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【数学】2011高考二轮复习数学学案(8)三角函数

时间:2011-04-19


基本初等函数Ⅱ 三角函数) 基本初等函数Ⅱ(三角函数)
【学法导航】 三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分,新教材处理这一部分内容时有明显的 降调倾向,突出正、余弦函数的主体地位,加强了对三角函数的图象与性质的考查,因此三 角函数的性质是本章复习的重点。 第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上, 要注重抓基 本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握,力求系统化、条理化和网络化,使 之形成比较完整的知识体系;第二、三轮复习以基本综合检测题为载体,综合试题在形式上 要贴近高考试题,但不能上难度。当然,这一部分知识最可能出现的是“结合实际,利用少 许的三角变换 (尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用) 来考查三角函数性质”的 命题,因此,建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上,这样就能够适应未来 高考命题趋势。总之,三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力 方法技巧: 1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系,用三角函数的定义反 复证明强化记忆,这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立,记忆方 法可概括为“奇变偶不变,符号看象限” ,变与不变是相对于对偶关系的函数而言的 2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中, 显得十分重要, 根据三角函数 的,可简记为“一全正,二正弦,三两切,四余弦” ,其含义是:在第一象限各三角函数值 皆为正;在第二象限正弦值为正;在第三象限正余切值为正;在第四象限余弦值为正 3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时,要注意用是否“同角” 来区分和选用公式,注意切化弦、 “1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用,在利用诱 导公式进行三角式的化简、求值时,要注意正负号的选取 4.求三角函数值域的常用方法: 求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有 如下方法: (1)将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域; (2)利用 sin x, cos x 的有界性求值域; (3)换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不 注意等价性 5. 三角函数的图象与性质 (一)列表综合三个三角函数 y = sin x , y = cos x , y = tan x 的图象与性质,并挖掘: ⑴最值的情况; ⑵了解周期函数和最小正周期的意义.会求 y = A sin(ω x + ? ) 的周期,或者经过简单的恒 等变形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况; ............. ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心;

y = sin x 的对称轴是 x = kπ +

π
2

(k ∈ Z ) ,对称中心是 (kπ , 0) (k ∈ Z ) ;

y = cos x 的对称轴是 x = kπ (k ∈ Z ) ,对称中心是 (kπ +
y = tan x 的对称中心是 ( kπ , 0)(k ∈ Z ) 2

π
2

, 0) (k ∈ Z )

第 1 页 共 10 页

注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意 ω > 0 . (二)了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数

y = A sin(ω x + ? ) 的简图,并能由图象写出解析式.
⑴“五点法”作图的列表方式; ⑵求解析式 y = A sin(ω x + ? ) 时处相 ? 的确定方法:代(最高、低)点法、公式 x1 = ? (三)正弦型函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图象变换方法如下: 先平移后伸缩

? . ω

→ y = sin x 的图象 ??????? 平移 ? 个单位长度
得 y = sin( x + ? ) 的图象 ?????????→ 1
到原来的 (纵坐标不变 ) 横坐标伸长(0<ω <1)或缩短(ω >1)

向左(? >0)或向右(? <0)

ω

→ 得 y = sin(ω x + ? ) 的图象 ????????? 为原来的A倍( 横坐标不变 )
→ 得 y = A sin(ω x + ? ) 的图象 ??????? 平移 k 个单位长度
得 y = A sin( x + ? ) + k 的图象. 先伸缩后平移
向上( k > 0) 或向下( k < 0)

纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)

→ y = sin x 的图象 ????????? 为原来的A倍(横坐标不变)

纵坐标伸长 ( A>1) 或缩短 (0 < A<1)

→ 得 y = A sin x 的图象 ????????? 1
到原来的 (纵坐标不变 )

横坐标伸长 (0 <ω <1)或缩短 (ω >1)

ω

得 y = A sin(ω x) 的图象

向左(? > 0)或向右 (? < 0) ??????? → ? 平移

ω

个单位

→ 得 y = A sin x(ω x + ? ) 的图象 ??????? 得 y = A sin(ω x + ? ) + k 的图象. 平移 k 个单位长度
【专题综合】 专题综合】
例 1.已知 tan θ = 值.

向上( k >0)或向下( k <0)

2 ,求(1)

cos θ + sin θ 2 2 ; (2) sin θ ? sin θ . cos θ + 2 cos θ 的 cos θ ? sin θ

sin θ cos θ + sin θ cos θ = 1 + tan θ = 1 + 2 = ?3 ? 2 2 ; 解: (1) = sin θ 1 ? tan θ 1 ? 2 cos θ + sin θ 1? cos θ sin 2 θ ? sin θ cos θ + 2 cos 2 θ 2 2 (2) sin θ ? sin θ cos θ + 2 cos θ = sin 2 θ + cos 2 θ 1+

第 2 页 共 10 页

sin 2 θ sin θ ? +2 2 2? 2 +2 4? 2 = = = cos θ 2 cos θ . sin θ 2 +1 3 +1 cos 2 θ
说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化, 就会使解题过程简化 例 2.已知向量 a = (2 cos α,2 sin α ),b = ( ? sin α, α ),x = a + (t 2 ? 3)b, cos

r

r

r

r

r

r r r r r y = ? ka + b ,且 x ? y = 0 ,
(1)求函数 k = f (t ) 的表达式;

, (2)若 t ∈ [ ?1 3] ,求 f (t ) 的最大值与最小值
解:(1) a = 4 , b = 1 , a ? b = 0 ,又 x ? y = 0 , 所以 x ? y = [ a + (t 2 ? 3)b ] ? ( ? ka + b ) = ? ka 2 + (t 2 ? 3)b 2 + [t ? k (t 2 ? 3)]a ? b = 0 ,

r2 r

r2

r r

r r

r r

r

r

r

r

r

r r

1 3 3 1 3 t ? t ,即 k = f (t ) = t 3 ? t ; 4 4 4 4 3 2 3 (2)由(1)可得,令 f (t ) 导数 t ? = 0 ,解得 t = ±1 ,列表如下: 4 4
所以 k = t -1 0 极大值 (-1,1) - 递减 1 0 极小值 (1,3) + 递增

f (t ) 导数 f (t ) 1 2

而 f ( ?1) = ,f (1) = ? ,f (3) = , 所以 f (t ) max = ,f (t ) min = ?

1 2

9 2

9 2

1 2

说明:本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察,体现了知识之间的融会贯通。

(2)求 θ 的最值.

, ] 4 4 (1)求向量 OP 和 OQ 的夹角 θ 的余弦用 x 表示的函数 f ( x) ;

例 3. 平面直角坐标系有点 P (1, cos x ), Q (cos x,1), x ∈ [ ?

π π

解: (1)Q OP ? OQ = OP ? OQ ? cos θ ,

∴ cos x + cos x = (1 + cos 2 x) cos θ ∴ cos θ =


2 cos x 1 + cos 2 x
2 cos x 1 + cos 2 x (?

f ( x) =

π
4

≤x≤

π
4

)

第 3 页 共 10 页

(2)∴ cos θ =

2 cos x + 1 cos x

, 又

cos x +

1 3 2 ∈ [2, ], cos x 2 2 2 . 3

∴ cos θ ∈ [

2 2 ,1] , 3

∴θ min = 0 ,

θ max = arccos

说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意 例 4. 设 θ ∈[0,

π
2

], 且 cos2θ+2msinθ-2m-2<0 恒成立, 求 m 的取值范围.

解法 1 由已知 0≤sinθ≤1 且 1-sin2θ+2msinθ-2m-2<0 恒成立. 令 t=sinθ, 则 0≤t≤1 且 1-t2+2mt-2m-2<0 恒成立. 即 f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0 对 t∈[0, 1] 恒成立. 故可讨论如下: (1)若 m<0, 则 f(0)>0. 即 2m+1>0. (2) 若 0 ≤ m ≤ 1, 则 解得 m> ?

1 1 , ∴ ? <m<0; 2 2
亦即 m2-2m-1<0. 解得:

f(m)>0. 即

-m2+2m+1>0.

1 ? 2 <m<1+ 2 , ∴0≤m≤1; (3)若 m>1, 则 f(1)>0. 即 0?m+2>0. 综上所述 m> ? ∴m∈R, ∴m>1.

1 1 . 即 m 的取值范围是 ( ? , +∞). 2 2

解法 2 题中不等式即为 2(1-sinθ)m>-1-sin2θ.∵θ∈[0, 当 sinθ=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 m∈R;

π
2

],

∴0≤sinθ≤1.

1 + sin 2 θ 当 0≤sinθ<1 时, m > ? 恒成立. 2(1 ? sin θ )
1 + (1 ? t )2 t 1 令 t=1-sinθ, 则 t∈(0, 1], 且 m > ? = 1 ? ( + ) 恒成立. 2t 2 t
易证 ∴ m> ?

g(t)=1- ( + ) 在 (0, 1] 上单调递增, 有最大值 -

t 1 2 t

,

1 1 . 即 m 的取值范围是 ( ? , +∞). 2 2

说明:三角函数与不等式综合,注意“恒成立”问题的解决方式 【专题突破】 一、选择题 1.有下列命题: ①终边相同的角的三角函数值相同; ②同名三角函数的值相同的角也相同; ③终边不相同,它们的同名三角函数值一定不相同; ④不相等的角,同名三角函数值也不相同. 其中正确的个数是( )

第 4 页 共 10 页

A.0

B.1

C.2

D.3 )

2.角 α 的终边上有一点 P(a,a) a∈R,a≠0,则 sinα 的值是( ,
2 2 2 2 B.- C. 或- 2 2 2 2 | sin x | cos x | tan x | + + =-1,则角 x 一定不是( ) 3.若 sin x | cos x | tan x

A.

D.1

A.第四象限角 C.第二象限角 4.如果

B.第三象限角 D.第一象限角 )

π π <θ< ,那么下列各式中正确的是( 4 2

A.cosθ<tanθ<sinθ C.tanθ<sinθ<cosθ

B.sinθ<cosθ<tanθ D.cosθ<sinθ<tanθ

5.若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( ) A.第一象限 A.第一象限 C.第二或第三象限 B.第二象限 C.第三象限 B.第四象限 D.第一或第四象限 D.第四象限 6.若 sinαtanα>0,则 α 的终边在( )

7. 若角 α 的终边与直线 y=3x 重合且 sinα<0, P m,) 又 ( n 是角 α 终边上一点, OP|= 10 , 且| 则 m-n 等于( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 8.下列三角函数: ①sin(nπ+
4π π π π ) ;②cos(2nπ+ ) ;③sin(2nπ+ ) ;④cos[ n+1)π- ] (2 ;⑤sin 3 6 3 6
π π ] n∈Z) ( .其中函数值与 sin 的值相同的是( ) 3 3

[ n+1)π- (2 A.①②

B.①③④

C.②③⑤

D.①③⑤

9.若 cos(π+α)=- A.-
6 3

10 π 3π ,且 α∈(- ,0) ,则 tan( +α)的值为( ) 5 2 2

B.

6 3

C.-

6 2

D.

6 2

10.设 A、B、C 是三角形的三个内角,下列关系恒成立的是( ) A.cos(A+B)=cosC C.tan(A+B)=tanC 11.下列函数中,同时满足①在(0, 期的函数是( A.y=tanx ) B.y=cosx C.y=tan
x 2

B.sin(A+B)=sinC D.sin
A+ B C =sin 2 2

π )上是增函数,②为奇函数,③以 π 为最小正周 2

D.y=|sinx|

第 5 页 共 10 页

12.函数 y=2tan(3x- A. (
π ,0) 3

π )的一个对称中心是( 4 π ,0) 6

)
π ,0) 4

B. (

C. (-

D. (-

π ,0) 2

二、填空题 13.若角 α 的终边经过 P(-3,b) ,且 cosα=-
3 ,则 b=_________,sinα=_________. 5

14.若 α 是第三象限角,则 1 ? 2 sin(π ? α ) cos(π ? α ) =_________.

15.tanα=m,则

sin( + 3π) cos( +α α + π ) = sin(? - cos( +α α) π )



16.函数 y=f(x) 的图象右移

π ,横坐标缩小到原来的一半,得到 y=tan2x 的图象, 4

则 y=f(x)解析式是_______________. 三、解答题 , 17.已知角 α 的顶点在原点,始边为 x 轴的非负半轴.若角 α 的终边过点 P(- 3 ,y) 且 sinα=
3 y(y≠0) ,判断角 α 所在的象限,并求 cosα 和 tanα 的值. 4 1 1 1 ; (2)cosα= ; (3)tanα=-1; (4)sinα> . 2 2 2
1 + 2 sin 290° cos 430° . sin 250° + cos 790°

18. 根据下列三角函数值,求作角 α 的终边,然后求角 α 的取值集合. (1)sinα=

19. 化简:

20. 求函数 y=-2tan(3x+

π )的定义域、值域,并指出它的周期、奇偶性和单调性. 3

21. 数 f ( x) = 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2sin 2 x 的最小值为 g ( a ), ∈ R ) (a

(1)求

(2)若 g (a ) =

1 ,求 a 及此时 f ( x ) 的最大值 2
1 + f ( x) 1 ? f ( x)

22. 已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且 f ( x + 2) =

(1)试证 f(x)是周期函数.

(2)若 f(3)= ? 3 ,求 f(2005)的值.

第 6 页 共 10 页

专题突破参考答案 一、选择题 1.B 11.A 2. C 12. C 3.D 4.D 5. D 6. D 7.A 8.C 9.B 10.B

二、填空题 13.±4 ± 三、解答题 17. 解: 依题意, P 到原点 O 的距离为|OP|= (? 3 ) 2 + y 2 , 点 ∴sinα=
y y 3 = y. = r 4 3 + y2
4 5

14.-sinα-cosα

15.

m +1 m ?1

π 16.y=tan(x+ ) 4

∵y≠0,∴9+3y =16.∴y = ∴点 P 在第二或第三象限. 当点 P 在第二象限时,y=

2

2

7 21 ,y=± . 3 3

21 x 3 7 ,cosα= =- ,tanα=- ; 3 r 4 3 1 1 ,则 P 点的纵坐标为 .所以在 y 轴 2 2

18.解: (1)已知角 α 的正弦值,可知 MP= 上取点(0,

1 ) ,过这点作 x 轴的平行线,交单位圆于 P1、P2 两点,则 OP1、OP2 是角 α 的 2
π 5π ,或 α=2kπ+ ,k∈Z} .如下图. 6 6

终边,因而角 α 的取值集合为{α|α=2kπ+
y 5π P6
2

1 (0,-) 2 O

π P 6
1

x

(2)因为 OM=

1 1 ,则在 x 轴上取点( ,0) ,过该点作 x 轴的垂线,交单位圆于 P1、P2 2 2
π ,k∈Z} .如下图. 3

两点,OP1、OP2 是所求角 α 的终边,α 的取值集合为{α|α=2kπ±
y P
1

π 3 M

O

x

P
2

π -3

(3)在单位圆过点 A(1,0)的切线上取 AT=-1,连结 OT,OT 所在直线与单位圆交于

P1 、 P2 两点, OP1 、OP2 是角 α 的终边,则角 α 的取值集合是{ α| α=2kπ+

3π ,或 4

第 7 页 共 10 页

α=2kπ+
3π P4
1

7π 3 ,k∈Z}={α|α=kπ± π,k∈Z} .如下图. 4 4
y

O P
2

A T

x

7π 4

(4)这是一个三角不等式,所求的不是一个确定的角,而是适合条件的角的范围.如 下图,作出正弦值等于
1 1 的角 α 的终边,正弦值大于 的角的终边与单位圆的交点在劣弧 2 2 π <α< 6

P1P2 上,所以所求角的范围如下图中的阴影部分, α 的取值集合是{α|2kπ+
2kπ+
5π ,k∈Z}. 6

当点 P 在第三象限时,y=-
y

21 x 3 7 ,cosα= =- ,tanα= . 3 r 4 3

P
2

P
1

O

x

19. 解:

1 + 2 sin 290° cos 430° sin 250° + cos 790°

=

1 + 2 sin(?70° + 360°) cos(70° + 360°) sin(180° + 70°) + cos(70° + 2 × 360°) 1 ? 2 sin 70° cos 70° cos 70° ? sin 70° (sin 70° ? cos 70°) 2 cos 70° ? sin 70° sin 70° ? cos 70° =-1. cos 70° ? sin 70°
π π kπ π ≠kπ+ ,得 x≠ + (k∈Z) , 3 2 3 18 kπ π π + (k∈Z)},值域为 R,周期为 , 3 18 3

=

=

=

20. 解:由 3x+

∴所求的函数定义域为{x|x≠

它既不是奇函数,也不是偶函数.

第 8 页 共 10 页

kπ-


π π π ≤3x+ ≤kπ+ (k∈Z) , 2 3 2

kπ 5 π kπ π ? ≤x≤ + (k∈Z) . 3 18 3 18 kπ 5 π kπ π , ( ? + ] k∈Z)上是单调减函数. 3 18 3 18
2 2

在区间[

21. 解: f ( x ) = 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2 sin x = 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2(1 ? cos x )

a a2 = 2 cos 2 x ? 2a cos x ? 1 ? 2a = 2(cos x ? ) 2 ? 1 ? 2a ? (a ∈ R) 2 2
(1)函数 f ( x ) 的最小值为 g ( a )

a a a2 1. 当 < ?1时 即a < ?2时 ,由 cos x = ?1得 g (a ) = 2(?1 ? ) 2 ? 1 ? 2a ? = 1 2 2 2

a a a2 2. 当 ? 1 ≤ ≤ 1时 即 ? 2 ≤ a ≤ 2时 , 由 cos x = 得 g (a ) = ?1 ? 2a ? 2 2 2 a a 2 a2 3. 当 > 1时 即a > 2时 , 由cos x = 1 , 得g (a ) = 2(1 ? ) ? 1 ? 2a ? = 1 ? 4a 2 2 2

(a < ?2) ?1 ? a2 ? 综上所述得 g (a ) = ?-1 ? 2a ? (?2 ≤ a ≤ 2) 2 ? ?1 ? 4a (a > 2) ?

(2)

-1-2a ?

a2 1 = 得 a 2 + 4a + 3 = 0 2 2

∴ a = ?1或a = ?3 (舍)
a 2 a2 1 1 将a = ?1代入f ( x) = 2(cos x ? ) ? 1 ? 2a ? 得f ( x) = 2(cos x + )2 + 2 2 2 2

当 cos x = 1 即 x = 2kπ (k ∈ Z )时 得 f ( x) max = 5
22. 解: (1)由 f ( x + 2) =

1 + f ( x) 1 ? f ( x)

,故 f(x+4)=

1 + f ( x + 2) 1 =? 1 ? f ( x + 2) f ( x)

第 9 页 共 10 页

f(x+8)=f(x+4+4)= ?

1 =f(x),即 8 为函数 f ( x) 的周期 f ( x + 4)

(2)由 f(x+4) = ?

1 1 3 ,得 f(5) = ? = f ( x) f (1) 3
3 3

∴f(2005)=f(5+250×8)=f(5)=

第 10 页 共 10 页


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