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四川省2015年“联测促改”活动第一轮测试数学(理)试题(扫描版)

时间:2015-02-11


秘密 ★ 考试结束前

四川省 2015 年“联测促改”活动第一轮测试

数学(理工类)试题参考答案及评分标准
评分说明: 1.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细 则。 2.对计算题,当考生的 解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (Ⅰ) 由题意,向上的点数为 1, 2,3, 4,5, 6 ,出现的频率分别为:

9 19 19 22 19 12 …………………1 分 =0.09, =0.19, =0.19, =0.22, =0.19, =0.12 . 100 100 100 100 100 100
设 Ai 表示事件“向上的点数是 i ”( i ? 1, 2,? , 6 ),则

P( A1 ) ? 0.09, P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A5 ) ? 0.19, P( A4 ) ? 0.22, P( A6 ) ? 0.12 .………………2 分
设 B 表示事件“向上的点数之和超过 3”, 则 B 表示事件“向上的点数之和小于或等于 3”. 掷一个骰子的结果有 6 种,因此,连续掷两次骰子的结果共有 36 种.……………4 分 在这 36 种结果中,向上的点数之和小于等于 3 的结果有 3 种,即 (1,1), (1, 2), ( 2,1) . 因为 P ( B ) ? 0.09 ? 0.09 ? 0.09 ? 0.19 ? 0.19 ? 0.09 ? 0.0423 ,……………………………6 分 所以 P ( B ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ? 0.0423 ? 0.9577 .……………………………………………7 分 (Ⅱ) 设抛掷这枚质地不均匀的骰子出现向上的点数为 X 1 ,则由(Ⅰ)得 X 1 的概率分布列



X1 P( X 1 )

1 0.09

2 0.19

3 0.19

4 0.22

5 0.19

6 0.12
网] [来源:学|科|

…………………………………………1 分 所以,向上的点数 X 1 的均值是

E ( X 1 ) ? 1 ? 0.09 ? 2 ? 0.19 ? 3 ? 0.19 ? 4 ? 0.22 ? 5 ? 0.19 ? 6 ? 0.12 ? 3.59 .…………2 分
设抛掷一枚质地均匀的骰子出现向上的点 数为 X 2 ,则 X 2 的概率分布列为

X2 P( X 2 )

1

2

3

4

5

6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

…………………………………3 分 所以,向上的点数 X 2 的均值是

E( X 2 ) ?

1 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6) ? 3.5 .……………………………………………… 4 分 6

因为 E ( X 1 ) ? E ( X 2 ) ,所以“ A ? B ”的可能性更大.…………………………………5 分

π? ? (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? ? m ? 1 , 4? ? π 所以 f ( x ? ) ? 2 sin 2 x ? m ? 1 .……………………………………………………1 分 8 π π 由已知, f (? x ? ) ? ? f ( x ? ) , 8 8
则 ? 2 sin 2 x ? m ? 1 ? ?( 2 sin 2 x ? m ? 1) ,从而 m ? ?1 . 因此 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x .……………………………………………………………2 分 由 f ( ) ? 2m cos 2? 可得 2

?

sin ? ? cos ? ? ?2(cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? 2(sin ? ? cos ? )(sin ? ? cos ? ) .
由于 0 ? ? ≤

π π? ? ,因此 sin ? ? cos ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 0 . 2 4? ?

所以 sin ? ? cos ? ?
源:Zxxk.Com]

1 ,…………………………………………………………………3 分 2 3 .………………………………………………………4 分 4

[来

该式两边平方,解得 sin 2? ?

π? π π ? 又 sin ? ? cos ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 0 ,所以 ? ? ≤ , 4? 4 2 ?
从而 cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? 故 f (? ) ? sin 2? ? cos 2? ?

7 .……………………………………………………7 分 4

3? 7 .……………………………………………………8 分 4

(Ⅱ) 在 Rt ? SDC 中, DC=DS=2,所以 CM =

1 SC = 2

2.

由(Ⅰ)可知,在 Rt△BCM 中,BC = AD = 2 ,所以 BM=2. 在 Rt△ADM 中,AD= 2 , DM =

1 SC = 2

2 ,所以 AM=2.

因为 AB=DC=2,所以△ABM 为等边三角形.………………2 分 取 AM 中点 E,连接 BE, 则 BE ? AM. 由(Ⅰ)知,M 是线段 SC 的中点,所以 SC ? DM. 因为 AD ? 平面 SDC,所以 AD ? SC, 因此 SC ? 平面 ADM,从而 SC ? AM. 过 E 作 EF//SM 交 SA 于 F,所以 EF ? AM. 连接 BF,则 ? BEF 就是二面角 S-AM-B 的平面 角.…………………………………4 分 因为 E 是 AM 的中点,EF//SM,所以 F 是 SA 的中点. 因为 SD ? 底面 ABCD,所以 SD ? AB. 又在矩形 ABCD 中,AB ? AD, 所以 AB ? 平面 SAD,所以 AB ? SA.…………………………………………………5 分 在 Rt△SAD 中,因为 AD= 2 ,SD=2,所以 SA= 6 ,所以 AF= 在 Rt△SAB 中,因为 AB=2,所以 BF=

6 . 2

22 . 2

又因为 EF =

1 2 ,BE= 3 , SM = 2 2 BE 2 ? EF 2 ? BF 2 6 ?? , 2 BE ? EF 3

在 ? BEF 中,运用余弦定理得, cos ?BEF ? 所以二面角 S-AM-B 的余弦值是 ? 解法二: (Ⅰ) 因为 ABCD 为矩形,所以 A D ? CD.

6 .…………………………………………………6 分 3

因为 SD ? 底面 ABCD,所以 SD ? AD,SD ? CD, ??? ? ???? ??? ? 如图,以 D 为坐标原点, DA, DC , DS 分别为 x 轴,y 轴,z 轴 的正方向,建立空间直角坐标系 D-xyz.……………………2 分 由已知有 A( 2 ,0,0),B( 2 ,2,0), C(0,2,0),S(0,0,2), ??? ? ??? ? 则 CB ? ( 2, 0, 0), CS ? (0, ?2, 2) .……………………2 分 因为点 M 是线段 SC 的中点,所以 M (0,1,1), ???? ? 因此 DM ? (0,1,1) . ???? ? ??? ? ? DM ? CB ? 0, ? 因为 ? ???? 所以 DM ? CB , DM ? CS .………………………………………4 分 ? ??? ? ? ? DM ? CS ? 0, 因为 SC,BC 是平面 SCB 内的两条相交直线,所以 DM ? 平面 SCB.………………6 分 ???? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 AM ? (? 2,1,1), AS ? (? 2, 0, 2) , BA ? (0, ?2, 0) . 设平面 SA M 的一个法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) , ……………………………1 分 ???? ? ? ? ?m ? AM ? 0, ?? 2 x1 ? y1 ? z1 ? 0, 所以 ? 即? ??? ? ? ? ? m ? AS ? 0, ?? 2 x1 ? 2 z1 ? 0, 取 z1 ? 1 ,则 m ? ( 2,1,1) . …………………………………………3 分 设平面 ABM 的一个法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) , ???? ? ? ? ?n ? AM ? 0, ?? 2 x2 ? y2 ? z2 ? 0, 所以 ? ??? 即? ? ? ? ??2 y2 ? 0, ? n ? BA ? 0,
[来源:Z|xx|k.Com] [来源:学&科&网 Z&X&X&K]

(-1, 0,- 2) 取 x2 ? ?1 ,则 n ? .…………………………………………………………5 分
所以 cos ? m , n ??

( 2 ,, 11) ? (?1, 0, ? 2) | ( 2 ,, 11) | ? | (?1, 0, ? 2) |

?

? 2? 2 2 3

??

6 . 3

因此二面角 S-AM-B 的余弦值是 ?

6 .………………………………………………6 分 3

19.(Ⅰ) 设等差数列 {an } 的公差为 d, 则前 n 项和为 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d, 2

?10a1 ? 45d ? 110, 由题知 ? ……………………………………………………………2 分 ? 25a1 ? 300d ? 650,

解得 a1 ? 2, d ? 2 , 所以 Sn ? n 2 ? n . …………………………………………………………………………3 分 因为 bn ?1 ? 2Tn ? 1 (n ? N* ) ,所以 bn ? 2Tn ?1 ? 1 (n ? N* , n ≥ 2) . 两式相减得 bn ?1 ? 3bn (n ? N* , n ≥ 2) . …………………………………………………4 分 又由已知式有 b2 ? 2T1 ? 1 且 b1 ? 1 ,求得 b2 ? 3 , 即当 n=1 时, bn ?1 ? 3bn 也成立, 所以 bn ?1 ? 3bn (n ? N* ) ,于是 bn ? 3n ?1 (n ? N* ) .……… ……………………………6 分
[来源:学科网 ZXXK]

20. (Ⅰ)由已知, f ( x) ? x 2 ? 则 x ? 0 ,且有 f ?( x) ? 2 x ?

a ? b ln x , x

a b ? .……………………………………………………2 分 x2 x a ? b ln x( x ? 0) 在 x ? 1 处切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 ……3 分 x

又 f ?(1) ? 2 ? a ? b , f (1) ? 1 ? a , 根据题意,曲线 f ( x) ? x 2 ?

又 f ?(1) ? 2 ? a ? b ? 1 , f (1) ? 1 ? a ? ?2 , 解得: a ? ?3 , b ? ?4 . 即 a,b 的值分别为 a ? ?3 , b ? ?4 .…………………………………………………5 分 (Ⅱ)欲使 f ( x) ? x 2 ?

a a b ? b ln x( x ? 0) 是增函数,则 f ?( x) ? 2 x ? 2 ? ≥0 在 x ? 0 时恒 x x x

成立,即 2 x3 ? bx ? a ≥0 在 x ? 0 时恒成立. 设 g (t ) ? 2t 3 ? bt ? a ( t ≥0),则 g ?(t ) ? 6t 2 ? b . ……………………………………2 分 ① 若 b≥0 ,有当 t >0 时, g ?(t ) ? 0 ,则 g (t ) ? 2t 3 ? bt ? a ( t≥0 )是增函数, 所以当 t=0 时,函数 g (t ) 取得最小值 g (0) ? ?a . 符合条件的 a , b 满足: g (0) ? ?a≥0 ,即 a≤0 .……………………………………4 分 ② 若b ? 0,

当0?t ? ?

b b 时,有 g ?(t ) ? 0 ,则 g (t ) 在 [0, ? ) 是减函数, 6 6

b b 当 t ? ? 时,有 g ?(t ) ? 0 ,则 g (t ) 在 [ ? , ??) 是增函数,………………………6 分 6 6 b b 2 b 因此,当 t ? ? 时,函数 g (t ) 取得极小值 g ( ? ) ? b ? ? a , 6 6 3 6 2 b 故符合条件的 a,b 满足: b ? ? a ≥0. 3 6
化简,得 a≤

b ?6b , b ? 0 .…………………………………………………………7 分 9 b ?6b 时, f ( x) 在定义域内是增函数.……8 分 9

综上所述,当 b≥0, a≤0 或 b ? 0, a≤

21. (Ⅰ)由已知,曲线 E 是以 M,N 为焦点,长轴长为 2a=4 的椭圆. 所以该椭圆的焦距为 2c ? 2 2 ,短半轴长为 b ? 2 . 故曲线 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .………………………………………………………2 分 4 2
[来源:学|科|网]

(Ⅱ)设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则

x0 2 y0 2 1 ? ? 1, y0 2 ? 2 ? x0 2 ,且 ?2≤x0 ≤2 . 4 2 2
所以 PM ? ( x0 ? 2) 2 ? y0 2

? ( x0 ? 2) 2 ? 2 ? ? (2 ? ?2? 2 x0 ) 2 2

1 2 x0 2

2 x0 , 2
①………………………………………………2 分

因此 2 ? 2≤ | PM | ≤2 ? 2 .

由已知, ? | PM | , 2 | MN | , | PN | 成等 差数列,有 2 2 | MN |? ? PM ? PN , … ……………………………………………………3 分 所以, ? ?

2 2 MN ? PN PM

?

2 2 MN ? (4 ? PM ) PM 4 . PM
②…………………………………………………4 分

?1?

由①②可知, ? 的取值范围是 [5 ? 2 2,5 ? 2 2] .…………………………………5 分 (Ⅲ )设 A,B,C,D 的横坐标分别为 xA,xB,xC,xD.

当 k ? 0 时,由题知 | AC |?| BD | ,故 k ? 0 .…………………………………………1 分 联立 y ? kx ? m 与 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 16 , 可得 (k 2 ? 1) x 2 ? 2(1 ? km) x ? m 2 ? 15 ? 0 . ……………………………………………2 分 因为 直线 l 与⊙O1 交于 A、B 两点,故

? ? (2(1 ? km)) 2 ? 4(k 2 ? 1)(m 2 ? 15) ? 4(16 ? 2km ? m 2 ? 15k 2 ) ? 0 ,
且 x A ? xB ? ?

[来源:Z*xx*k.Com]

2(1 ? km) . k2 ?1 x2 y 2 ? ? 1 ,可得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 4 ? 0 . ……………4 分 4 2
[来源:学*

联立 y ? kx ? m 与
科*网]

因为直线 l 与曲线 E 交于 C,D 两点,故

? ? 32k 2 ? 8m 2 ? 16 ? 0 ,
且 xC ? xD ? ?

③……………………………………5 分

4km . 2k 2 ? 1

由 | AC |?| BD | ,可知 xC - xA= xB - xD,即 xA+ xB=xC+xD,则有

?

2(1 ? km) 4km , ?? 2 k2 ?1 2k ? 1 1 ? 2k 2 .………………… ……………………………………………………6 分 k
[来

变形得 m ?
源:学科网 ZXXK]

1 ? 2k 2 2 代入③ ,可得 32k 2 ? 8( ) ? 16 ? 0 ,化简得 2k 2 ? 1 ? 0 ,显然不成立. k
所以,不存在直线 l,使得 | AC |?| BD | 成立. …………………………………………7 分


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