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人教版高数必修三第11讲:古典概型(学生版)

时间:2018-04-25


古典概型

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1.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征: 试验结果的 有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,正确理解古典概型的两大特点;树立 从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点,培养学生用随机的观点来理性地理解世界,使得 学生在体会概率意义 2.鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古典概型 的概率计算公式,掌握古典概型的概率计算公式;注意公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 的使 总的基本事件个数

用条件——古典概型,体现了化归的重要思想.掌握列举法,学会运用分类讨论的思想解决概率的计 算问题,增强学生数学思维情趣.

1.古典概型的概念 同时具有以下两个特征的试验称为古典概型: (1)________: 在一次试验中, 可能出现的结果只有________, 即只有________不同的基本事件; (2)等可能性:每个基本事件发生的可能性是________. 2.概率的古典定义 在基本事件总数为 n 的古典概型中, (1)每个基本事件发生的概率为______; (2)如果随机事件 A 包含的基本事件数为 m,由互斥事件的概率加法公式可得 P(A)=_______, 所以在古典概型中 P(A)=________________________,这一定义称为概率的古典定义. 3. 基本事件的概率 一般地, 对于古典概型, 如果试验的 n 个基本事件为 A1, A2, ?, An, 由于基本事件是两两__________ 的,则由________________________公式得 P(A1)+P(A2)+?+P(An)=P(A1∪A2∪?∪An)=P(Ω)= 1.又因为每个基本事件发生的可能性相等,即 P(A1)=P(A2)=?=P(An),代入上式得 n· P(A1)=1,即
1

P(A1)=______.

类型一 等可能事件的概率 例 1:一个口袋内装有大小相同的 1 个白球和已编有不同号码的 3 个黑球,从中摸出 2 个球, 求: (1)基本事件总数; (2)事件“摸出 2 个黑球”包含多少个基本事件? (3)摸出 2 个黑球的概率是多少?

练习 1:掷一颗骰子,观察掷出的点数. (1)求掷得奇数点的概率; (2)求掷得点数不大于 4 的概率.

练习 2:(2013· 江西文,4)集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A、B 中各任意取一个数,则这两数之 和等于 4 的概率是( 2 A. 3 ) 1 B. 2 1 C. 3 1 D. 6

类型二 古典概型的概率 例 2: 袋中装有 6 个小球, 其中 4 个白球, 2 个红球, 从袋中任意取出两球, 求下列事件的概率: (1)A:取出的两球都是白球; (2)B:取出的两球一个是白球,另一个是红球.

练习 1:袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为 1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (2)向袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同 且标号之和小于 4 的概率.

2

练习 2:(2014·全国新课标Ⅰ文,13)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一 行,则 2 本数学书相邻的概率为________. 练习 3:甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有 5 道不同的题目,基中选择题 3 道,填空题 2 道, 甲、乙两人依次各抽取一道题,求甲抽到选择题,乙抽到填空题的概率.

类型三 有放回取样与无放回取样的联系与区别 例 3:口袋内有红、白、黄颜色大小完全相同的三个小球,求: (1)从中任意摸出两个小球,摸出的是红球和白球的概率; (2)从袋中摸出一个后放回,再摸出一个,两次摸出的球是一红一白的概率; (3)从袋中摸出一个后放回,再摸出一个,第一次摸得红球,第二次摸得白球的概率; (4)从袋中依次无放回的摸出两球,第一次摸得红球,第二次摸到白球的概率.

练习 1:(1)从含有两件正品 a、b 和一件次品 c 的 3 件产品中每次任取一件,取出后不放回,连 续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率; (2)将(1)中条件“取出后不放回”改为“每次取出后放回”其余不变,再求取出的两件产品中恰 有一件次品的概率.

练习 2:一个袋中已知有 3 个黑球,2 个白球,第一次摸出球,然后再放进去,再摸第二次,则 两次都是摸到白球的概率为( 2 A. 5 4 B. 5 ) C. 2 25 4 D. 25

类型四 古典概型与解析几何的结合 例 4:设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平面上的 一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N),求使事件 Cn 的 概率最大的 n 的所有可能取值.

练习 1:连掷骰子两次(骰子六个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6)得到的点数分别记为 a 和 b,则 使直线 3x-4y=0 与圆(x-a)2+(y-b2)=4 相切的概率为________.
3

练习 2:设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,求方程 x2+bx+c=0 有实根的概率.

类型五 古典概型与统计的结合 例 5:(2014· 山东文,16)海关对同时从 A、B、C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测, 从各地区进口此种商品的数量(单位: 件)如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽 取 6 件样品进行检测. B C 地区 A 数量 50 150 100 (1)求这 6 件样品中来自 A、B、C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相同地区的 概率.

练习 1:(2014· 重庆文,17)20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:

(1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (3)从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人,求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率.

练习 2:有 1 号、2 号、3 号 3 个信箱和 A、B、C、D 4 封信,若 4 封信可以任意投入信箱,投 完为止,其中 A 信恰好投入 1 号或 2 号信箱的概率是多少?

4

1.(2014·湖北文,5)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1,点数之和大于 5 的概率记为 p2,点数之和为偶数的概率记为 p3,则( ) A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3 C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2 2.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球、2 个白球和 3 个黑球.从袋中任 取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( 1 A. 5 2 B. 5 C. 3 5 ) 4 D. 5 )

3.先后抛掷两枚均匀的硬币,出现“一枚正面,一枚反面”的概率为(

1 1 1 A. B. C. D.1 4 3 2 4.有一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同, 现从中随机取出两个小球则取出的小球上标注的数字之和为 5 或 7 的概率是( 1 A. 5 2 5 2 B. 5 C. 3 5 4 D. 5 )

5. (2014·广东文, 12)从字母 a, b, c, d, e 中任取两个不同字母, 则取到字母 a 的概率为________. [答案]

6.(2013·全国新课标Ⅱ文,13)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是 ________. 7.(2014·浙江文,14)在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张,另 1 张无奖.甲、乙两人各抽取 1 张,两人都中奖的概率是________. 8.一枚硬币连掷 3 次,求出现正面的概率.

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基础巩固 一、选择题 1.关于随机数的说法正确的是( A.随机数就是随便取的一些数字 B.随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数 C.用计算器或计算机产生的随机数为伪随机数 D.不能用伪随机数估计概率
5

)

2.用计算机随机模拟掷骰子的试验,估计出现 2 点的概率,下列步骤中不正确的是 (

)

A.用计算器的随机函数 RANDI(1,6)或计算机的随机函数 RANDBETWEEN(1,6)产生 6 个不同 的 1 到 6 之间的取整数值的随机数 x,如果 x=2,我们认为出现 2 点 B. 我们通常用计数器 n 记录做了多少次掷骰子试验, 用计数器 m 记录其中有多少次出现 2 点, 置 n=0,m=0 C.出现 2 点,则 m 的值加 1,即 m=m+1;否则 m 的值保持不变 D.程序结束.出现 2 点的频率作为概率的近似值 3.袋中有 2 个黑球,3 个白球,除颜色外小球完全相同,从中有放回地取出一球,连取三次, 观察球的颜色. 用计算机产生 0 到 9 的数字进行模拟试验, 用 0,1,2,3 代表黑球.4,5,6,7,8,9 代表白球. 在 下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为( )

160 288 905 467 589 239 079 146 351 A.3 C.5 B.4 D.6

4.某班准备到郊外野营,为此向商店订了帐篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到 帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则下列说法正确的是( A.一定不会淋雨 1 C.淋雨机会为 2 3 B.淋雨机会为 4 1 D.淋雨机会为 4 )

5.袋子中有四个小球,分别写有“神”、“十”、“飞”、“天”四个字,有放回地从中任取 一个小球,取到“飞”就停止,用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率:先由计算器产生 1 到 4 之间取整数值的随机数,且用 1、2、3、4 表示取出小球上分别写有“神”、“十”、“飞”、 “天”四个字,以每两个随机数为一组,代表两次的结果.经随机模拟产生了 20 组随机数: 13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 21 34 据此估计,直到第二次就停止概率为( 1 A. 5 1 C. 3 ) 1 B. 4 1 D. 2

6.袋中有 4 个小球,除颜色外完全相同,其中有 2 个黄球,2 个绿球.从中任取两球.取出的 球为一黄一绿的概率为( 1 A. 4 3 C. 4 二、填空题 7.利用骰子等随机装置产生的随机数 ________伪随机数,利用计算机产生的随机数 ________
6

) 1 B. 2 1 D. 3

伪随机数(填“是”或“不是”). 8.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取 2 根竹 竿,则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为________. 三、解答题 9.掷三枚骰子,利用 Excel 软件进行随机模拟,试验 20 次,计算出现点数之和是 9 的概率.

10.同时抛掷两枚均匀的正方体骰子,用随机模拟方法计算上面都是 1 点的概率.

能力提升 一、选择题 1.下列说法错误的是( )

A.用计算机或掷硬币的方法都可以产生随机数 B.用计算机产生的随机数有规律可循,不具有随机性 C.用计算机产生随机数,可起到降低成本,缩短时间的作用 D.可以用随机模拟的方法估计概率 2.从分别写有 A,B,C,D,E 的 5 张卡片中任取 2 张,这 2 张卡片上的字母恰好是按字母顺 序相邻的概率为( 1 A. 5 3 C. 10 ) 2 B. 5 7 D. 10

3.已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮 恰有两次命中的概率,先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示命中, 5,6,7,8,9,0 表示不命中,再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 889 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( A.0.35 C.0. 20 B.0.25 D.0.15 )

4. (2015· 陕西西安期末)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6),
7

骰子朝上的面的点数分别为 x,y,则 log2xy=1 的概率为( 1 A. 6 1 C. 12 二、填空题 5 B. 36 1 D. 2

)

N1 5.从 13 张扑克牌中随机抽取一张,用随机模拟法估计这张牌是 7 的概率为 ,则估计这张牌 N 不是 7 的概率是________. 6.在利用整数随机数进行随机模拟试验中,整数 a 到整数 b 之间的每个整数出现的可能性是 ________. 三、解答题 7.甲、乙两支篮球队进行一局比赛,甲获胜的概率为 0.6,若采用三局两胜制举行一次比赛, 试用随机模拟的方法求乙获胜的概率.

8. (2015· 河南新乡调研)为了加强中学生实践、 创新和团队建设能力的培养, 促进教育教学改革, 市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛.某中学举行了选拔赛,共有 150 名学生参加,为了了解 成绩情况,从中抽取 50 名学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计,清你根据尚未完成 的频率分布表,解答下列问题: (1)完成频率分布表(直接写出结果),并作出频率分布直方图; (2)若成绩在 90.5 分以上的学生获一等奖,试估计全校获一等奖的人数,现在从全校所有获一等 奖的同学中随机抽取 2 名同学代表学校参加竞赛,某班共有 2 名同学荣获一等奖,求该班同学恰有 1 人参加竞赛的概率. 分组 第1组 第2组 第3组 第4组 合计 频数 60.5~70.5 70.5~80.5 80.5~90.5 90.5~100.5 50 1 17 18 0.36 频率 0.26

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