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江苏省高邮市界首中学2015届高三高考模拟数学试题(4)参考答案

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2015 年高考模拟试卷(4)参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 1. {1, 2, 4,5}; 2. 2 ? 3i ; 3.

7.①② ; 8.
x? y x? y ?

9 ? 2 ; 9. ; 10. .【解析】 2 4 12
? 1? 2 xy x ? y ? 2 xy ? 1? 2 xy 4 xy ? 2 ,当且仅当 x ? y 时,取等号; 2

5 ; 6

4.1200;

5.14;

6. y 2 ? ?6x ;

x? y x ? y ? 2 xy

?3 ? 11. ? ,2? . 【解析】 以 CA、CB 所在直线为 x、y 轴,建立平面直角坐标系,设 M(x,y), ?2 ? 则 x+y=2,y=2-x,即 M(x, 2-x),又 MN= 2,所以点 N 坐标为(x+1,2-x-1),即 N(x
3 (0≤x≤1), 2 ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? 1 ???? 3 所以 x= 时 CM ? CN 取最小值 ,x=0 或 1 时 CM ? CN 取最大值 2,因此 CM ? CN 的取值 2 2 3 ? 2 ? 范围为?2,2?; 12. ( x ?1) ? y 2 ? 1 .【解析】∵当 P 在圆 C 上运动时∠APB 恒为 60°,∴
2 +1,1-x),于是 CM ? CN =x(x+1)+(2-x) (1-x)=2x2-2x+2= 2( x ? ) ?

???? ? ????

1 2

圆 M 与圆 C 一定是同心圆,∴可设圆 M 的方程为(x-1)2+y2=r2.当点 P 坐标是(3,0)时,设直 线 AB 与 x 轴的交点为 H,则 MH+HP=2,MH= ×

1 1 3 3 r ,AB=2× r ,所以 r +2× r 2 2 2 2

3 =2,解得 r=1,所以所求圆 M 的方程为(x-1)2+y2=1; 2 3 13. .【解析】设 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,依题意知 f (0) ? 0且f ' (0) ? 0 ,∴ 4
c ? d ? 0 ,故 f ( x) ? ax3 ? bx2 , f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ,由 y ? 1 ? 2 x ? x 2 及点 Q 在

其上,可设 Q 点的坐标为 (1 ? cos? ,1 ? sin ? ),? ? [0, ? ] . 由 Q 为 y ? f ( x) 的一个极值
3 2 ? ?1 ? sin ? ? a(1 ? cos? ) ? b(1 ? cos? ) 点得 ? , 2 ? ?0 ? 3a(1 ? cos? ) ? 2b(1 ? cos? )

? ?a ? 2b ? 显然 cos? ? ?1,? ? ? ,∴ 1 ? cos ? ? ? ,∴ ? 3a ?b ? ? ?

? 2(1 ? sin ? ) (1 ? cos? ) 3 , 3(1 ? sin ? ) (1 ? cos? ) 2

2b 1 ? cos ? 3 1 ? sin ? ) ? f '( )? ? , 3a 2 2 1 ? cos ? 3 1 ? sin ? 3 3 ? ? k OQ ,其最小值为 . 数形结合可求得 ? 2 1 ? cos ? 2 4

∵ a ? 0 ,∴ f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx 存在最大值 f ' (?

14.92.【解析】易知 d=0,成立. 当 d>0 时, a54 ? a1 ? 53d ? 2014? a1 ? 2014? 53d

ak ? a54 ? ( k ? 54 )d ? 2014? ( k ? 54 )d

a54 ? a1ak ? ( 2014? 53d )?2014? ( k ? 54 )d ? ? 53( 38 ? d )?2014? ( k ? 54 )d ? ? 2014? 2014
2

( 38 ? d )?2014? ( k ? 54d )? ? 38? 2014

? ( k ? 54 )d 2 ? 38( k ? 107)d ? 0 ? ( k ? 54 )d ? 38( k ? 107)
kd ? 54d ? 38d ? 38?107 ? ( d ? 38 )k ? 54 ? 38?107
k? 54 d ? 38 ? 107 54( d ? 38 ) ? 54 ? 38 ? 38 ? 107 38 ? 53 38 ? 53 ? ? 54 ? ? 54 ? ? N* d ? 38 d ? 38 d ? 38 38 ? d
?a1 ? 2014 ? 53d ? 53( 38 ? d ) ? 0 ? 38 ? d ? 0 ?d ? 0
? 0 ? 38 ? d ? 38

又? ?

?38 ? d ? 1, 2,19 , ? d ? 3 7 , 3 6 ,,所以公差 19 d 的所有可能取值之和为 92.
二、解答题 15. (1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) , 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即 2C ? A ? B , 得 C ? ? ; 3 (2)法一:由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a ? b ? (sin A ? sin B) ? sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) ? 3 cos ? , 3 3

3 1 ?a?b? 3. ? cos ? ? 1 , 2 3 3 2 2? 3 3 ? ? A) ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) , 法二: a ? b ? sin A ? sin B ? sin A ? sin( 3 2 2 6

?

?

?? ?

?



0? A?

1 ? 3 2? ? ? 5? ?a?b? 3 . ,? ? sin( A ? ) ? 1,? , ? A? ? 2 6 2 3 6 6 6

16.(1)设 PD ? x ,设 P 作 PH ? BD 于 H ,? 平面SBD ? 平面ABCD 且 BD 为交线, 则 PH ? 平面 ABCD ,又 SO ? 平面ABCD ? PH // SO , 在 Rt ?SOB 中, SO ?

SB 2 ? BO 2 ?

6 a, 2

PH PD PD ? SO ? ? ? PH ? ? SO SD SD

x?

6 a 3 2 x, 2a 2

1 1 6 3 6 3 ?VSPAC ? VS ? ACD ? VP ? ACD ? ? ( ? a ? a)( a? x) ? a , 3 2 2 2 18
解得 x ?

SP 2 2 ? ? 2. a? PD 1 3

(2)取 SP 中点 Q ,连结 QE, BQ , 则 EQ / / PC, EQ ? 平面PAC,PC ? 平面PAC,? EQ / / 平面PAC , 则 BQ / / PO, BQ ? 平面PAC,PO ? 平面PAC,? BQ / / 平面PAC , 而 EQ与BQ 为平面 BEQ 内的两条相交直线,?平面BEQ // 平面PAC , 而 BE ? 平面BEQ ,? BE // 平面APC . 【注】第(2)问,也可以连结 ED,ED 交 CP 于 Q,用平几知识证明 Q 为 ED 中点,进而证 明 OQ∥BE,从而获证.

AC ? x ?1 ? x , CD ? 2cos x ,因为 C 为圆周上靠近 A 的一点, D 17.(1)由题意知, ?

为圆周上靠近 B 的一点,且 CD // AB ,所以 0 ? x ?
? ?? 所以 y ? x ? 2cos x , x ? ? 0, ? . ? 2?

? , 2

(2)记 f ? x ? ? x ? 2cos x ,则 f ?( x) ? 1 ? 2sin x , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 列表 x
f ?( x )

? , 6

(0, + 递增

? ) 6

? 6

? ? ( , ) 6 2

0



f (x) 所以函数 f ? x ? 在 x ?
? ? 即 f( )? ? 3, 6 6

极大值 递减

π 处取得极大值,这个极大值就是最大值, 6

答:观光路线总长的最大值为

? ? 3 千米. 6

2 2 2 18.(1)设 F 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? ,其中 c ? a ? b ,



F1F2 DF1

? 2 2 ,得 DF1 ?

F1F2 2 2

?

2 c. 2

从而 S?DF1F2 ?

1 2 2 2 DF1 ? F1F2 ? c ? , 故 c ? 1. 2 2 2
9 2 3 2 2 2 2 ? DF1 ? F1 F2 ? ,因此 DF2 ? ,由 DF . 1 ?F 1F 2 得 DF2 2 2 2

从而 DF1 ?

2 2 2 所以 2a ? DF 1 ? DF 2 ? 2 2 ,故 a ? 2, b ? a ? c ? 1 .

x2 ? y 2 ? 1. 因此,所求椭圆的标准方程为 2

(2)如图,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1相交, P 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? 是两个交 2

C 的切线,且 F1 P ? F2 P2 由圆和椭圆的对称性,易知 点, y1 ? 0, y2 ? 0 , F1 P 1 , F2 P 2 是圆 1

x2 ? ? x1 , y1 ? y2 , PP 1 2 ? 2 | x1 | ,
由(1)知 F 1 ? ?1,0? , F 2 ?1,0 ? ,所以 F 1P 1 ? ? x1 ? 1, y1 ? , F 2P 2 ? ? ?x1 ?1, y1 ? ,

???? ?

???? ?

? F2 P2 得 ? ? x1 ? 1? ? y12 ? 0 , 再由 F1 P 1
2

由椭圆方程得 1 ? 解得 x1 ? ?

x12 2 ? ? x1 ? 1? ,即 3x12 ? 4x1 ? 0 , 2

4 或 x1 ? 0 . 3

当 x1 ? 0 时, P 1, P 2 重合,此时题设要求的圆不存在. 当 x1 ? ?

4 C ,设 C ? 0, y0 ? 时,过 P 1, P 2 分别与 F 1P 1 , F2 P 2 垂直的直线的交点即为圆心 3 5 1 y1 ? y0 y1 ? ? ?1, 而 y1 ? x1 ? 1 ? , 故 y0 ? . 3 3 x1 x1 ? 1
2 2

由 CP 1 ? F 1P 1, 得

4 2 ? 4? ?1 5? 圆 C 的半径 CP . 1 ? ?? ? ?? ? ? ? 3 ? 3? ?3 3?
综上,存在满足条件的圆,其方程为 x 2 ? ? y ? ? ?

? ?

5? 3?

2

32 . 9

3 2 2 19.(1)由 f ?x? ? x ? x ? bx 得 f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b ,因 f ?x ? 在区间 ?1,2?上不是单调函数.

所以 f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b 在 ?1,2?上最大值大于 0,最小值小于 0,
2

1? 1 ? f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b ? 3? x ? ? ? b ? , 3? 3 ?
2

2

? f ??x ?max ? 16 ? b ,? ?16 ? b ? ?5 . ?? ? f ??x ?min ? 5 ? b
(2)由 g ?x? ? ? x ? ?a ? 2?x ,得 ?x ? ln x ?a ? x ? 2 x ,
2 2

? x ? ?1, e?,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,? ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 .

? x2 ? 2x ? x2 ? 2x ?a ? 恒成立,即 a ? ? ? x ? ln x ? ? . x ? ln x ? ? min
令 t ?x ? ?

x2 ? 2x ?x ? 1??x ? 2 ? 2 ln x ? , , ?x ? ?1, e?? ,求导得 t ??x ? ? x ? ln x ?x ? ln x ?2

当 x ? ?1, e? 时, x ? 1 ? 0,0 ? ln x ? 1, x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,从而 t ??x ? ? 0 .

? t ? x ?在 ?1, e? 上是增函数,?tmax ?x? ? t ?1? ? ?1 .
? a ? ?1 .
(3)由条件, F ?x ? ? ?

?? x3 ? x 2 , x ? 1 ?a ln x, x ? 1

,

假设曲线 y ? F ?x ? 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧,
3 2 不妨设 P?t , F ?t ???t ? 0? ,则 Q ? t , t ? t ,且 t ? 1 ,

?

?

? ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,?OP ? OQ ? 0 ,

? ?t 2 ? F ?t ??t 3 ? t 2 ? ? 0

?*?

是否存在 P, Q 等价于方程 ?*? 在 t ? 0 且 t ? 1 是否有解.
2 3 2 3 2 4 2 ①当 0 ? t ? 1 时,方程 ?*? 为 ?t ? ? ?t ? t ?? t ? t ? ? 0 ,化简 t ? t ? 1 ? 0 ,此方程无解;

2 3 2 ②当 t ? 1 时,方程 ?*? 为 ? t ? a ln t t ? t ? 0 ,即

?

?

1 ? ?t ? 1? ln t a

设 h?t ? ? ?t ? 1?ln t ?t ? 1? ,则 h??t ? ? ln t ? ? 1 , 显然,当 t ? 1 时, h??t ? ? 0 ,即 h ?t ? 在 ?1,??? 上为增函数.

1 t

? h?t ?的值域为 ?h?1?,???,即 ?0,??? ,? 当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解.
? 对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标
原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上. 20.(1)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q,

b-a 则 d= 6 ,q=

6

b a .

a+b a3=a+3d= 2 ,b3=aq3= ab. a3 5 b 1 因为b =4,所以 2a-5 ab+2b=0,解得a=4 或4. 3 λ-1 λ-1 (2)因为 λa=a+(m+1)d,所以 d= a,从而得 an=a+ a×n. m+1 m+1 因为 λa=a×q
m+1

1 n m + 1 m + 1. ,所以 q=λ ,从而得 bn=a×λ

n (λ-1)(n-5) m + 1. 因为 an-5=bn,所以 a+ ×a=a×λ m+1 n (λ-1)(n-5) m + 1(*). 因为 a>0,所以 1+ =λ m+1 (λ-1)(n-5) 因为 λ,m,n∈N*,所以 1+ 为有理数. m+1 n m + 1必须为有理数. 要使(*)成立,则 λ 因为 n≤m,所以 n<m+1. n m + 1为无理数,不满足条件. 若 λ=2,则 λ 同理,λ=3 不满足条件. n 2n 2n 2n 当 λ=4 时,4m+1=2m+1.要使 2m+1为有理数,则 必须为整数. m+1 又因为 n≤m,所以仅有 2n=m+1 满足条件. 3(n-5) 所以 1+ =2,从而解得 n=15,m=29. m+1 综上,λ 最小值为 4,此时 m 为 29. (3)证法一:设 cn>0,Sn 为数列{cn}的前 n 项的和. Sn 先证:若{cn}为递增数列,则{ n }为递增数列. Sn nbn+1 证明:当 n∈N*时, n < n =bn+1.

Sn n+1 Sn Sn+1 Sn 因为 Sn+1=Sn+bn+1>Sn+ n = n Sn,所以 n < ,即数列{ n }为递增数列. n+1 Sn 同理可证,若{cn}为递减数列,则{ n }为递减数列. Sm+1 Sn ①当 b>a 时,q>1.当 n∈N*,n≤m 时, > . m+1 n aq(qm 1-1) aq(qn-1) + q-1 q-1 aqm 1-a aqn-a 即 > ,即 > n . n m+1 m+1 b-a + 因为 b=aqm 1,bn=aqn,d= , m+1 bn-a 所以 d> n ,即 a+nd>bn,即 an>bn. Sm+1 Sn ②当 b<a 时,0<q<1,当 n∈N*,n≤m 时, < . m+1 n aq(qm 1-1) aq(qn-1) q-1 q-1 即 < . n m+1 aqm 1-a aqn-a 因为 0<q<1,所以 > n .以下同①. m+1 综上, an>bn(n∈N*,n≤m). 第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.A.因 AE=AC,AB 为直径, 故∠OAC=∠OAE. 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠PDE, M ? 所以,∠PDE=∠POC.
+ + +

?1 2? ?5 8 ? ??? ? ?3 4? ?4 6?

? ?2 1 ? 1 2 ?1 2? ?1 ? ?2 ,? A ? ? 3 B.(1)设 A ? ? ,则 A ? , 1? ? ? ? 3 4 3 4 ? ? ? ?2 2?
? ?2 1 ? ?5 8 ? ? ? ? ? 2 1? ?M ? ? 3 1 ? ? ? ? 4 6 ? ? ? ? ?1 1? ?2 2?

(2)? M ? ? ? ? ? ? ? ? ? M ? 即?

? x ? ? x? ? ? y? ? y ?

?x ? ? y?

?1

? x? ? ? 1?1 ? ? x? ? ? y ? ? ? ? ? 1 2 ? ? y ?? , ? ? ? ?? ?

? x ? x? ? y?, ? y ? ? x? ? 2 y?,
2 2

代入 x ? 2 xy ? 2 y ? 1可得

? x? ? y ? ?

2

? 2 ? x? ? y? ?? ? x? ? 2 y? ? ? 2 ? ? x? ? 2 y? ? ? 1 ,即 x?2 ? 4x?y? ? 5 y?2 ? 1 ,
2

故曲线 C ? 的方程为 x ? 4 xy ? 5 y ? 1.
2 2

C.(Ⅰ)曲线 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ,极坐标方程为 ? 2 ? 1 ? 2? cos? , 曲线 C2 的直角坐标方程为 y ? x ? 1 ; (Ⅱ) 曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的坐标为 (0, ?1) ,极坐标为 (1, D.因为 x,y,z 都是为正数,所以 同理可得
x y 1 x y 2 ? ? ( ? )≥ . yz zx z y x z

3? ). 2

y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ . zx xy x xy yz y x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . yz zx xy x y z

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得

22.(1)从 9 个不同的元素中任取 3 个不同的元素,为古典概型. 记“ a , b, c 中任意两数之差的绝对值均不小于 2”为事件 A,
3 其基本事件总数为 n ? C9 .

3 由题意, a , b, c 均不相邻,利用插空法得,事件 A 包含基本事件数 m ? C7 ,

所以, a , b, c 中任意两数之差的绝对值均不小于 2 的概率为 (2)

5 . 12

?
P

0

1

2

5 12

1 2

1 12

E(? ) ? 0 ?

5 1 1 2 . ? 1? ? 2 ? ? 12 2 12 3

23.(1)当 n ? 3 时,P ? {1,2,3 }, 其非空子集为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},

则所有满足题意的集合对(A,B)为:({1},{2}),({1},{3}),({2},{3}), ({1},{2,3}),({1,2},{3})共 5 对, 所以 a3 ? 5 ; (2)设 A 中的最大数为 k,其中 1≤k≤n ? 1 ,整数 n≥ 3, 则 A 中必含元素 k,另元素 1,2,?,k ?1 可在 A 中,故 A 的个数为:
1 k ?1 k ?1 , C0 k ?1 ? Ck ?1 ? ??? ? Ck ?1 ? 2

B 中必不含元素 1,2,?,k,另元素 k ? 1,k ? 2,?,n 可在 B 中,但不能
2 n?k n?k 都不在 B 中,故 B 的个数为: C1 ?1 , n ? k ? Cn ? k ? ??? ? Cn ? k ? 2

从而集合对(A,B)的个数为 2k ?1 ? 2n?k ? 1 ? 2n ?1 ? 2k ?1 , 所以 an ? ? ? 2n ?1 ? 2k ?1 ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 1 ? 2 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 . 1? 2 k ?1
n ?1 n ?1

?

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