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圆锥曲线共同性质

时间:2013-09-29


圆锥曲线的共同性质

圆锥曲线的共同性质
【教学目标】 1、 知识与技能 通过本节的学习,掌握圆锥曲线的共同性质,理解离必率、焦点、准线的意义。 2、 过程与方法 教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线,通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。 3、 情感、态度与价值观 通过本节的学习,可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力,感受圆锥曲线的统一美。 【教学重点】圆锥曲线第二定义的推导 【教学难点】对圆锥曲线第二定义的理解与运用 【教学方法】讨论发现法 【教学过程】

一、知识回顾
1、 思考: 将其变形为:
2 2 2 在推导椭圆的标准方程时,我们曾得到这样的一个式子: a ? cx ? a ( x ? c ) ? y ,

( x ? c) 2 ? y 2 a ?x c
你能解释这个式子的意义吗?
2

?

c , a

这个式子表示一个动点 P(x,y)到定点(c,0)与到定直线 x ? 具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗?

a2 c 的距离之比等于定值 ,那么 c a

二、新课讲解
例 1 已知点点 P(x,y)到定点 F(c,0)的距离与到定直线 l : x ?
求点 P 的轨迹。 解:由题意可得

a2 c 的距离之比是常数 (a ? c ? 0) , c a

( x ? c) 2 ? y 2 a ?x c
化简得
2

?

c a

(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) 。
令 a ? c ? b ,则上式可以化为
2 2 2

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2
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圆锥曲线的共同性质

这是椭圆的标准方程。 所以点 P 的轨迹是焦点为(c,0)(-c,0) , ,长轴长、短轴长分别为 2a、2b 的椭圆。

变式 若将条件 a ? c ? 0 改为 0 ? a ? c 呢?
由上例知,椭圆上的点 P 到定点 F 的距离和它到一条定直线 l (F 不在 l 上)的距离的比是一个常数, 这个常数就是椭圆的离必率 e 类似地,可以得到:双曲线上的点 P 到定点 F(c,0)的距离和它到定直线 l : x ? ( c ? a ? 0, ? c ? a )的距离的比是一个常数,这个常数 b
2 2 2

a2 c

c 就是双曲线的离心率 e 。 a

圆锥曲线的共同定义 :圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l (F 不在定直线 l 上)的距
离之比是一个常数 e 。 这个常数 e 叫做圆锥曲线的离心率,定点 F 就是圆锥曲线的焦点,定直线 l 就是该圆锥曲线的准线。

注:
(1) 椭圆的离心率 e 满足 0< e <1,双曲线的的离心率 e >1,抛物线的的离心率 e =1。 (2) 根据图形的对称性知,椭圆和双曲线都有两条准线,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆或 双曲线,准线方程都是 x ? ?

a2 ;对于中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆或双曲线,准线方 c

程都是 y ? ?

a2 。 c

(3) 圆锥曲线的定义深刻提示了三类曲线的内在联系,使焦点、离心率和准线等构成一个和谐的整 体,当圆锥曲线上一点与一焦点和相应准线的距离需要建立联系时,常考虑第二定义;当圆锥 曲线上一点与两焦点距离之和(或差)为常数时,常考虑第一定义。

三、新知巩固:
1、学生填表(见课本 P47 习题 2.5 1、填空) 2、学生板演: (见课本 P46 (1)-(4) )

四、知识拓展:
椭圆的焦半径公式:若 P(x,y)是椭圆上任一点,F1、F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦 a2 b2

PF 点 和 右 焦 点 , 则 PF1 ? a ? ex, 2 ? a ? ex ; 若 P ( x , y ) 是 椭 圆 上 任 一 点 , F1 、 F2 是 椭 圆

y2 x2 PF ? ? 1 (a ? b ? 0) 的下焦点和上焦点,则 PF1 ? a ? ey, 2 ? a ? ey ; a2 b2
例 2 若椭圆的长轴长是短轴长的 4 倍,一条准线方程是 y ? ?4 ,求椭圆的标准方程。

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圆锥曲线的共同性质

例 3 已知椭圆

x2 y ? ? 1 上有一点 P,到其左、右焦点距离之比为 1:3,求点 P 到两准线的距离 100 36

及点 P 的坐标。

五、课堂小结:
1、圆锥曲线的共同性质 2、椭圆第二定义的简单应用

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