 题.

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教案 B
教学目标 一、知识与技能 通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会 运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 二、过程与方法 从已有的几何知识出发, 共同探究在任意三角形中, 边与其对角的关系, 通过观察、 推导、比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作. 教学重点和难点 教学重点:正弦定理的探索、证明及其基本应用. 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 学法与教学用具 学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系:

a b c ? ? ,接着 sin A sin B sin C

就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定 理进行推导,让学生发现向量知识的简捷新颖. 教学用具:直尺、计算器. 教学过程 一、创设情景 我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能够 得到这个边、角关系准确量化的表示呢? 在△ABC 中,?A、?B、?C 所对的边分别为 BC、AC、AB,它们的长分别为 a、b、 c,这节课我们研究 ?A、?B、?C、 a、b、c 之间有怎样的数量关系? 二、探索研究 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨在直角三角形中,角与 边的等式关系.如图 1,在 Rt△ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中 正弦函数的定义,

a b = sinA , = sinB , c c

a b ? ? c. sin A sin B 又因为 sin C ? 1 ,所以 a b c ? ? . sin A sin B sin C
所以 10

图1

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立(由学生讨论、分析)

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三、验证猜想

c a b ? ? 是否成立?举出特例. sin A sin B sin C 1. 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 分别为 60 ? , 60 ? , 60 ? ,对应的边长 a:b:c
我们先通过特殊例子检验 为 1:1:1,对应角的正弦值分别为

a b 3 3 3 , , ,引导学生考察 、 、 sin A sin B 2 2 2

c 之间的关系(学生回答它们相等). sin C
2. 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 分别为 45 ? , 45 ? , 90 ? ,对应的边长 a:b:c 为 1:1: 2 ,对应角的正弦值分别为

2 2 , ,1.(学生回答它们相等) 2 2

3. 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 分别为 30 ? , 60 ? , 90 ? ,对应的边长 a:b:c 为 1: 3 :2,对应角的正弦值分别为 那么任意三角形是否有

1 3 , ,1.(学生回答它们相等) 2 2

a b c ? ? 呢?学生按事先安排的分组互动, 每 sin A sin B sin C a b 组画一个三角形, 度量出三边和三个角度数值, 通过实验数据计算, 比较 、 、 sin A sin B c a b c 的近似值.然后, 借助多媒体演示随着三角形任意变换, 、 、 值 sin C sin A sin B sin C
仍然保持相等. 我们猜想:

a b c = = . sin A sin B sin C

四、得出定理 师生活动:我们虽然经历了数学实验,多媒体技术支持,对任意的三角形,如何用 数学的思想方法证明

a b c ? ? 呢?前面探索过程对我们有没有启发?学 sin A sin B sin C

生分组讨论,每组派一个代表总结(以下证明过程,根据学生回答情况进行叙述). 学生:思考得出 1. 在 Rt?ABC 中,成立,如前面检验. 2. 当△ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据三角函数的定义, CD ? a sin B , CD ? b sin A , 所以

asin B ?bsin A ,

图2 11

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a b ? sin A sin B 同理,在△ABC 中,
得到

b c . ? sin B sin C a b c . ? ? sin A sin B sin C 3. 在钝角三角形中(如图 3) ,设 ? C 为钝角, BC ? a , CA ? b , AB ? c 作 AD ? BC 交 BC 的延长线于 D . A AD 在 Rt?ADB 中, sin B ? ,
从而

AB ? AD ? AB sin B ? c sin B .

AD , AC ? AD ? AC sin ?ACD ? b sin ?ACB . ? c sin B ? b sin ?ACB . B D C c b ? ? . 图3 sin ?ACB sin B a c a b c ? ? ? 用锐角三角形证明可知 . ? . sin A sin C sin A sin B sin ?ACB
在 Rt ?ADC 中, sin ?ACD ? 总结:我们把这条性质称为正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的 比相等,即

a b c ? ? . sin A sin B sin C
教师:大家还有其他的证明方法吗? 4. 外接圆法

a b c ? ? ? c , c 恰为外接接圆的直 sin A sin B sin C O 为圆心, 径, 即 c ? k ? 2R , 所以作 ?ABC 的外接圆 O , 连接 BO 并延长交圆 O 于 B ' ,
在前面的检验中, Rt?ABC 中, 把一般三角形转化为直角三角形. 证明:连续 BO 并延长交圆于 B ' , ??B ' AB ? 90? , ?B ' ? ?C . 在 Rt?B ' AB 中,

B'
O

C

AB ? B?B , sin B '
A

?

AB AB ? ? B ' B ? 2R , sin B ' sin C

B
图4

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c ? 2R . sin C a b ? 2R , ? 2R . 同理可证: sin A sin B a b c ? ? ? ? 2R . sin A sin B sin C a b c ? ? ? 2 R ,显示正弦定理的比值 教师:从刚才的证明过程中, sin A sin B sin C 等于三角形外接圆的直径 2 R .
即 5. 用向量积来证明正弦定理 在锐角三角形 ?ABC 中, AB ? BC ? AC ,作单位向量 j 垂直于 AC ,

AC? j ? AB? j ? BC? j ,
即 0 ? c cos(90? ? A) ? a cos(90? ? C ) ,

j B

? c sin A ? a sin C ? 0 . c a ? ? . sin C sin A b a ? 同理: . sin B sin A a b c ? ? ? . sin A sin B sin C

j A
图5

j C

从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a b c ? ? . sin A sin B sin C 一般地,把三角形的三个角 A 、B 、C 和它们的对边 a 、b 、c 叫做三角形的元素,
已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做解三角形. 五、例题分析 例 1 在 ?ABC 中,已知 A=32.0? , B ? 81.8? , a ? 42.9 cm,解三角形. 解:根据三角形内角和定理,

C =180? ? ( A ? B) ? 180? ? (32.0? ? ?????)=66.2? ;
根据正弦定理,

asin B 42.9sin81.8? ? ?80.1(cm) ; sin A sin32.0? 根据正弦定理, b?

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asinC 42.9sin66.2? ? ? 74.1(cm) sin A sin32.0? 注:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器. c?

a?b?c . sin A ? sin B ? sin C a b c ? ? ?k, 分析:可通过设一参数 k ( k ? 0) 使 sin A sin B sin C a b c a?b?c ? ? ? 证明出 . sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C a b c ? ? ? k (k ? 0) , 解:设 sin A sin B sin C 则有 a ? k sin A , b=ksinB , c=ksinC . a?b?c ksinA+ksinB+ksinC k 从而 = = . sin A+sin B+sin C sin A ? sin B ? sin C
例 2 已知在 ? ABC 中, ? A ? 600 , a ?

3 ,求

又因为

a a?b?c 3 = =2. ? 2 ? k ,所以 sin60 ? sin A sin A ? sin B ? sin C

评述:在△ABC 中,等式

a b c a ?b ? c ? ? ? ? k (k ? 0) sin A sin B sinC sin A? sin B ? sinC

恒成立. 六、随堂练习 1. 第 4 页练习第 1(1) 、2(1)题.

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1.1.2 余弦定理
教案 A
教学目标 一、知识与技能 1. 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法; 2. 会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 二、过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论, 并通过实践演算掌握运用余弦定理解决 两类基本的解三角形问题. 三、情感、态度与价值观 培养学生的探索精神和创新意识;在运用余弦定理的过程中,让学生逐步养成实事 求是、扎实严谨的科学态度,学习用数学的思维方式解决问题、认识世界;通过本节的 运用实践,体会数学的科学价值、应用价值. 教学重点和难点 教学重点:运用余弦定理探求任意三角形的边角关系,解决与之有关的计算问题, 运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题. 教学难点: 用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形 时的思路. 教学关键:熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题 教学突破方法:采用“问题教学法”,精心设计教学内容,提出探究性问题,经过 启发、引导,从不同的途径让学生自己去分析、探索. 教法与学法导航 教学方法: 根据“情境—问题”教学模式,沿着“设置情境—提出问题—解决问题—反思应用” 这条主线,把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点,以“问题”为红线组织 教学,形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境—问题”学习链,使学生 真正成为提出问题和解决问题的主体,成为知识的“发现者”和“创造者”,使教学过 程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程. 学习方法: 首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从 已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题, 利用向量的数量积比 较容易地证明了余弦定理.从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三 角形的角. 15

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教学准备 教师准备:三角板、计算器、多媒体. 学生准备:三角板、计算器. 教学过程 一、创设情境,导入新课 1. 在 Rt△ ABC 中(若 C=90?)有: c ? a ? b ,在斜三角形中一边的平方与其余
2 2 2

两边平方和及其夹角还有什么关系呢? 2. 如图 1,在△ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c.已知 a,b 和 ? C,求边 c . C b A c 图1 二、主题探究,合作交流 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题?用正弦定理试求,发 现因 ? A、 ? B 均未知,所以较难求边 c.由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研 究这个问题. 如图 2 ,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 a B

c ? a ? b ,则

c ? c ?c ? ? a ? b ?? a ? b ? ? a ?a ? b ?b ? 2a ?b 2 2 ? a ? b ? 2a ?b.
2

图2

从而 同理可证

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC . a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B .

于是得到余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边 与它们的夹角的余弦的积的两倍.即

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ,
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a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B .
思考: 这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量, 可以求出第四个量, 能否由三边求出一角? (由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:

cos A?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 b2 ? a 2 ? c 2 , cos B ? , cosC ? . 2bc 2ac 2ba

定理说明 从而余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角. 思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般 三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系? 若在△ABC 中,C= 90 ? ,则 cos C ? 0 ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 . 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. 三、拓展创新,应用提高 例 1 在△ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 45? ,求 b 及 A. 解:根据余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , = (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3 ?( 6 ? 2) cos 45 ? = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) =8 . ∴ b ? 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理. 解法一:∵cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? (2 3)2 1 ? ? , 2bc 2 2? 2 2 ?( 6 ? 2)

∴ A ? 60?.

a 2 3 3 ?sin450 = , 解法二:∵sin A ? sin B ? b 2 2 2
又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ? 3.8,

2 3 < 2?1.8 ? 3.6,
17

人教 A 版高中数学必修 5 精品教案
∴ a < c ,即 0? < A < 90?, ∴ A ? 60?. 评述:解法二应考虑确定 A 的取值范围. 例 2 在△ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ? 87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形. 解:由余弦定理的推论得: cos A?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc c 2 ? a 2 ? b2 2ca

?

87.82 ?161.72 ?134.62 ≈0.554 3, 2?87.8?161.7 134.62 ?161.72 ?87.82 ≈0.839 8, 2?134.6?161.7

则 A≈56°20′; cos B ?

?

则 B≈32°53′; 由三角形内角和定理得:

C ?180?? ( A? B) ?180?? (56?20? ? 32?53?)
=90°47′. 即时练习:第 8 页练习第 1(1)、2(1)题. 补充练习:在△ABC 中,若 a ? b ? c ? bc ,求角 A(答案:A=120 0 ).
2 2 2

1. 在△ABC 中,bcosA=acosB,则三角形为 ( ). A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. D. 等边三角形 2 2 2 2.在△ABC 中,若 a >b +c ,则△ABC 为 ;若 a2=b2+c2,则△ABC 为 ;若 a2<b2+c2 且 b2<a2+c2 且 c2<a2+b2,则△ABC 为 . 3. 在△ABC 中,sinA=2cosBsinC,则三角形为 . 4. 在△ABC 中,BC=3,AB=2,且

sin C 2 ? ( 6 ? 1) ,A= sin B 5

.

参考答案: 1.C 2.钝角三角形, 直角三角形, 锐角三角形 3.等腰三角形 4.120° 四、小结 1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; 2. 余弦定理的应用范围: (1)已知三边求三角; (2)已知两边及它们的夹角,求第三边. 五、课堂作业 课后阅读:第 8 页“探究与发现”. 课时作业:第 10 页习题 1.1 A 组第 3、4 题.

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教案 B
教学目标 一、知识与技能 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决 两类基本的解三角形问题. 二、过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决 两类基本的解三角形问题, 教学重点和难点 教学重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 教学难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用. 学法与教学用具 学法:首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究 如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题, 利用向量的数 量积比较容易地证明了余弦定理.从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边 确定三角形的角. 教学用具:直尺、计算器. 教学过程 一、创设情景 思考:如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法, 这个三角形是大小、形状完全确定的三角形. 我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹 角计算出三角形的另一边和另两个角的问题. 二、探索研究 先考虑怎样计算出三角形第三条边的长,这就要研究如何利用已知的两条边及其夹 角来表示第三条边的问题. 如果已经知道三角形的两边长 BC=a,AC=b,边 BC 和边 AC 所夹的角是 C,我们 要设法找出一个已知的 a,b 和 C 与第三边 c 之间的一个关系式,或用已知的 a,b 和 C 表示第三边 c 的一个公式. 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题?用正弦定理试求,发 现因 A、B 均未知,所以较难求边 c.由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这 个问题. 推导: 如图 1 在△ABC 中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b . C b A a c 图1 B 19

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∵ AC ? AB ? BC , ∴ AC?AC ? ( AB ? BC)?( AB ? BC)

? AB ? 2 AB?BC ? BC
2

2

2

? AB ? 2| AB|?| BC|cos(180 ? B) ? BC
? c 2 ? 2accos B ? a 2 . 即 b2 ? c 2 ? a 2 ? 2accos B .

2

同理可证 a ? b ? c ? 2bc cos A , c ? a ? b ? 2ab cosC .
2 2 2 2 2 2

于是得到余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边 与它们的夹角的余弦的积的两倍.即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC .
思考: 这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量, 可以求出第四个量, 能否由三边求出一角呢? (由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:

cos A?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 b2 ? a 2 ? c 2 , cos B ? , cosC ? . 2bc 2ac 2ba

三、例题分析 例 1 在 ? ABC 中,已知 b=60cm,c=34cm,A=41°,解三角形(角度精确到 1°, 边长精确到 1cm). 解:根据余弦定理,

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2b cos A ? 602 ? 342 ? 2 ? 60 ? 34 ? cos41?
≈3 600+1 156-4 080× 0.754 7 ≈1 676.82. 所以 a=41cm 由正弦定理得:

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sin C ? c sin A 34 ? sin 41? 34 ? 0.656 ? ? ≈0.5440. a 41 41

因为 c 不是三角形中最大的边,所以 C 是锐角,利用计算器可得 C≈33°. 由三角形内角和定理得 B=180°-(A+C)≈180°-(41°+33°)=106°. 例 2 在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ? 87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形. 分析:已知三角形的三边求角,明显用余弦定理. 解:由余弦定理的推论得: cos A?

b2 ? c2 ? a2 87.82 ?161.72 ?134.62 ? 0.5543, ? 2bc 2?87.8?161.7 A ? 56?20? ;

c2 ? a2 ?b2 134.62 ?161.72 ?87.82 ? 0.8398, ? 2ca 2?134.6?161.7 B ? 32?53? ;
cos B ?

C ?180?? ( A? B) ?180?? (56?20? ? 32?53?)
? 90?47?. 例 3 在△ABC 中,已知 a=22cm,b=25cm,A=1330,解三角形.
分析:先由 sin B ?

a sin C bsin A 可进一步求出 B;则 C ?180?? ( A? B) ,从而 c ? a A .

简答:无解(详解见教材第 8、9 页). 评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且 bsin A ? a ? b 时,有两解;其它情况时则只有一解或无解. 例 4 在 ? ABC 中,已知 a=7,b=5,c=3,判断△ABC 的类型.
2 2 2 解: 7 2 ? 52 ? 32 ,即 a ? b ? c ,cos A?

b2 ? c 2 ? a 2 <0,角 A 为钝角. 2bc

所以△ABC 是钝角三角形. 四、随堂练习 1. 第 8 页练习第 1、2 题. 2. 在△ABC 中,若 a ? b ? c ? bc ,求角 A(答案:A=120°) .
2 2 2

五、课堂小结 1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; 2. 余弦定理的应用范围:①已知三边求三角;②已知两边及它们的夹角,求第三 边. 六、课时作业 第 10 页习题 1.1A 组第 3、4 题. 21

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