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浙江省金华十校2015届高三下学期高考模拟(4月)数学(理)试题

时间:2015-05-19


金华十校 2015 年高考模拟考试

数学(理科)试题卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 设集合 S={x∈N|0<x<6},T={4,5,6},则 S A.{1,2,3,4,5,6} C.{4,5} B.{1,2,3} D.{4,5,6} )
2 正视图 3 4 侧视图

T ?(



4

2. 若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为( A.80 B.40 C.

80 3

D.

40 3

俯视图

(第 2 题图)

3. 若 m、n 是两条不同的直线, ?、 ?、 ?是三个不同的平面, 则下列命题中为真命题的是 ( A.若 m??,?⊥?,则 m⊥? B.若?∩?=m,? ∩?=n,m∥n,则?∥? C.若 m⊥?,m∥?,则?⊥? D.若?⊥?,?⊥?,则?∥? 4. 已知函数 f(x)=loga(2x+b?1)的部分图像如右图所示,则 a, b 所 满足的关系为( A.0<b <a<1
?1



y

O ?1

1

x

) B.0<a <b<1
?1

C.0<b<a?1<1 D.0<a?1 <b?1 <1 5. 已知 a, b∈R,下列四个条件中,使“a>b”成立的必要而不充分的条件是( ) a b A.a>b?1 B.a>b+1 C.| a |>| b | D.2 >2 S S S S 6. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 S19>0, S20 <0, 则 1 , 2 , 3 , , 91 中最大项为 ( a1 a2 a3 a19 S S S S A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 a11 a8 a9 a10

(第 4 题图)



x2 y 2 7. 已知 F1、 F2 为双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 的左、 右焦点, P 为双曲线 C 右支上一点, 且 PF2 ⊥F1F2 , a b
PF 1 与 y 轴交于点 Q,点 M 满足 F1M ? 3MF2 .若 MQ⊥PF1 , 则双曲线 C 的离心率为( A.
2



B.

3

C.

2? 3 2

D.

2? 6 2

8. 设函数 f ( x) ?

a2 ? a sin x ?2 ( x∈R)的最大值为 M ? a ? ,最小值为 m ? a ? ,则( a2 ? a cos x ? 2 A.? a∈R, M ? a ? ? m ? a ? ? 1 B.? a∈R, M ? a ? ? m ? a ? ? 2
C.? a0∈R, M ? a0 ? ? m ? a0 ? ? 1
1



D.? a0 ∈R, M ? a0 ? ? m ? a0 ? ? 2

二、填空题:本大题有 7 小题, 9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分.把答案填在答题卷 的相应位置. 9. 函数 f(x)=lg(9?x )的定义域为 __ 3f(2)+f(1) = . 则 a= ,若 l1∥l2,则 l1 与 l2 的距离为
2

,单调递增区间为__
y
1

__,

10.已知直线 l1:ax+2y+6=0,l2:x+(a?1)y+a2 ?1=0,若 l1⊥l2 , .
?

? 11.设?>0,函数 y ? sin(? x ? ? ) (?? ? ? ? ?) 的图象向左平移 个 3 单位后,得到右边的图像,则? = ,? = .

? 6

O

? 3

x

?1

(第 11 题图)

? x ≥1 ? 12.已知实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 1 ≤0 ,若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则 m 的 ?x ? y ≤ m ?

取值范围为

,如果目标函数 Z=2x?y 的最小值为?1,则实数 m=
A



13.如右图,在四面体 ABCD 中,AB ⊥平面 BCD,△BCD 是边长为 6 的等边三角形.若 AB=4,则四面体 ABCD 外接球的表面积为 14.Rt△ABC 的三个顶点都在给定的抛物线 y =2px(p>0)上,且斜边 AB∥y 轴,则斜边上的高|CD|= .
2



B

D

15.已知点 A(1,?1),B (4,0),C(2,2).平面区域 D 由所有满足

AP ? ? AB ? ? AC (1≤?≤a,1≤?≤b)的点 P(x, y)组成的区
域.若区域 D 的面积为 8,则 a+b 的最小值为 .

C (第 13 题图)

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 15 分) 在△ABC 中, a , b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边长,已知 2 sin A ? 3cos A . (Ⅰ)若 a 2 ? c2 ? b2 ? mbc ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,求△ABC 面积的最大值.

2

17. (本题满分 15 分) 如图, 三棱锥 P -ABC 中, E,D 分别是棱 BC, AC 的中点, PB =PC=AB=4, AC=8,BC= 4 3 , PA = 2 6 . (Ⅰ)求证:BC⊥平面 PED; (Ⅱ)求平面 PED 与平面 PAB 所成的锐二面角的余弦值.
P

A

E D B

C

18. (本题满分 15 分) 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,其中 a1=1,且 (Ⅰ)求常数?的值,并写出{an}的通项公式; (Ⅱ)记 bn ?
3 1 an ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若对任意的 n ≥ k (k∈N*),都有 Tn ? ? , n 4 4n 3 Sn ? ? an ?1 ( n∈N*). an

求常数 k 的最小值.

3

19. (本题满分 15 分) x2 y 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 的左顶点为 A(?3,0), 左焦点恰为圆 x2 +2x+y2+m=0(m∈R)的圆心 M. a b (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 A 且与圆 M 相切于点 B 的直线,交椭圆 C 于点 P,P 与椭圆 C 右焦点的连线交椭 圆于 Q,若三点 B,M,Q 共线,求实数 m 的值.
y

P B

A

M

x

Q

20. (本题满分 14 分) 2 巳知二次函数 f(x)=ax +bx+c (a>0, b, c∈R). 设集合 A={x∈R| f(x)=x}, B={x∈R| f(f(x))= f(x)} , C={x∈R| f(f(x))=0} . (Ⅰ)当 a=2,A={2}时,求集合 B ; ?1? (Ⅱ)若 f ? ? ? 0 ,试判断集合 C 中的元素个数,并说明理由. ?a?

4

金华十校 2015 年高考模拟考试

数学(理科)卷评分标准与参考答案
一、选择题(5×8=40 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 B 5 A 6 C 7 D 8 A

二、填空题(9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分) 9.(?3,3),(?3,0),3; 10.

2 6 5 , ; 5 3

2? ; 3 13.64?; 三. 解答题(74 分)
11.2,

12.m>2,4; 14.2p 15.4

16.解:(Ⅰ)由 2 sin A ? 3cos A 两边平方得: 2sin 2 A ? 3cos A , 即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 ,解得: cos A ? 而 a 2 ? c2 ? b2 ? mbc 可以变形为 即 cos A ?

1 . ???????????? 2

4分

b2 ? c 2 ? a 2 m ? , 2bc 2
??????????????????? 7分 9分 12 分 15 分

m 1 ? ,所以 m=1 . 2 2

3 b2 ? c 2 ? a 2 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? ,则 sin A ? ,又 ? , ??????? 2 2 2bc 2
bc ?a 所以 bc ? b 2 ? c 2 ? a 2 ≥ 2
2

即 bc ≤ a 2 .

?????????????

故 S ?ABC ?

bc a2 3 3 3 sin A ≤ ? ? . 2 2 2 4

???????????????

17.解: (Ⅰ)∵AC=8,BC= 4 3 ,AB=4,由勾股定理可得 AB ⊥BC, 又∵E, D 分别是棱 BC, AD 的中点,∴DE∥AB ,∴DE⊥BC. ???????? 又已知 PB=PC,且 D 是棱 BC 的中点, ∴PD⊥BC, ∴BC⊥平面 PED. ????????? 7分 (Ⅱ)法一:在△PAC 中, ∵AC=8,PC=4, PA= 2 6 , 由余弦定理可得 cos ? PCA= 又∵E 是 AC 的中点,
5 G B

3分 5分

??????????
P

7 , 8

A

E F D

C

由余弦定理可求得 PE=2, ???? 10 分 易求得 PD=DE=2,∴△PDE 是等边三角形,取 DE 中点 F, 过点 F 作 BD 的平行线交 AB 于点 G,连接 PF,PG,则 PF⊥ED,PG⊥AB , ∵DE∥AB,设平面 PED 与平面 PAB 的交线为 l,则有 DE∥AB∥l, ∵PF ⊥DE,GF⊥DE,∴DE ⊥平面 PFG, l⊥平面 PFG, 则 ? FPG 就是平面 PED 与平面 PAB 所成的锐二面角的平面角. ?????? 因为 PF= 3 ,FG=BD=2 3 ,且 PF ? FG,∴PG= 15 ,∴cos ? FPG= 故平面 PED 与平面 PAB 所成的锐二面角的余弦值为 13 分
PF 5 . ? PG 5

5 . ????????? 5

15 分

法二:以 D 为坐标原点,分别以射线 DC,DE 为 x,y 轴正半轴,如图建立空间直角坐标系. 则 B (?2 3, 0, 0) ,C (2 3, 0, 0) , E(0,2,0), A (?2 3, 4, 0) ,设点 P(0, y, z), ??????
2 2 ? ?12 ? y ? z ? 16 由 PC=4, PA = 2 6 可得方程组 ? , 2 2 ? ?12 ? ( y ? 4) ? z ? 24

9分

P

z

? ?y ?1 解得: ? ,即点 P (0,1, 3 ) , ??? 11 分 y ? ?z ? 3 设平面 PAB 的法向量为 n=(x1, y1, z1), A E ∵ BA =(0,4,0), BP =(2 3 ,1, 3 ), F D ? x1 ? 1 4 y ? 0 ? ? ? 1 ∴? ,可得一组解为: ? y1 ? 0 , B ? ?z = ? 2 ?2 3x1 ? y1 ? 3z1 ? 0 ? 1 即 n=(1,0,?2) . 而平面 PED 的法向量为 m=(1,0,0), ?????????? 5 ∴cos<n, m>= . 5 5 ∴平面 PED 与平面 PAB 所成的锐二面角的余弦值为 . ????????? 5 S 1 1 18.解:(Ⅰ)由已知 a1 ? 1 及 n ? ? an ?1 得: a2 ? , a3 ? 1 ? , an ? ?
又∵{an }是等差数列,∴ ∴a2=2,d=1,an=n. 另解:设公差为 d ,由 即:

C

x

13 分

15 分

2

?

?2?

1 ,即 ? = , ??????????? ? 2 ????????????????????
1

3分 5分

Sn n(n ? 1)d ? ? an ?1 得: n ? ? ? ?1 ? (n ? 1)d ??1 ? nd ? an 2

d 2 d n ? (1 ? ) n ? ? d 2 n2 ? ?(2 d ? d2) n ? (1 ? d ) ? 2 2

? ?(1 ? d )? ? 0 ? ?d ? 1 ?d ? 2 ∴ ? ? ?d 解得: ? 1 ,∴an=n. ?? ?2 ? ? 2 ? d 1 ? ? ? (2d ? d 2 ) ? ? 2
6

????????????

5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an=n,∴ bn ?

n . 3n


1 2 3 Tn ? ? 2 ? 3 ? 3 3 3

?

n 3n

1 1 2 3 n ?1 n ② Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? n?1 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 n ①?②得: Tn ? ? 2 ? 3 ? ? n ? n?1 . 3 3 3 3 3 3 3? 1? n 3 2n ? 3 ? ? ∴ Tn ? ?1 ? n ? ? . 4 ? 3 ? 2 ? 3n 4 4 ? 3n 3 3 ?2 n 1 n(2n ? 3) ? 要使 Tn ? ? ,即 ?1 4 4 ?3 n 4 n 3n
记 dn ?

????????????

10 分

n(2n ? 3) (n ?1)(2 n ?5) ,则 dn?1 ? . n 3 3n?1

?4n2 ? 2n ? 5 ? 0 ,∴ dn?1 ? dn . 3n?1 5 14 又 d1 ? ? 1, d2 ? ? 1, d3 ? 1,∴当 n ≥ 4 时,恒有 d n ? 1 . 3 9 3 1 故存在 k min =4 时,对任意的 n ≥ k ,都有 Tn ? ? 成立.???????? 15 分 4 4n
∵ dn?1 ? dn ? 19.解:(Ⅰ)圆 M 方程化为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ? m ,可得 M ? ?1,0 ? ,∴c=1.又∵顶点为 A(?3,0) , ∴a=3.故椭圆 C 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 . ??????????????? 9 8

5分

(Ⅱ)设 AP 方程为 x ? ty ? 3(t ? 0) ,代入 8x2 ? 9 y 2 ? 72 ? 0 ,得 (8t 2 ? 9) y 2 ? 48ty ? 0 , 解得 yA ? 0, yP ?

24t 2 ? 27 48t ,从而 . ????????? x ? ty ? 3 ? p p 8t 2 ? 9 8t 2 ? 9 4t 2 ? 9 y ? 1 ,代入 8x2 ? 9 y 2 ? 72 ? 0 , 12t

8分

又右焦点坐标(1,0),所以 PQ 方程为 x ? 得

(8t 2 ? 9)(2t 2 ? 9) 2 16t 2 ? 36 y ? y ? 64 ? 0 , 18t 2 3t ?64 18t 2 ?24t 所以 yP yQ ? 2 ,得 yQ ? 2 , 2 (8t ? 9)(2t ? 9) 2t ? 9
从而 xQ ?

4t 2 ? 9 27 ? 6t 2 . ??????????????????? yQ ? 1 ? 2 12t 2t ? 9

11 分

由 B,M,Q 三点共线,知 MQ ? AP ,故 kMQ kAP ? ?1 , 即

?6t 1 ? ?1 ,解得, t ? ? 3 . ??????????????????? 9 ? t2 t
7

14 分

所以 AP 方程为 x ? ? 3 y ? 3 . 故圆心 M 到 AP 的距离为 1,即圆半径为 1 ? m ? 1 ,从而 m=0. ?????? 15 分 20. 解:(Ⅰ)由 a=2,A={2},得方程 f(x)=x 有且只有一根 2,∴ ?

b ?1 ?2 , 2a 即 b ? 1 ? 4a ? ?7 .?????????????????????????? 由 A={2}可得,方程 f(f(x))= f(x)等价于方程 f(x)=2 ①,而 2 是方程①的根, b 3 ? 3? 由韦达定理可得方程①的另一根为 ? ? 2 ? ,故集合 B = ?2, ? .????? a 2 ? 2?
?1? (Ⅱ)法一:由 f ? ? ? 0 及 a>0,得方程 f(x)=0 有两个不等的实根,记为 x1 , x2 , ?a?

3分

6分

1 ? x2 .从而可设 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) , a a ? x ? x2 ? ? ? ( x2 ? x1 ) 2 . ???????????????? ∴ f ( x)min ? f ? 1 ? 4 ? 2 ?
且有 x1 ? 由 x1 ?

8分

1 1 ? x2 ,得 x2 ? x1 ? ? x1 ? 0 ,又 a>0, a a
a a?1 a?1 ? ? ? ? ( x2 ? x1 )2 ? ? ? ? x1 ? ? ? ? ? x1 ? ? x1 ≤ x1 , 4 4?a 4?a ? ?
2 2

∴ f ( x)min

∴方程 f ( x) ? x1 也有两个不等的实根.????????????????? 另一方面, f ( x)min ? 0 ?

11 分 13 分

1 ? x2 ,∴方程 f ( x) ? x2 也有两个不等的实根.?? a

由 x1 , x2 是方程 f(x)=0 的两个不等实根,知方程 f(f(x))=0 等价于 f ( x) ? x1 或 f ( x) ? x2 . 另外,由于 x1 ? x2 ,可知方程 f ( x) ? x1 与 f ( x) ? x2 不会有相同的实根. 综上,集合 C 中的元素有 4 个. ???????????????????? (注:没有说“方程 f ( x) ? x1 与 f ( x) ? x2 不会有相同的实根”扣 1 分) 法二:先考虑方程 f(x)=0,即 ax2+bx+c=0. ?1? 由 f ? ? ? 0 及 a ? 0 ,得1 ? b ? ac ? 0 ,得 ?a? 14 分

△? b2 ? 4ac ? b2 ? 4b ? 4 ? (b ? 2)2 ≥ 0 ,所以,方程 f ( x) ? 0 有两个不等的实根,
?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac , x2 ? . ??????? 2a 2a

记为 x1,x2,其中 x1 ?

8分

由 x1 ,x2 是方程 f(x)=0 的两个不等实根,知方程 f(f(x))=0 等价于方程 f(x)= x1 或 f(x)= x2.
8

考虑方程 f(x)= x1 的判别式

△1 ? b2 ? 4ac ? 4x1 ? b2 ? 4ac ? 2b ? 2 b2 ? 4ac ? ( b2 ? 4ac ? 1)2 ? 2b ? 1 。

1 当 ?2b ? 1 ? 0 ,即 b ? ? 时,显然有 △1 ? 0 ; 2 1 当 ?2b ? 1 ≤ 0 ,即 b ? ? 时,由1 ? b ? ac ? 0 ,得 2 3 b2 ? 4ac ? b2 ? 4b ? 4 ? b ? 2 ≥ ? 1 2
所以, △1 ?

?

b2 ? 4ac ? 1 ? 2b ? 1? (b? 2? 1) 2? 2 b? 1 ? b 2 ≥ 0 ;

?

2

总之,无论 b 取何值,都有 △1 ? 0 ,从而方程 f ( x) ? x1 有 2 个不等的实根.?? 11 分 考虑方程 f ( x) ? x2 的判别式 △2 ? b2 ? 4ac ? 4x2 ? b2 ? 4ac ? 2b ? 2 b2 ? 4ac . 由1 ? b ? ac ? 0 ,得 b2 ? 4ac ? b2 ? 4b ? 4 ?| b ? 2 |≥ 0 , 从而有 △2≥ b2 ? 4ac ? 2b ?b 2 ? 4 b ? 4? 2b ? (b ? 1) 2? 0 , 所以,方程 f ( x) ? x2 也有 2 个不等的实根.??????????????? 另外,由于 x1 ? x2 ,可知方程 f ( x) ? x1 与 f ( x) ? x2 不会有相同的实根. 综上,集合 C 中的元素有 4 个.???????????????????? (注:没有说“方程 f ( x) ? x1 与 f ( x) ? x2 不会有相同的实根”扣 1 分) 14 分 13 分

9


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