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1.5.3定积分的概念导学案及教案

时间:2012-02-26

定积分的概念(导学案) §1.5.3 定积分的概念(导学案)
学习目标:1.理解并掌握定积分的概念和几何意义; 2.能 用 定 积 分 的 定 义 求 简 单 的 定 积 分 ; 学习重难点:定 积 分 的 概 念 、 几何意义和基本性质. 学习过程: 问题一:回忆前面曲边梯形的面积,变速运动的路程等问题的解决方法和解决步骤.

问题二:步骤再加以分析、理解、归纳,找出共同点.

问题三:阅读课本 P45 :定积分的概念是什么?

问题四:定积分的几何意义 如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f ( x ) ≥ 0 ,那么定积分 问题五:定积分的性质 性质 1 性质 2 性质 3 (k 是常数) ∫ kf ( x )dx = ? ? ∫ ? f ( x ) ± f ( x )?dx = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx (其中 a < b < c )
b a b a 1 2 b c b a a c



b

a

f ( x)dx 表示

思考:你能从定积分的几何意义解释性质 3 吗?

练习 1:根据定积分的几何意义,你能用定积分表示下图中阴影部 分的面积吗?

y

A y = f1 ( x )

B

练习 2.计算下列定积分: (1)



2

1

( x + 1)dx =

(2)



1

?1

x dx =

D y = f ( x) C 2 a b x O

§1.5.3 定积分的概念
教学目标:1.理解并掌握定积分的概念和几何意义; 2.能 用 定 积 分 的 定 义 求 简 单 的 定 积 分 ; 教学重难点:定 积 分 的 概 念 、 几何意义和基本性质. 教学过程: 一、复习引入: 1.回忆前面曲边梯形的面积,变速运动的路程等问题的解决方法和解决步骤. 2.对这四个步骤再加以分析、理解、归纳,找出共同点. 二、新课讲授 1.定积分的概念: 2.定积分的几何意义 如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f ( x ) ≥ 0 ,那么定积分



b

a

f ( x)dx 表示

y

A y = f1 ( x )

B

探究:根据定积分的几何意义,你能用定积分表示下图中阴影部 分的面积吗?

D y = f ( x) C 2 a b x O

3.定积分的性质 性质 1 性质 2 性质 3

∫ ∫ [ f ( x) ± f ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ f ( x)dx f f f ∫ (x)dx = ∫ (x)dx + ∫ (x)dx
a b
a b a

b

kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k 是常数)
a
b b 1 2 a 1 a

b

2

c

b

a

c

思考:你能从定积分的几何意义解释性质(3)吗?

例 1.计算定积分

∫ x dx
3 0

1

思考:若改为计算定积分



0

?1

x3 dx 呢?

说明:一般情况下,定积分



b

x = a , x = b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积取负号.

a

f ( x)dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及直线

三、课堂练习: 1.计算下列定积分: (1) (3)



2

1

( x + 1)dx =
1 ?1



x dx =

∫ (2 x ? 4)dx = (4) ∫ ( 2 x ? x )dx =
(2)
0

5

3

2

1

2.计算由曲线 y = x ? 6 x 和 y = x 所围成的图形的面积.
3 2


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