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高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理达标训练新人教A版选修4_1

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一 圆周角定理
更上一层楼 基础·巩固 1 下面是关于圆周角定理的句子,表述简明的一项是( ) A.一条弧所对的圆周角等于这个圆上的弧所对的圆心角的一半 B.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 C.一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半 D.圆上的一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半 思路解析:本题就一条数学定理的表述考查我们的语感.显然 A 有些啰嗦, C 太简略而不具体, D 含混不清,唯有 B 简扼明了. 答案:B 2 如图 2-1-14,已知 AB 是半圆 O 的直径,弦 AD、BC 相交于点 P,那么

CD 等于( AB

)

图 2-1-14 A.sin∠BPD B.cos∠BPD C.tan∠BPD D.cot∠BPD 思路解析:本题主要考查直径所对的圆周角是直角,同时也考查了三角形相似的判定及性质 和锐角三角函数的定义,解这道题的关键是将

CD 转化为某一直角三角形中的两条线段之 AB

比,再根据三角函数的定义来判断.连结 BD,由 BA 是直径,知△ADB 是直角三角形. 根据△CPD∽△APB,

PD CD ? =cos∠BPD. PB AB

答案:B 3 已知 D、C 是以 AB 为直径的半圆弧上的两点,若 周角为 35°,则 所对的圆周角为_________. 所对的圆周角为 25°, 所对的圆

思路解析: 本题中 C、D 两点的位置有两种情况,如图所示,利用圆周角与所对弧的度数的关系,即可 得到结果.

1

答案:30°或 80° 4 如图 2-1-15,已知在⊙O 中,直径 AB 为 10 cm,弦 AC 为 6 cm,∠ACB 的平分线交⊙O 于 D, 求 BC、AD 和 BD 的长.

图 2-1-15 思路分析:本题要求三条线段 BC、AD 和 BD 的长,可以把这三条线段转化为直角三角形的直 角边的问题,由于已知 AB 为⊙O 的直径,可以得到△ABC 和△ADB 都是直角三角形,又因为 CD 平分∠ACB,所以可得 BC、AD、DB 的长. 解:∵AB 为直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°. 在 Rt△ABC 中,BC= ∵CD 平分∠ACB, ∴ = . = ,可以得到弦 AD=DB.这时由勾股定理可得到三条线段

AB2 ? AC2 ? 102 ? 62 =8(cm).

在等腰直角三角形 ADB 中,AD=BD=

2 2 AB= ×10= 5 5 (cm). 2 2

综合·应用 5△ABC 内接于⊙O,AB=AC,D 为 BC 上一点,E 是直线 AD 和⊙O 的交点,

图 2-1-16 (1)求证:AB =AD·AE. (2)当 D 为 BC 延长线上的一点时, (1)问中的结论还成立吗?若成立, 请证明;若不成立, 试说明理由. 思路分析: (1) 连结 BE, 证明△ABD∽△AEB 即可. (2) 连结 BE, 仍然可以通过证明△ABD∽△AEB 得出结论.
2

2

O 证明:(1)如图(1),连结 BE.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ACB=∠AEB,∴∠ABC=∠AEB. 又∵∠BAE 公共,∴△ABD∽△AEB. 2 ∴AB∶AE=AD∶AB,即 AB =AD·AE. (2)如图(2),连结 BE,结论依然成立,证法同(1). 6 如图 2-1-17,足球场上有句顺口溜:“冲向球门跑,越近就越好;歪着球门跑,射点要选 好.”可见踢足球是有“学问”的.在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配合向对方球门 MN 进攻,当甲带球冲到 A 点时,乙已跟随冲到 B 点,此时甲自己直接射门好,还是迅速将球回 传给乙,让乙射门好?

图 2-1-17 思路分析:用数学方法从两点的静止的状态来考虑.如果两个点到球门的距离相差不大, 要确 定较好的射门位置,关键是看这两点各自对球门 MN 的张角的大小,当张角较小时,容易被 对方守门员拦截. 解:不妨设过 M、N、B 作圆,则点 A 在圆外. 设 MA 交圆于 C,则∠MAC<∠MCN. 而∠MCN=∠MBN,∴∠MAC<∠MBN. 因此,在点 B 射门较好.

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