1.5.3定积分的概念导学案及教案

定积分的概念（导学案） §1.5.3 定积分的概念（导学案）
学习目标：1.理解并掌握定积分的概念和几何意义； 2.能 用 定 积 分 的 定 义 求 简 单 的 定 积 分 ； 学习重难点：定 积 分 的 概 念 、 几何意义和基本性质. 学习过程： 问题一：回忆前面曲边梯形的面积，变速运动的路程等问题的解决方法和解决步骤.

问题二：步骤再加以分析、理解、归纳，找出共同点．

问题三：阅读课本 P45 ：定积分的概念是什么？

问题四：定积分的几何意义 如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f ( x ) ≥ 0 ，那么定积分 问题五：定积分的性质 性质 1 性质 2 性质 3 （k 是常数） ∫ kf ( x )dx = ? ? ∫ ? f ( x ) ± f ( x )?dx = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx （其中 a < b < c ）
b a b a 1 2 b c b a a c

∫

b

a

f ( x)dx 表示

思考：你能从定积分的几何意义解释性质 3 吗？

练习 1：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部 分的面积吗？

y

A y = f1 ( x )

B

练习 2.计算下列定积分: (1)

∫

2

1

( x + 1)dx =

(2)

∫

1

?1

x dx =

D y = f ( x) C 2 a b x O

§1.5.3 定积分的概念
教学目标：1.理解并掌握定积分的概念和几何意义； 2.能 用 定 积 分 的 定 义 求 简 单 的 定 积 分 ； 教学重难点：定 积 分 的 概 念 、 几何意义和基本性质. 教学过程： 一、复习引入： 1.回忆前面曲边梯形的面积，变速运动的路程等问题的解决方法和解决步骤. 2.对这四个步骤再加以分析、理解、归纳，找出共同点． 二、新课讲授 1．定积分的概念： 2．定积分的几何意义 如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f ( x ) ≥ 0 ，那么定积分

∫

b

a

f ( x)dx 表示

y

A y = f1 ( x )

B

探究：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部 分的面积吗？

D y = f ( x) C 2 a b x O

3.定积分的性质 性质 1 性质 2 性质 3

∫ ∫ [ f ( x) ± f ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ f ( x)dx f f f ∫ （x）dx = ∫ （x）dx + ∫ （x）dx
a b
a b a

b

kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx （k 是常数）
a
b b 1 2 a 1 a

b

2

c

b

a

c

思考：你能从定积分的几何意义解释性质（3）吗？

例 1．计算定积分

∫ x dx
3 0

1

思考：若改为计算定积分

∫

0

?1

x3 dx 呢？

说明：一般情况下，定积分

∫

b

x = a , x = b 之间各部分面积的代数和，在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号．

a

f ( x)dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及直线

三、课堂练习： 1.计算下列定积分: (1) (3)

∫

2

1

( x + 1)dx =
1 ?1

∫

x dx =

∫ (2 x ? 4)dx = （4） ∫ ( 2 x ? x )dx =
(2)
0

5

3

2

1

2.计算由曲线 y = x ? 6 x 和 y = x 所围成的图形的面积.
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