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专题五第1讲 直线与圆

时间:2014-12-17


专题五 解析几何 第 1 讲 直线与圆
(推荐时间:60 分钟)

一、选择题 1.已知直线 l1 的方向向量 a=(1,3),直线 l2 的方向向量 b=(-1,k).若直线 l2 经过点 (0,5)且 l1⊥l2,则直线 l2 的方程为( A.x+3y-5=0 C.x-3y+5=0 ) B.x+3y-15=0 D.x-3y+15=0

π 1 2.若 0≤θ≤ ,当点(1,cos θ)到直线 xsin θ+ycos θ-1=0 的距离是 时,这条直线的 2 4 斜率为( A.1 ) B.-1 C. 3 2 D.- 3 3

3.若某圆的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆 的标准方程是( )

7 y- ?2=1 A.(x-3)2+? ? 3? B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 3?2 2 D.? ?x-2? +(y-1) =1 4.已知集合 A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|kx-y-2≤0},其中 x,y∈R.若 A?B, 则实数 k 的取值范围是( A.[0, 3] C.[- 3,0] ) B.[- 3, 3] D.[- 3,+∞)

5.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是方程 x2+x+c=0 1 的两个实根,且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( 8 A. 2 1 , 4 2 1 2 B. 2, D. 2 2 )

C. 2,

2 1 , 2 2

6.(2010· 广东)若圆心在 x 轴上、半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方程是( A.(x- 5)2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5 二、填空题 7.已知圆 C:(x-2)2+(y+1)2=2,过原点的直线 l 与圆 C 相切,则所有切线的斜率之 和为________. 8. 已知直线 l1: y=2x+3, 直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称, 则直线 l2 的斜率为________. 9.(2011· 辽宁)已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为 ______________. 10.直线 x+a2y+1=0 与直线(a2+1)x-by+3=0 互相垂直,a、b∈R 且 ab≠0,则|ab| 的最小值为________. 三、解答题 11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和圆 C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)判断两圆的位置关系,并求连心线的方程; (2)求直线 m 的方程, 使直线 m 被圆 C1 截得的弦长为 4, 被圆 C2 截得 的弦长为 2. 12.已知圆 C:x2+y2+x-6y+m=0 与直线 l:x+2y-3=0. (1)若直线 l 与圆 C 没有公共点,求 m 的取值范围; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 P、Q 两点,O 为原点,且 OP⊥OQ,求实数 m 的值. ) B.(x+ 5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5

2? 13.已知以点 C? ?t, t ? (t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、 B,其中 O 为原点. (1)求证:△AOB 的面积为定值; (2)设直线 2x+y-4=0 与圆 C 交于点 M、N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下,设 P、Q 分别是直线 l:x+y+2=0 和圆 C 的动点,求|PB|+|PQ|的 最小值及此时点 P 的坐标.

答案 1.B 2.D 3.B 4.B 5.D 6.D 1 7.-2 8. 9.(x-2)2+y2=10 10.2 2 11.解 (1)圆 C1 的圆心 C1(-3,1),半径 r1=2; 圆 C2 的圆心 C2(4,5),半径 r2=2. ∴|C1C2|= 72+42= 65>r1+r2, ∴两圆相离,连心线所在直线方程为: 4x-7y+19=0. (2)直线 m 的斜率显然存在. ∵直线 m 被圆 C1 截得弦长为 4. ∴直线 m 过圆 C1 的圆心 C1(-3,1). ∴设直线 m 的方程为 y-1=k(x+3). ∴C2(4,5)到直线 m 的距离: |7k-4| 28± 186 d= 2 = 3,∴k= . 46 k +1 28± 186 ∴直线方程为 y-1= (x+3). 46 12.解 (1)将圆的方程配方, 1?2 2 37-4m 得? ?x+2? +(y-3) = 4 , 37-4m 37 故有 >0,解得 m< . 4 4 ?x+2y-3=0, ? 将直线 l 的方程与圆 C 的方程组成方程组,得? 2 2 ?x +y +x-6y+m=0, ? 3-x 3-x?2 消去 y,得 x2+? ? 2 ? +x-6× 2 +m=0, 整理,得 5x2+10x+4m-27=0,① ∵直线 l 与圆 C 没有公共点, ∴方程①无解, 故有 Δ=102-4×5(4m-27)<0, 解得 m>8. 37 ? ∴m 的取值范围是? ?8, 4 ?. (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → → 由 OP⊥OQ,得OP· OQ=0, 即 x1x2+y1y2=0,② 由(1)及根与系数的关系,得 4m-27 x1+x2=-2,x1· x2= ,③ 5 又∵P、Q 在直线 x+2y-3=0 上, 3-x1 3-x2 ∴y1· y2= · 2 2 1 = [9-3(x1+x2)+x1· x2], 4 m+12 将③代入上式,得 y1· y2= ,④ 5 将③④代入②得 x1· x2+y1· y2 4m-27 m+12 = + =0,解得 m=3. 5 5 代入方程①检验得 Δ>0 成立,∴m=3. 13.(1)证明 由题设知,圆 C 的方程为

2?2 2 4 (x-t)2+? ?y- t ? =t +t2, 4 化简得 x2-2tx+y2- y=0, t 当 y=0 时,x=0 或 2t,则 A(2t,0); 4? 4 当 x=0 时,y=0 或 ,则 B? ?0, t ?, t 1 ∴S△AOB= |OA|· |OB| 2 1 ?4? = |2t|· =4 为定值. 2 ?t? (2)解 ∵|OM|=|ON|,则原点 O 在 MN 的中垂线上,设 MN 的中点为 H,则 CH⊥MN, ∴C、H、O 三点共线,则直线 OC 的斜率 2 t 2 1 k= = 2= ,∴t=2 或 t=-2. t t 2 ∴圆心为 C(2,1)或 C(-2,-1), ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5 或(x+2)2+(y+1)2=5, 由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5 时,直线 2x+y-4=0 到圆心的距离 d>r,此时不 满足直线与圆相交,故舍去,∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. (3)解 点 B(0,2)关于直线 x+y+2=0 的对称点为 B′ (-4, -2), 则|PB|+|PQ|=|PB′| +|PQ|≥|B′Q|, 又 B′到圆上点 Q 的最短距离为 |B′C|-r= ?-6?2+32- 5 =3 5- 5=2 5. 1 所以|PB|+|PQ|的最小值为 2 5,直线 B′C 的方程为 y= x,则直线 B′C 与直线 x+y 2 4 2 ? +2=0 的交点 P 的坐标为? ?-3,-3?.


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