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高中数学专题2.1曲线与方程(2)教案2_1

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曲线与方程(2) 【教学目标】 (1) 知识目标:学会求曲线方程的步骤和方法。 (2) 能力目标:能用所学知识理解新的概念,并能运用概念解决实际问题,从中体会转化化归的思想方法, 提高思维品质,发展应用意识。 (3) 情感目标:通过本节课的学习,学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究,真正认识到数学 是解决实际问题的重要工具; 学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想,体验到数学活动充满着探索 性和创造性。 【重点难点】 1.教学重点:求曲线方程的方法和步骤. 2.教学难点:在解决实际问题时灵活转化等量关系 . 【教学过程】 ☆情境引入☆ 在美丽的南沙群岛中,甲岛与乙岛相距 8 海里,一艘军舰在海上 巡逻,巡逻过程中,从军舰上看甲乙两 岛,保持视角为直角,你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线,你能为它写出一个方程吗? ☆ 探索新知☆ 求曲线的方程的步骤 上一节, 我们已经学习了曲线的方程与方程的曲线的概念.利用这两个重要概念, 就可以借助于坐标 系, 用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的 集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x, y)所满足的方程 f(x, y)=0 表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质. 解析几何与坐标法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中,用坐标法研究几何图形的知识形成 的学科叫做解析几何.因此,解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科. 平面解析几何研究的两个基本问题. (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过曲线的方程,研究平面曲线的性质. 题型一 求直线方程 【例 1】设 A,B 两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程. 解析:设点 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任意一点,也就是点 M 属于集 合 P={M||MA|=|MB|}. 由两点间的距离公式,点 M 适合的条件可表示为 (x ? 1)2 ? (y ? 1) 2 ? (x ? 3) 2 ? (y ? 7) 2 . 上式两边平方,并整理得 x+2y-7=0. 我们证明方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程. 1 ① (1)由求方程的过程可知,垂直平分线上每一点的坐标都是 方程①的解; (2)设点 M1 的坐标(x1,y1)是方程①的解,即 x1+2y1-7=0, x1=7-2y1. 点 M1 到 A,B 的距离分别是 M1 A ? ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1)2 ? (8 ? 2 y1 )2 ? ( y1 ? 1)2 ? 5( y12 ? 6 y1 ? 13); M1B ? ( x1 ? 3)2 ? ( y1 ? 7)2 ? (4 ? 2 y1 )2 ? ( y1 ? 7)2 ? 5( y12 ? 6 y1 ? 13). 即点 M 在线段 AB 的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知,方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程. 题型二 求曲线方程 【例 2】已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程. x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? y ? 2, ① 将①式移项后两边平方,得 x2 ? ( y ? 2)2 ? ( y ? 2)2 , 化简得 y? 1 2 x . 因为曲线在 x 轴的上方,所以 y>0.虽然原点 O 的坐标(0,0)是这个方程的解,但不 属于已知曲 8 线,所以曲线的方程应是 y ? 1 2 x(x ? 0) . 8 ☆课堂提高☆ 1.圆心在直线 x-2y+7=0 上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(-2,0), B(-4,0),则圆 C 的方程为 (x+3) +(y-2) =5 2.在△ABC 中,B,C 坐标分别为(-3,0) , (3,0) , 且三角形周长为 16,则点 A 的 轨迹方程是________________. 2 2 2 . x2 y2 + = 1(x ≠± 5) 25 16 ☆课堂小结☆ 1.本节学习了一种方法--直接法求曲线方程; 2. 直接法求曲线方程五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为含动点坐标的代数方程的过 程.(因此求曲线方程时要注意挖掘题中形成曲线的等量关系); 3.求 曲线方程时,五个步骤不一定要全部实施.如 第二步、第五步; 注意: (1)建系要适当; (2)化简变形要考查等价与否(即考察曲线的完备性和纯粹性). ☆课后作业☆ A 组 4-5 题 3

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