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高考数学复习点拨 典例看双曲线的渐近线

时间:2017-03-21


典例看双曲线的渐近线
渐近线是双曲线特有的性质,是高考考查的重点,双曲线方程与渐近线关系密切。灵活 运用这种关系再结合基本量之间的关系可以巧妙求解这类问题。 一、已知渐近线求离心率 例 1、双曲线的渐近线方程为 y ? ?

3 x ,则双曲线的离心率为( 4
C、



A、

5 3
解:由于 y ? ?

B、

5 2

5 15 或 2 3

D、

5 5 或 3 4

3 b 3 a 4 b2 x ,所以 ? 或 ? ,又 e 2 ? 1 ? 2 , 4 a 4 b 3 a

所以 e ? 1 ?
2

9 25 16 25 5 5 2 ? ? ,或 e ? 1 ? ,所以 e= 或 ,故答案为 D. 16 16 9 9 3 4

点评:由于渐近线不能确定双曲线的位置,所以已知渐近线方程求离心率要讨论。 二、求渐近线夹角 这类问题要根据双曲线的几何性质及三角函数知识解决。注意数形结合思想的运用。

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线所夹锐角的正切值为( 例 2、双曲线 4 8
A、 2 B、2 2 C、



2 2

D、

2 2 3

解:由双曲线

x2 y2 ? ? 1 知渐近线为: y ? ? 2 x ,设渐近线 y ? 2 x 倾斜角为 ? 4 8

则 tan ? =2,两条渐近线夹角为 2 ? ,所以 tan 2? ?

2 2 ? ?2 2 , 1? 2

又已知所夹的锐角,所以选择 B. 三、已知离心率求渐近线 这类题目主要抓住圆锥曲线中基本量之间关系求解。 例 3、中心在坐标原点,离心率为 ( ) A、 y ? ?

5 的圆锥曲线的焦点在 y 轴上,则它的渐近线方程为 3
C、 y ? ?

5 x 4
2

B、 y ? ?

4 x 5

4 x 3

D、 y ? ?

3 x 4

b 4 a b 2 25 解:由 e ? 1 ? 2 ? ,所以 ? ,又焦点在 y 轴上,所以 y ? ? x a 3 b 9 a
故y??

3 x. 4

点评:抓住基本量 a,b,c、e 之间的关系是求解问题的关键。其中 e=1+ 题的突破口。 四、与渐近线相关的距离问题 例 4、若点 P 在双曲线 x ?
2

b2 是解决本 a2

y2 ? 1 上,则点 P 到双曲线的渐近线的距离的取值范围是 9

_________. 解析:双曲线的一条渐近线方程是 3x-y=0,由渐近线的性质知,当 P 点是双曲线的 一个顶点时,P 到渐近线的距离最大,双曲线的顶点坐标是 (?1,0) ,所以 P 到渐近线的距离

最大值为

|3?0| 10

?

3 10 3 10 ]. . ,所以取值范围是 (0, 10 10

五、已知渐近线夹角求离心率 例 5、 (陕西)已知双曲线 的离心率为( A、 ) B、

? x2 y2 ? ? 1(a ? 2 ) 的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线 2 3 2 a

2 3 3

2 6 3

C、 3

D、2

解:如图,双曲线的渐近线方程为 y ? ?

? 2 x ,若 ?AOB ? , 3 a

则? ?

?
6

, tan? ?

2 3 ,所以 a ? 6 ? 2. ? a 3

又因为 c ? 所以 e ?

a 2 ? b2 ? 6 ? 2 ? 2 2 ,

c 2 2 2 3 ? ? . 故选 A. a 6 3


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