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数学:第六章 一次函数图象的应用教案(北师大版八年级上)

时间:2014-05-01


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第六章 一次函数 5.一次函数图象的应用(一) 一、学生起点分析
学生已学习了一次函数及其图象, 认识了一次函数的性质. 在现实生活中也见识过大量 的函数图象,所以具备了从函数图象中获取信息,并借助这些信息分析问题、解决问题的基 础.但由于初中学生的年龄特点,他们认识事物还不够全面、系统,所以还需通过具体实例 来培养他们这方面 的能力.

二、教学任务分析
《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准北师大版实验教科书数学八年级(上)第 六章《一次函数》的第五节.本节内容安排了 2 个课时完成,本节为第一课时.主要是利用 一次函数图象解决有关现实问题, 与原传统教材相比, 新教材更注重借助材料让学生在具体 操作中获取一次函数图象的有关信息,从而回答和解决现实生活中的具体问题,也就是说, 新教材注重在图象信息的识别与分析中, 提高学生的识图能力, 进一步培养学生的数形结合 能力和数学应用能力,发展形象思维.

三、教学目标分析

x k b 1 . c o m

知识与技能目标: 1.能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题; 2.在解决问题过程中,初步体会方程与函数的关系,建立各种知识的联系。 过程与方法目标: 1.通过对函数图象的观察与分析,培养学生数形结合的意识,发展形象思维; 2.通过具体问题的解决 ,培养学生的数学应用能力; 3.引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,使学生初步形成多样的学习方 式. 情感与态度目标: 1.在具体的案例中,培养学生良好的环保意识和对生活的热爱等. ●教学重点 一次函数图象的应用. ●教学难点 正确地根据图象获取信息,并解决现实生活中的有关问题.

四、课前准备
有条件的学校可以准备多媒体课件,没有条件的可以准备投影片或者小黑板.

五、 教学过程
本节课分为八个教学环节

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第一环节

复习引入

内容:在前几节课里,我们通过从生活中的实际问题情景出发,分别学习了一次函数, 一次函数的图象,一次函数图象的性质,从中对一次函数在现实生活中的广 泛应用有了一 定的了解. 怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题, 是我们这节课的 主要内容.首先,想一想一次函数具有什么性质? 在一次函数 y ? kx ? b 中 当 k ? 0 时, y 随 x 的增大而增大, 当 b ? 0 时,直线交 y 轴于正半轴,必过一、二、三象限; 当 b ? 0 时,直线交 y 轴于负半轴,必过一、三、四象限. 当 k ? 0 时, y 随 x 的增大而减小, 当 b ? 0 时,直线交 y 轴于正半轴,必过一、二、四象限; 当 b ? 0 时,直线交 y 轴于负半轴,必过二、三、四象限. 意图:在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线,并且讨论了 k 、b 的正 负对图象的影响. 通过对上节课学习内容的回顾, 为进一步研究一次函数图象和性质的应用 做好铺垫. 效果:学生通过知识回顾,再次明确一次函数图象和性质,为学习本节课在知识上作好 准备. 说明:如果学生一次函数的图象和性质掌握较好,也可以直接从下一环节(第二环节) 开始,进入本课题的学习.

第二环节

初步探究

内容:由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少. 干旱持续 时 3 间 t (天)与蓄水量 V (万米 )的关系如下图所示,回答下列问题: (1)干旱持续 10 天后, 蓄水量为多少?连续干旱 23 天后呢? (2)蓄水量小于 400 万米 3 时,将发生严重干旱 警报.干旱多少天后将发出严重干旱警报? (3)按照这个规律,预计持续干旱多少天水库将 干涸? (根据图象回答问题,有困难的可以互相交流. ) 答案:(1)求干旱持续 10 天时的蓄水量,也就是求 t 3 等于 10 时所对应的 V 的值.当 t ? 10 时,V 约为 1000 万米 .同理可知当 t 为 23 天时,V 3 约为 750 万米 . 3 3 (2)当蓄水量小于 400 万米 时, 将发出严重干旱警报, 也就是当 V 等于 400 万米 时, 3 求所对应的 t 的值. 当 V 等于 400 万米 时, 所对应的 t 的值约为 40 天. [来源:Www.zk5u.com] (3)水库干涸也就是 V 为 0,所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求.当 V 为 0 时,所对应的 t 的值约为 60 天.[来源:学 &科&网] 意图:通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用,目的是培养学生的识图能力. 效果:本题插图中干涸的河床势必给学生一个很强的视觉刺激,从而渗透环保教育. 说明:在具体的教学活动中,教师应注意学生对以上问题的掌握情况:如果学生掌握得 好,进入下面的练习;如果学生掌握得不好,则可以再引导学生多练习一道类似的习题(见 分层教学第 1 题) .

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第三环节

反馈练习:

内容: 当得知周边地区的干旱情况后, 育才 S(户) 学校的小明意识到节约用水的重要性. 当天在班 1000 上倡议节约用水, 得到全班同学乃至全校师生的 · 0 积极响应. 从宣传活动开始, 假设每天参加该活 动的家庭 数增加数量相同,最后全校师生都参 加了活动,并且参加该活动的家庭数 S (户)与 200 宣传时间 t(天) 的函数关系如图所示. 新$课$标 0 20 t(天) $第$一$网 根据图象回答下列问题:[来源:学#科#网] (1)活动开始当天,全校有多少户家庭参加了该活动? (2)全校师生共有多少户?该活动持续了几天? (3)你知道平均每天增加了多少户? (4)活动第几天时,参加该活动的家庭数达到 800 户? (5)写出参加活动的家庭数 S 与活动时间 t 之间的函数关系式 答案: (1)200 户; (2)全校师生共有 1000 户,该活动持续了 20 天; (3)平均每天增加了 40 户; (4)第 15 天时,参加该活动的家庭数达到 800 户; (5) S ? 40t ? 200 . 意图:通过创设情境,让学生进一 步认识到一次函数图象的应用,倡导节约用水.同 时,通过练习以检验学生对已学内容是否掌握. 效果:通过练习,学生会运用一次函数的图象去分析现实生活中的问题,同时渗透环保 意识,珍惜水资源. 说明:在具体的教学活动中,教师应观察学生的表现,对知识是否掌握,如果学生掌握 得好,进入下一个环节;如果学生掌握得不好,则可以再引导,以达到“过手”的目的. (视 其情况,可以选用分层教学第 2 题)

第四环节

深入探究

内容:1.看图填空 (1)当 y ? 0 时, x ? ______ ; (2)直线对应的函数表达式是________________. 答案:(1)观察图象可知当 y ? 0 时, x ? ?2 ; (2)直线过(-2,0)和(0,1) 设表达式为 y ? kx ? b ,得

?2k ? b ? 0 b ?1
把②代入①得

① ②

k ? 0.5

∴直线对应的函数表达式是 y ? 0.5x ? 1 [来源:Www.zk5u.com] 2.议一议

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一元一次方程 0.5 x ? 1 ? 0 与一次函数 y ? 0.5x ? 1 有什么联系? (请大家根据刚做的练 习来进行解答. ) 答案: 一元一次方程 0.5 x ? 1 ? 0 的解为 x ? ?2 , 一次函数 y ? 0.5x ? 1 包括许多点. 因 此 0.5 x ? 1 ? 0 是 y ? 0.5x ? 1 的特殊情况. 当一次函数 y ? 0.5x ? 1 的函数值为 0 时,相应的自变量的值即为方程 0.5 x ? 1 ? 0 的 解. 函数 y ? 0.5x ? 1 与 x 轴交点的横坐标即为方程 0.5 x ? 1 ? 0 的解. 意图:通过本题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系,从“数”的角度看,当 一次函数 y ? 0.5x ? 1 的函数值为 0 时,相应的自变量的值即为方程 0.5 x ? 1 ? 0 的解;从 “形”的角度看,函数 y ? 0.5x ? 1 与 x 轴交点的横坐标即为方程 0.5 x ? 1 ? 0 的解. 效果:通过练习,学生明晰了函数与方程的关系,能用函数关系解决方程问题,同时也 能用方程的观点来看待函数.

第五环节

反馈练习

内容:全国每年都有大量土地被沙漠吞没, 改造沙漠, 保护土地资源已经成为一项十分紧迫 的任务,某地区现有土地面积 100 万千米 2,沙 漠面积 200 万千米 2,土地沙漠化的变化情况如 下图所示. (1)如果不采取任何措施,那么到第 5 年底,该 地区沙漠面积将增加多 少万千米 2? (2)如果该地 区沙漠的面积继续按此趋势扩大, 那么从现在开始, 第几年底后, 该地区将丧失土 地资源? (3)如果从现在开始采取植树造林措施,每年改 造 4 万千米 2 沙漠,那么到第几年底,该地区的沙漠面积能减少到 176 万千米 2. 2 解:(1)如果不采取任何措施,那么到第 5 年底,该地区沙漠面积将新增加 10 万千米 . 2 2 (2)从图象可知, 每年的土地面积减少 2 万千米 , 现有土地面积 100 万千米 , 100÷2=50, 故从现在开始,第 50 年底后,该地区将丧失土地资源. 2 2 (3)如果从现在开始采取植树造林等措施, 每年改造 4 万千米 沙漠, 每年沙化 2 万千米 ,
[来源:学*科*网]

实际每年改造面积 2 万千米 ,由于 (200 ? 176) ? 2 ? 12 ,故到第 12 年底,该地区的沙漠
2

面积能减少到 176 万千米 . 意图: 通过土地沙漠化的问题进一步培养学生的识图能力, 让学生能从图象中获取信息, 建立相关的代数式,从而求解较复杂的问题;同时,通过土地沙漠化的问题情景引导学生关 注自己身边的生存环境. 效果:通过对较复杂的问题的探究,培养了学生分析问题和解决问题的能力,并渗透德

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育教育. S(户) 内容:(续前一问题 )当得知周边地区的干旱情况 1000 · 后,育才学校的小明意识到节约用水的重要性,当天 0 在班上倡议节约用水,得到全班同学乃至全校师生的 积极响应.从宣传活动开始,假设每天参加该活动的 200 家庭数增加数量相同,最后都参加了活动,并且参加 0 20 t(天) 该活动的家庭数 S (户)与宣传时间 t (天)的函数 关系如图所示. 根据图象回答下列问题: (6)若每户每天节约用水 0.1 吨,那么活动第 20 天可节约多少吨水? (7)写出活动开展的第 t 天节约的水量 Y 与天数 t 的函数关系. 答案: (6)第 20 天可节约 100 吨水; (7) Y ? 4t ? 20 . 意 图:通过问题的层层深入,引导学生的思维向纵深发展,进一步巩固用函数的思想 解决生活中的问题.
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第六环节

探究升级

效果:学生通过合作交流,解决问题,在教师的引导下,逐步加深了对一次函数图象和 性质的运用. 说明:视学生的掌握情况,对学有余力的同学可以给出这个问题的第(8)问. (见分层 教学第 3 题)

第七环节

课堂小结

内容:本节课主要应掌握以下内容: 1.能通过函数图象获取信息. 2.能利用函数图象解决简单的实际问题. 3.初步体会方程与函数的关系. 意图:引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法,使这节课知识系统化,感性认 识上升为理性认识. 效果:学生畅所欲言,相互进行补充,从小结中感知了一次函数的图象在生活中的应用. 说明:教师视其情况,可以选择展示一些前面小节中 用过的实际问题与一次函数图象的 实例的图片,让学生体会到数学与生活的联系,激发学生的学习热情.

第八环节 布置作业
内容: 1. 课外探究 在生活中, 你还遇到过哪些可以用一次函数关系来表示的实际问题?选择你感兴趣的问 题,编制一道数学题与同学交流. 2.课外作业 习题 5.6

六、教学设计反思
(1) 设计理念
一次函数是刻画现实世界变量间关系的最为简单的模型, 其应用比比皆是. 在教学设计

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中,争取选用最具有现实生活背景,与学生生活密切相关的问题,一方面力求让学生体会数 学的广泛运用,另一方面,在学科教育中渗透德育教育.

(2)评价方式
在教学活动中教师应尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需 要,关注学生对图象 的识图能力和解决问题的过程, 应关注学生对基本知识技能的掌握情况和对一次函数与方程 之间的关系的理解.教学过程中可通过学生对“议一议” 、 “想一想”的探究情况和学生对反 馈练习的完成情况分析学生的认识状况,对于学生的回答,只要学生的方法有道理,教师应 给予鼓励和恰当的评价,帮助学生认识自我,建立自信,真正在教学的过程中发挥评价的教 育功能.

(3)分层教学
1. 某种摩托车的油箱最多可储油 10 升, 加满油后, 油箱中的剩余油量 y (升)与摩托车行驶路程 x (千米) 之间的关系如图所示. 根据图象回答下列问题: (1)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米? (2)摩托车每行驶 100 千米消耗多少升汽油? (3) 油箱中的剩余油量小于 1 升时, 摩托车将自 动报警,行驶多少千米后,摩托车将自动报警? 分析: (1)函数图象与 x 轴交点的横坐标即为摩托 车行驶的最长路程. (2)x 从 0 增加到 100 时, y 从 10 开始减少,减少的数量即为消耗的数量. (3)当 y 小于 1 时,摩托车将自动报警. 答案:(1)观察图象,得 当 y ? 0 时, x ? 500 因此一箱汽油可供摩托车行驶 500 千米. (2) x 从 0 增加到 100 时, y 从 10 减少到 8,减少了 2,因此摩托车每行驶 100 千米消耗 2 升汽油.
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

(3)当 y ? 1 时, x ? 450 因此行驶了 450 千米后,摩托车将自动报警. 2.某同学将父母给的 零用钱按每月相等的数额存放 在储蓄盒内,准备捐给希望工程. 盒内钱数 y ( 元 ) 与存钱月数 x 之间的函数关系如图 所示.观察图象回答下列问题: (1)盒内原来有多少元?2 个月后盒内有多少元? (2)该同学经过几个月能存够 200 元? (3)该同学至少存几个月存款才能超过 140 元? 解: (1)40,80. (2)当 y ? 200 时,x ? 8 ,所以该同学经过 8 个月能 存够 200 元. (3)观察图象可知,该同学经过 5 个月能超过 140 元.

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3.(续前一问题)当得知周边地区的干旱情况后,育才学校的小明意识到节约用水的重 要性, 当天在班上倡议节约用水, 得到全班同学 S/户 乃至全校师生的积极响应. 从宣传活动开始, 假 1000 设每天参加该活动的家庭数增加数量相同, 最后 · 都参加了活动, 并且参加该活动的家庭数 S(户) 0 与宣传时间 t (天)的函数关系如图所示. 根据图象回答下列问题: 200 (8)写出活动开展到第 5 天时,全校师生 0 共节约多少吨水? 答案: (8)第 5 天时,全校师生共节约 160 吨水.

20 t/天

意图:学生知识上有一定的分层,可更好地调动不同 学生的学习热情.教师可根据学生 的掌握情况,适当选择上述题目要求学生分层完成. 效果:通过分层练习,调动了不同学生的学习热情,教师应留给学生充分的时间思考, 在独立思考的基础上, 鼓励学生相互讨论,得出结果. ●附:板书设计

一次函数图象的应用(一)
一、做一做 ( 有关水库蓄水量与 干旱时间的问题) 三、议一议: 一元一次方程 0.5 x ? 1 ? 0 与一次函数 y ? 0.5x ? 1 有什 二、 练一练(小明的倡 议活动) 么联系? 五、课后作业 四、课堂练习

(保留性板书)
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(暂时性板书)

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