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高三文科数学第一轮复习

时间:2017-10-25


2018 届文科数学(高三第一轮复习资料)

数列专题
(一)数列求和
1.公式法。 (直接用等差、等比数列的求和公式求和)

姓名:_____________ 学号:_____________

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d 2 2

?na1 (q ? 1) ? n ; S n ? ? a1 (1 ? q ) 公比含字母时一定要讨论 (q ? 1) ? ? 1? q

例 1(1) :已知等差数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 3 ,求前 n 项和 Sn . ....

例 1(2) :已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 3 ,求前 n 项和 Sn . ....

练习 1(1).设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
4 7 10

3n?10

(n ? N ) ,则 f (n) 等于(
D.



A.

2 n (8 ? 1) 7

B.

2 n ?1 (8 ? 1) 7

C.

2 n ?3 (8 ? 1) 7

2 n?4 (8 ? 1) 7

练习 1(2).求和: 1+ 3 + 7 + 9 + ?+ (2n - 1)

2.分组求和法 例 3:求数列 1,2+

cn = an + bn , ?an ? 、 ?bn ? 是等差或等比数列,则采用分组求和法
1 1 1 1 ,3+ ,4+ +…+ n ? n ?1 的前 n 项和 Sn . 2 4 8 2

练习 2(1) :已知数列{an}是 3+2-1,6+22-1,9+23-1,12+24-1,…,写出数列{an}的通项公式 并求其前 n 项和 Sn .

练习 2(2) :求和: (2 - 3? 5 )

- 1

(4 - 3? 5- 2 ) ?+ (2n - 3? 5- n ) .

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3. 错位相减法: (乘以式中的公比 q , 然后再进行相减) ?an ? 等差, ?bn ?等比, 求a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn的和. 例 3.求和 Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? ?? nxn?1 ( x ? 0 )
(提示:分类讨论, x

? 1 和 x ? 1 两种情况)

练习 3(1)化简: S n ? 1? 21 ? 2 ? 2 2 ? ?? n ? 2 n

练习 3(2).求和: S n ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a

练习 3(3).设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

?a ? (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn . a5 ? b3 ? 13 (Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; ? bn ?

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4.裂项相消法 常见拆项:

(把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项)

1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) = ( ) n(n ? 2) 2 n n ? 2 ; n(n + k ) k n n + k 1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 ,则 S5 等于( n(n ? 1)
1 30


1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 ;

例 4(1) .数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? A.1 B.

5 6

C.

1 6

D.

例 4(2).已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 n ? n ?1

,求前 n 项的和.

练习 4(1) .已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 ,求前 n 项的和. n(n ? 1)

练习 4(2) .若数列的通项公式为 bn ?

1 ,则此数列的前 n 项和为_________. (2n ? 1) ? (2n ? 1)

练习 4(3)已知数列 ?an ? :

那么数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 为( A.

1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 1 ? ? ? ? ,…,若 bn ? , ? , ? ? ,…, , 2 3 3 4 4 4 10 10 10 10 an ? an ?1
) C.

n n ?1

B.

4n n ?1

3n n ?1

D.

5n n ?1

练习 4 (4) . 已知数列 {an } 的通项公式为 an =

n ?1 1 1 1 , 设 Tn ? , 求 Tn . ? ??? 2 a1 ? a a 4 ?a an ? 2 an? 3 2

练习 4(5) .求1 ?

1 1 1 1 ? ? ??? , (n ? N * ) 。 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1? 2 ? 3 ??? n

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5.倒序相加法求和 例 5:求 Sn = sin 2 1? + sin 2 2? + sin 2 3? + ?+ sin 2 88? + sin 2 89? .

练习 5(1)设 f(x ) ? A.4

?1? ?2? ?3? ? 10 ? 4x ,则f ? ? 11 ? ? ? f? ? 11 ? ? ? f? ? 11 ? ? ? ? ? f? ? 11 ? ? ?( x 4 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ?
C. 6 D. 10
[来源:学科网 ZXXK]

)

B. 5

练习 5(2)已知函数 F ( x) ?

3x ? 2 1 1 2 2009 , ( x ? ). F ( ) ? F( ) ??? F( ) 的值=______. 2x ?1 2 2010 2010 2010

(二)数列求通项
1.公式法(定义法) 等差: an ?1 ? an ? d ; an ? 根据等差数列、等比数列的定义求通项

an ?1 ? an ?1 ; 2

等比:

an?1 ? q; a 2 n ? an ?1 ?an ?1 . an

例 1.已知数列 {an } 满足 a1 = 2, an - an- 1 = 1(n ? 2) ,求数列 {an } 的通项公式.

且an+ 2 - 2an+ 1 + an = 0 ( n ? N ) 练习 1.数列 ?an ? 满足 a1 =8, a4 = 2, ,求数列 ?an ? 的通项公式.
?

例 2.已知数列 {an } 满足 a1 = 2, an+ 1 = 3? an ,求数列 {an } 的通项公式.

练习 2(1)已知数列 {an } 满足 a1 = 2, a3 = 8, an = an+ 1 ?an- 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式.
2

练习 2(2)已知数列 {an } 满足 a1 ? 2,

1 a n?1

?

1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式. an

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2.作差法

(n ? 1) ?S1 利用 an ? ? 求通项. ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)

姓名:_____________ 学号:_____________

例 3.数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 1 . (1)试写出数列的前 5 项; (2)数列 {an } 是等差数列吗? (3)你能写出数列 {an } 的通项公式吗?

练习 3(1).已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 4n ? 1 则 an ? ,



练习 3(2).已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn , an = 5Sn - 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

练习 3(3).已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn , a1 = 1, an+ 1 = 2Sn + 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

练习 3(4).已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N *) ,证明数列

?an ? 1? 是等比数列.

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3. 累加法

an?1 = an + f (n) 型

an =( an - an?1 )+( an?1 - an?2 )+…+( a2 - a1 )+ a1
a2 ? a1 ? f (1)

若 an?1 ? an ? f (n) (n ? 2) ,则

a3 ? a2 ? f (2) ? ? an ?1 ? an ? f (n)
n

两边分别相加得 an ?1 ? a1 ?

? f ( n)
k ?1

n

例 4.已知数列{ an }满足 a1 =1, an?1 = an + 2 (n∈N+) ,求 an .

练习 4(1):已知数列{ an }满足 a1 =1, an?1 = an + 2 n (n∈N+) ,求 an

练习 4(2).设数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3 ? 2 2n?1 ,求数列 {an } 的通项公式

4.累乘法(累积法)

an?1 a a a ? g (n) 型 an = n · n ?1 … 2 · a1 an a n?1 a n ? 2 a1



n a an ?1 a a a 则 2 ? f (1),3 ? f (2), ? f ( n) , ??,n ?1 ? f (n) , 两边分别相乘得 n?1 ? a1 ? ? f (k ) an a1 a1 a2 an k ?1

例 5.已知数列{ an }满足

an?1 , a1 =1,求 an . ? n ? 1 (n∈N+) an

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练习 5(1):已知数列{ an }满足

an?1 , a1 =1,求 an . ? 2 n (n∈N+) an

练习 5(2):已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

an?1 =p an +q 型(p、q 为常数) 令 an?1 - an = p(an ? an?1 ) ,构造等比数列 例 6.已知{ an }的首项 a1 = a ( a 为常数) , an =2 an?1 +1(n∈N+,n≥2) ,求 an .
5.待定系数法

练习 6(1) .已知{ an }的首项 a1 =2, an =2 an?1 +1(n∈N+,n≥2) ,求 an .

练习 6 (2) . 数列已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 , an ? 4an ?1 ? 1(n ? 1). 则数列 ?an ? 的通项公式= 2



6.倒数变换法,整体代换法(换元法) 例 7.已知数列 {an } 满足 a1 = 1,

1 an+ 1

-

1 1 1 = ,证明 { } 是等差数列,并求 {an } 的通项公式. an 2 an

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例 8.已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2

练习 7(1).已知数列{an}中, a1 ? 1, an?1 ?

an , 求这个数列的第 n 项 an 1 ? 2an

2 练习 7(2) .已知数列 {an } 满足 a1 = 1, a2n+ 1 - an = 4 ,求数列 {an } 的通项公式.

练习 8(1) .已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an+ 1 + 2 = (an + 2)? 3 ,求数列 {an } 的通项公式.

? 练习 8(2) .已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, 且 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n ) ( n ? N ) ,求数列 ?an ? 的通项

公式.

总结:对于特殊的数列关系式,求通项公式 an 的核心思想是变形构造成等差或等比数列.
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