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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积课件 文 北师大版_图文

时间:2016-08-24

5.3

平面向量的数量积

-2-

考纲要求:1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平 面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式, 会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的 夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

-3-

1.两向量的夹角与垂直

(1)夹角:已知两个非零向量a和b,如图,作 =a,=b ,则 ∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角. ①范围:向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°. ②当θ=0°时,a与b同向. ③当θ=180°时,a与b反向. (2)垂直:如果a与b的夹角是90°,则称a与b垂直,记作a⊥b.规定零 向量可与任一向量垂直.

-4-

2.投影的概念:|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影. 3.向量的数量积 (1)定义:已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫 作a与b的数量积(或内积),记作 a· b,即a · b=|a||b|cos θ,由定义可知零 向量与任一向量的数量积为0,即0· a=0. (2)数量积的几何意义:数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上 的射影|b|cos θ的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos θ的 乘积.

-5-

4.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a,b 的夹角. (1)数量积:a· b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2. 2 2 (2)模:|a|= · = 1 + 1 . (3)夹角:cos
· θ=||||

=

1 2 +1 2

2 2 2 2 1 +1 · 2 +2

.

(4)两非零向量 a⊥b 的充要条件:a· b=0?x1x2+y1y2=0. (5)|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成 2 2 2 2 立)?|x1x2+y1y2|≤ 1 + 1 · 2 + 2 .

-6-

5.平面向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a(交换律); (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb)(结合律); (3)a· (b+c)=a· b+a· c(分配律).

-71 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)向量在另一个向量方向上的投影也是向量. ( × ) (2)若a· b>0,则a和b的夹角为锐角;若a· b<0,则a和b的夹角为钝角. ( × ) (3)若a· b=0,则a=0或b=0. ( × ) (4)(a· b)· c=a· (b · c). ( × ) (5)若a· b=a· c(a≠0),则b=c. ( × )

-81 2 3 4 5

2.(2015课标全国Ⅱ,文4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)· a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2

关闭

∵2a+b=(1,0),
又a=(1,-1),
关闭

∴ a=1+0=1. C (2a+b)·
解析 答案

-91 2 3 4 5

3.(2015广东,文9)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是 平行四边形, =(1,-2), =(2,1),则 · =( ) A.5 B.4 C.3 D.2

关闭

= + =(1,-2)+(2,1)=(3,-1), 所以 · =(2,1)· (3,-1)=2×3+ 1×(-1)=5.
关闭

A
解析 答案

-101 2 3 4 5

4.(2015福建,文7)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值 等于( )

A.-

3 2

B.-

5 3

C.

5 3

D.

3 2

关闭

∵a=(1,2),b=(1,1), ∴c=(1+k,2+k). ∵b⊥c,∴b· c= 1+k+2+k=0. 3 A k=- .故选 A. ∴ 2
解析

关闭

答案

-111 2 3 4 5

5.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围 是 .

关闭

由 a· b<0,即 2λ-3<0,解得 λ< .
2

3

由 a∥b,得 6=-λ,即 λ=-6.因此 λ< ,且 λ≠-6. 2 3 (-∞,-6)∪ -6, 2
解析

3

关闭

答案

-121 2 3 4 5

自测点评 1.由于|a||b|cos θ和|b|cos θ都是数量,所以a· b和b在a方向上的投影 都是一个数量,而不是向量. 2.对于两个非零向量a与b,由于当θ=0°时,a· b>0,所以a· b>0是两个 向量a,b夹角为锐角的必要而不充分条件;a· b=0也不能推出a=0或 b=0,因为a· b=0时,有可能a⊥b. 3.在实数运算中,若a,b∈R,则|ab|=|a|· |b|;若a· b=a· c(a≠0),则b=c.但 对于向量a,b却有|a· b|≤|a|· |b|;若a· b=a· c(a≠0),则b=c不一定成立,原 因是a· b=|a||b|cos θ,当cos θ=0时,b与c不一定相等. 4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a· b)· c不一定等于 a· (b · c),这是由于(a· b)· c表示一个与c共线的向量,而a· (b · c)表示一 个与a共线的向量,而c与a不一定共线.

-13考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1平面向量数量积的运算 例1(1)(2015云南统一检测)设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量 a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于( )
7 A.2 3 C. 2 1 B.2 5 D. 2

关闭

a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得 3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则 1 m=- ,
2

所以 a· b=-1× D

1 2

+2×1= .
2

5

关闭

解析

答案

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则 · 的值为 ; · 的最大值为 .
答案:1 1 解析: (方法一)如图,

· =( + )· = · + · = 2 =1, · =( + )· = · + · = · =| |· | |≤| |2=1.

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(方法二 )

以射线 AB,AD 为 x 轴、 y 轴的正方向建立平面直角坐标系 ,则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设 E(t,0),t∈ [0,1],则 =(t,-1), =(0,-1), 所以 · =(t,-1)· (0,-1)=1. 因为 =(1,0),所以 · =(t,-1)· (1,0)=t≤1, 故 · 的最大值为 1.

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(方法三 )

由图知 ,无论 E 点在哪个位置, 在 方向上的投影都是 CB=1, ∴ · =||· 1=1. 当 E 运动到 B 点时 , 在 方向上的投影最大,即为 DC=1,∴ ( · )max=| |· 1=1.

-17考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:求向量数量积的运算有几种形式? 解题心得:1.求两个向量的数量积有三种方法: (1)当易知向量的模和夹角时,利用定义求解,即 a· b=|a||b|cos<a,b>; (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b=x1x2+y1y2. (3)利用数量积的几何意义.数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|cos θ的乘积. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的 加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角 与已知平面角的关系是相等还是互补.

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练1 (1)设向量a,b满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a· b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5

关闭

∵|a+b|= 10,∴(a+b)2= 10. ∴|a|2+|b| 2+2a· b= 10,① ∵|a-b|= 6,∴(a-b)2= 6, ∴|a|2+|b| 2-2a· b=6,② A ①-②得 a· 由 b=1,故选 A.
解析

关闭

答案

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则a· b=( A.2 B.3 C.4 D.5

)

关闭

∵a=(1,2),2a-b=(3,1),∴b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).∴a· b=(1,2)· (1,3)=-1+2×3=5.
D 解析 答案
关闭

-20考点1

2e2,b2=3e1+4e2,则b1· b2 =

π (3)已知两个单位向量e1,e2的夹角为 3 ,若向量b1=e1-

考点2

考点3

知识方法

易错易混

.

关闭

b1=e1- 2e2,b2= 3e1+ 4e2, 2 2 则 b1· b2=(e1-2e 2)· (3e 1+4e 2)=31 -2e1· e2- 82 . π 因为 e1,e2 为单位向量,<e1,e2>= ,
-6 b1· 所以 b2=3-2× -8=3-1-8=-6.
2 1 3

关闭

解析

答案

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点2平面向量的模及应用 例 2(1)在△ABC 中,若∠A=120°, · =-1,则| |的最小值 是( ) A. 2 B.2 C. 6 D.6

关闭

∵ · =-1, ∴||· | |cos 120°=-1,
即 | |· | |=2. ∴| |2=| ? |2= 2 -2 · + 2 ≥2| |· | |-2 · =6,当且仅当 |AB|=|AC|时 ,等号成立 , C | |min= 6. ∴
解析

关闭

答案

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)(2015湖南,文8)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若 点P的坐标为(2,0),则| + + |的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9
关闭

设坐标原点为 O,则 + + = + + + + + =3 + +( + ),由于 AB⊥BC,所以 AC 是圆的直径,因此 + =0,于是| + + |=|3 + |= (3 + ) 2 = 9|PO|2 + 6PO· OB + |OB| 2 = 37-6| || |cos∠ = 9 × 22 + 12 -6 · =
关闭

37-12cos∠ ,故当 ∠POB=π 时 ,cos

B POB 取最小值-1,此时 | + + |取最大值 7. ∠
解析 答案

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:求向量的模及求向量模的最值有哪些方法? 解题心得:1.求向量的模的方法: (1)公式法,利用|a|= · b+|b|2,把向量的模的 及(a±b)2=|a|2±2a· 运算转化为数量积运算; (2)几何法,利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出 向量,再利用余弦定理等方法求解. 2.求向量模的最值(或范围)的方法:(1)求函数最值法,把所求向量 的模表示成某个变量的函数再求; (2)数形结合法,弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的 图形求解.

-24考点1 考点2

对点训练2 |a+b|=( )
A.1

π (1)已知向量a,b均为单位向量,它们的夹角为 3 ,则

考点3

知识方法

易错易混

B. 2

C. 3

D.2

因为向量 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 ,
3

π

关闭

所以|a+b|= ( + )2 = 2 + 2· + 2 =
C

1 + 2cos + 1 = 3.关闭
3

π

解析

答案

-25考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)(2015 浙江,文 13)已知 e1,e 2 是平面单位向量,且 e1· e 2= .若平 面向量 b 满足 b· e1=b· e 2=1,则| b|= .

1 2

关闭

因为 b· e1=b· e2= 1,|e 1|=|e2|=1,由数量积的几何意义,知 b 在 e1,e2 方向 1 上的投影相等,且都为 1,所以 b 与 e1,e2 所成的角相等.由 e1· e2= 知 e1 与 e2 的夹角为 60°,所以 b 与 e1,e2 所成的角均为 30°,即|b|cos 30°= 1,
1 2 3 2 3 所以|b|= = . cos30 ° 3 3 2

关闭

解析

答案

-26考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3平面向量的夹角与平面向量的垂直
例3(1)(2015重庆,文7)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b), 则a与b的夹角为( )

A.

π 3

B.

π 2

C.

2π 3

D.

5π 6

关闭

因为 a⊥(2a+b),所以 a· (2a+b)=0,即 2|a|2+a· b=0.设 a 与 b 的夹角为 θ, 则有 2|a|2+|a||b|· cos θ=0.又|b|=4| a|,所以 2|a| 2+4|a| 2cos θ=0,则 cos 关闭 1 2π θ =- ,从而 θ= . C
2 3

解析

答案

-27考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c 与b的夹角,则m= .
关闭

∵a=(1,2),b=(4,2), ∴c=ma+b=(m+4,2m+2). 又 ∵c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角 , ∴cos<c,a>=cos<c,b>, · · · · ∴| || | = | || |,即 | | = | | , ∴ ∴
+4+4 +4 5 +8 5 5

=
20

4 +16+4 +4 20

,
关闭

=

8 +20

,
解析

2 10m+ 16=8m+20,∴m=2. ∴
答案

-28考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:两向量数量积的正负与两向量的夹角有怎样的关系?两向 量的垂直与其数量积有何关系? · 解题心得:1.若a,b为非零向量, cos θ= (夹角公 |||| 式),a⊥b?a· b=0. 2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0 说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线 时两向量的夹角为钝角.

-29考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练3 (1)若平面向量a与平面向量b的夹角等 π 于 ,|a|=2,|b|=3,则2a-b与a+2b的夹角的余弦值等于(
3
1 A. 26 1 B.26 1 C. 12 1 D.12

)

关闭

记向量 2a-b 与 a+2b 的夹角为 θ, 又 π π 2 2 2 2 2 2 (2a-b) =4×2 + 3 - 4×2×3×cos =13,(a+ 2b) =2 +4×3 + 4×2×3×cos 3 3 =52, (2a-b)· (a+2b)=2a2-2b2+3a· b= 8-18+9=-1, 故 cos θ=
(2 - )· ( +2 ) |2 - |· | +2 |

=- ,
26 1
关闭

1

B 即向量 2a-b 与 a+2b 的夹角的余弦值是 - ,故选 B.
26

解析

答案

-30考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)已知向量 与 的夹角为 120°,且| |=3,| |=2.若 =λ + ,且 ⊥ ,则实数 λ 的值为 .

关闭

由 ⊥ ,知 ·=0,即 ·=(λ + )· ( ? )=(λ-1) · -λ + =(λ-1)×3×2× 7 λ7 = . 12 12 2 2 1 2

-λ×9+4=0,解得
关闭

解析

答案

-31考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.平面向量的坐标表示与向量表示的比较: 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a与b的夹角.

向量表示 向量 a 的模 |a|= · = 2 b=|a||b|cos θ a 与 b 的数量积 a· a 与 b 共线的 a∥ 充要条件 b(b≠0)?a=λb 非零向量 a,b 垂直 a⊥b? a· b=0 的充要条件 · 向量 a 与 b 的夹 cos θ= | || | 角

坐标表示
2 |a|= 1 + 12 a· b=x1x 2+y1y 2

a∥b?x 1y2-x 2y 1=0 a⊥b?x 1x2+y 1y2= 0 cos θ=
1 2 +1 2
2 + 2 2 + 2 1 1 2 2

-32考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

2.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义, 要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值 问题常用的方法与技巧.

-33考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.根据两个非零向量夹角为锐角或钝角与数量积的正、负进行 转化时,不要遗漏共线的情况. 2.|a· b|≤|a|· |b|当且仅当a∥b时等号成立.这是因为 |a· b|=|a|· |b|· |cos θ|,而|cos θ|≤1.

-34-

思想方法——函数思想与数形结合思想在数量积中的应用 典例1设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹 角为 π,则|| 的最大值等于 .
6 ||

答案:2

-35-

解析 :因为 b≠0,所以 b=xe1+ye2,x ≠0 或 y ≠0. 当
||2 ||2 || x=0,y ≠0 时 , =0; ||

当 x≠0 时 ,|b| 2=(xe1+ye2)2=x 2+y2+ 3xy, =
2 = 2 2 +2 + 3 1
+ 3 +1 2

,

||2 不妨设 =t,则 2 ||

=

1 , 2 + 3+1

2 3 1 | | 当 t=- 时 ,t2+ 3t+1 取得最小值 ,此时 2取得最大值 , 2 4 || || 所以 的最大值为 2. || || 综上 , 的最大值为 2. ||

-36-

典例2若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平 1 行四边形的面积为 2 ,则α与β的夹角θ的取值范围是 .

答案:

解析:如图,向量 α 与 β 在单位圆 O 内, 故以向量
1 α,β 为边的三角形的面积为 ,故 4

π 5π , 6 6

因 |α|=1,|β|≤1,且以向量 α,β 为邻边的平行四边形的面积为 , β 的终点在如图的线段
1 2

1 2

AB 上 ∥ ,且圆心到线段的距离为 围为
π 5π , 6 6

,因此夹角 θ 的取值范

.

-37-


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