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解答题专项训练 立体几何

时间:2016-05-04

解答题专项训练四
1.[2016· 银川模拟]如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC= CB=a,∠ABC=60° ,四边形 ACFE 是矩形,且平面 ACFE⊥平面 ABCD,点 M 在线段 EF 上.

(1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2)当 EM 为何值时,AM∥平面 BDF?并证明你的结论. 解 (1)证明:在梯形 ABCD 中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=a, ∠ABC=60° , ∴四边形 ABCD 是等腰梯形, 且∠DCA=∠DAC=30° ,∠DCB=120° , ∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90° , ∴AC⊥BC. 又∵平面 ACFE⊥平面 ABCD,交线为 AC, ∴BC⊥平面 ACFE. 3 (2)当 EM= 3 a 时,AM∥平面 BDF, 在梯形 ABCD 中,设 AC∩BD=N,连接 FN,则 CN∶NA=1∶ 2. 3 ∵EM= 3 a,而 EF=AC= 3a,∴EM∶MF=1∶2, ∴MF 綊 AN,∵四边形 ANFM 是平行四边形,∴AM∥NF,

又∵NF?平面 BDF,AM?平面 BDF,∴AM∥平面 BDF. 2. [2015· 四川高考]一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图 的示意图如图所示. (1)请将字母 F, G, H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系,并证明你的结论; (3)证明:直线 DF⊥平面 BEG.



(1)点 F,G,H 的位置如图所示.

(2)平面 BEG∥平面 ACH,证明如下: 因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 BC∥FG,BC=FG, 又 FG∥EH,FG=EH,所以 BC∥EH,BC=EH, 于是四边形 BCHE 为平行四边形, 所以 BE∥CH. 又 CH?平面 ACH,BE?平面 ACH,

所以 BE∥平面 ACH. 同理 BG∥平面 ACH. 又 BE∩BG=B, 所以平面 BEG∥平面 ACH. (3)证明:连接 FH. 因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 DH⊥平面 EFGH. 因为 EG?平面 EFGH,所以 DH⊥EG. 又 EG⊥FH,DH∩FH=H,所以 EG⊥平面 BFHD. 又 DF?平面 BFHD,所以 DF⊥EG. 同理,DF⊥BG. 又 EG∩BG=G,所以 DF⊥平面 BEG. 3.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2,E 为棱 CC1 的中点.

(1)求证:B1D1⊥AE; (2)求证:AC∥平面 B1DE.

证明

(1)连接 BD,

则 BD∥B1D1. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD. ∵CE⊥平面 ABCD, ∴CE⊥BD. 又 AC∩CE=C, ∴BD⊥平面 ACE. ∵AE?平面 ACE, ∴BD⊥AE, ∴B1D1⊥AE. (2)取 BB1 的中点 F,连接 AF,CF,EF, 则 FC∥B1E, ∴CF∥平面 B1DE. ∵E,F 是 CC1,BB1 的中点,∴EF 綊 BC. 又 BC 綊 AD,∴EF 綊 AD, ∴四边形 ADEF 是平行四边形, ∴AF∥ED. ∵AF?平面 B1DE,ED?平面 B1DE, ∴AF∥平面 B1DE. ∵AF∩CF=F, ∴平面 ACF∥平面 B1DE.

又∵AC?平面 ACF, ∴AC∥平面 B1DE. 4. [2016· 山东日照模拟]如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60° ,Q 为 AD 的中点.

(1)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)点 M 在线段 PC 上,PM=tPC,试确定实数 t 的值,使 PA∥平 面 MQB. 解 60° , (1)证明:连接 BD,因为四边形 ABCD 为菱形,且∠BAD=

所以△ABD 为正三角形, 又 Q 为 AD 的中点,所以 AD⊥BQ. 又因为 PA=PD,所以 AD⊥PQ. 又 BQ∩PQ=Q,所以 AD⊥平面 PQB, 又 AD?平面 PAD,所以平面 PQB⊥平面 PAD. (2)若 PA∥平面 MQB,连接 AC 交 BQ 于 N,连接 MN. 由 AQ∥BC 可得,△ANQ∽△CNB,

AQ AN 1 所以BC=NC=2, 因为 PA∥平面 MQB,PA?平面 PAC, 平面 PAC∩平面 MQB=MN,所以 PA∥MN, PM AN 1 1 因此, PC =AC=3,即 t 的值为3. 5.[2016· 海淀模拟] 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,PA=PB,且侧面 PAB⊥平面 ABCD,点 E 是棱 AB 的中点.

(1)求证:CD∥平面 PAB; (2)求证:PE⊥AD; (3)若 CA=CB,求证:平面 PEC⊥平面 PAB. 证明 (1)因为底面 ABCD 是菱形, 所以 CD∥AB. 又因为 CD?平面 PAB,AB?平面 PAB, 所以 CD∥平面 PAB. (2)因为 PA=PB,点 E 是棱 AB 的中点, 所以 PE⊥AB. 因为平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,PE? 平面 PAB, 所以 PE⊥平面 ABCD, 因为 AD?平面 ABCD, 所以 PE⊥AD. (3)因为 CA=CB,点 E 是棱 AB 的中点,

所以 CE⊥AB. 由(2)可得 PE⊥AB, 因为 PE∩CE=E, 所以 AB⊥平面 PEC, 又因为 AB?平面 PAB, 所以平面 PAB⊥平面 PEC. 6. 如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互 相垂直.AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.

(1)求证:AB⊥DE; (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值. 解 (1)证明:取 AB 的中点 O,连接 EO,DO. 因为 EB=EA,所以 EO⊥AB, 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB=2CD=2BC,AB⊥BC, 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB⊥OD,又 OD∩OE=O, 所以 AB⊥平面 EOD, 所以 AB⊥DE. (2)因为平面 ABE⊥平面 ABCD,且 AB⊥BC, 所以 BC⊥平面 ABE, 则∠CEB 即为直线 EC 与平面 ABE 所成的角. 设 BC=a,则 AB=2a,BE= 2a,所以 CE= 3a, CB a 3 则在直角三角形 CBE 中,sin∠CEB=CE= =3, 3a

3 所以直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 3 . 7.[2016· 潍坊模拟]如图所示,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点 E、F 分别在 BC、AD 上,EF∥ AB.现将四边形 ABEF 沿 EF 折起,使平面 ABEF⊥平面 EFDC,设 AD 中点为 P.

(1)当 E 为 BC 中点时,求证:CP∥平面 ABEF. (2)设 BE=x, 问当 x 为何值时, 三棱锥 A-CDF 的体积有最大值? 并求出这个最大值.

解 (1)证明:取 AF 的中点 Q,连 QE、QP, 1 则 QP 綊2DF, 又 DF=4,EC=2,且 DF∥EC, 所以 QP 綊 EC,即四边形 PQEC 为平行四边形, 所以 CP∥EQ,又 EQ?平面 ABEF,CP?平面 ABEF, 故 CP∥平面 ABEF. (2)因为平面 ABEF⊥平面 EFDC, 平面 ABEF∩平面 EFDC=EF,AF⊥EF, 所以 AF⊥平面 EFDC.

由已知 BE=x,所以 AF=x(0<x≤4),FD=6-x, 1 1 1 1 1 故 VA-CDF=3S△CDF· AF=3×2×2×(6-x)· x=3(6x-x2)=3[-(x- 1 3)2+9]=-3(x-3)2+3. 所以,当 x=3 时,VA-CDF 有最大值,最大值为 3. 8.[2015· 福建高考]如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异 于 A,B 的点,PO 垂直于圆 O 所在的平面,且 PO=OB=1.

(1)若 D 为线段 AC 的中点,求证:AC⊥平面 PDO; (2)求三棱锥 P-ABC 体积的最大值; (3)若 BC= 2,点 E 在线段 PB 上,求 CE+OE 的最小值. 解 点, (1)证明:如图,在△AOC 中,因为 OA=OC,D 为 AC 的中

所以 AC⊥DO. 又 PO 垂直于圆 O 所在的平面, 所以 PO⊥AC.

因为 DO∩PO=O, 所以 AC⊥平面 PDO. (2)因为点 C 在圆 O 上, 所以当 CO⊥AB 时,C 到 AB 的距离最大,且最大值为 1. 1 又 AB=2,所以△ABC 面积的最大值为2×2×1=1. 又三棱锥 P-ABC 的高 PO=1, 1 1 故三棱锥 P-ABC 体积的最大值为3×1×1=3. (3)在△POB 中,PO=OB=1,∠POB=90° , 所以 PB= 12+12= 2.

同理 PC= 2,所以 PB=PC=BC. 在三棱锥 P-ABC 中,将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BC′P,使 之与平面 ABP 共面,如图所示. 当 O,E,C′共线时,CE+OE 取得最小值. 又 OP=OB,C′P=C′B, 所以 OC′垂直平分 PB,即 E 为 PB 的中点, 2+ 6 2 6 从而 OC′=OE+EC′= 2 + 2 = 2 , 所以 CE+OE 的最小值为 2+ 6 2 .


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