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【课堂新坐标】2017年高考数学理科江苏版二轮专题复习与策略第1部分专题1第4讲不等式_图文

时间:2017-04-19

2017版高三二轮复习与策略

热 点 题 型 · 探 究

第4讲

不等式

专 题 限 时 集 训

2017版高三二轮复习与策略

题型一| 不等式的解法

(1)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1 =15,则 a=________. (2)已知一元二次不等式 f(x)<0 为________.
? ? ? 1 ? 的解集为 x?x<-1或x>2 ? ? ? ? ? ?,则 ? ?

f(10x)>0 的解集

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5 (1)2 (2){x|x<-lg 2} [(1)法一:∵不等式 x2-2ax-8a2<0 的解集为(x1,x2),

∴x1,x2 是方程 x2-2ax-8a2=0 的两根.
? ?x1+x2=2a, 由韦达定理知? 2 ? ?x1x2=-8a ,

∴x2-x1= ?x1+x2?2-4x1x2 = ?2a?2-4?-8a2?=15. 5 又∵a>0,∴a=2.

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法二:由 x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0. ∵a>0, ∴不等式 x2-2ax-8a2<0 的解集为(-2a,4a). 又∵不等式 x2-2ax-8a2<0 的解集为(x1,x2), ∴x1=-2a,x2=4a. ∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15, 5 解得 a=2. (2)依题意知 f(x)>0
? ? ? 1 ? ? 的解集为 x -1<x<2 ? ? ? ? ? x 1 ?, 故-1<10 <2, 解得 ? ?

1 x<lg 2=-lg 2.]

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【名师点评】 几类不等式的解题思路:

(1)求解一元二次不等式的基本思路:先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a>0), 再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根, 最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集; (2)解简单的分式、指数、 对数不等式的基本思路是利用相关知识转化为整式 不等式(组)求解; (3)解含“f”的不等式,首先要确定 f(x)的单调性,然后根据单调性转化为不等 式求解.

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1.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,那么,不等式 f(x+2)<5 的解集是________.

{x|-7<x<3} [设 x<0,则-x>0. ∵当 x≥0 时,f(x)=x2-4x, ∴f(-x)=(-x)2-4(-x). ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x),

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∴f(x)=x2+4x(x<0),
2 ? x ? -4x,x≥0, ∴f(x)=? 2 ? ?x +4x,x<0.

由 f(x)=5 得
2 ? x ? -4x=5, ? ? ?x≥0 2 ? x ? +4x=5, 或? ? ?x<0,

∴x=5 或 x=-5. 观察图象(图略)可知由 f(x)<5,得-5<x<5.

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由 f(x+2)<5,得-5<x+2<5, ∴-7<x<3. ∴不等式 f(x+2)<5 的解集是{x|-7<x<3}.]

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2 ? x ? +x?x≥0?, f(x) = ? 2 ? ?-x +x?x<0?,

2.已知函数 ________.

则 不 等 式 f(x2 - x + 1)<12 的 解 集 是

【导学号:19592010】

(-1,2)

[因为当 x≥0 时,f(x)≥0 单调递增;当 x<0 时,f(x)<0 单调递增,所

以 f(x)在 R 上单调递增.又 f(3)=12,所以 f(x2-x+1)<12?f(x2-x+1)<f(3)?x2- x+1<3?-1<x<2.]

2017版高三二轮复习与策略 题型二| 线性规划问题

?x+y-2≥0, ? (1)不等式组?x+2y-4≤0, ?x+3y-2≥0 ? ?x+y-2≥0, ? (2)若 x,y 满足?kx-y+2≥0, ? y ≥ 0, ? ________.

表示的平面区域的面积为________.

且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为

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(3)(2013· 江苏高考)抛物线 y=x2 在 x=1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区 域为 D(包含三角形内部与边界).若点 P(x,y)是区域 D 内的任意一点,则 x+2y 的取值范围是________.
(1)4 1 (2) -2
? 1? (3) ?-2,2? ? ?

[(1) 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影

? ?x+3y-2=0, 部分.由? ? ?x+2y-4=0,

? ?x=8, 得? ? ?y=-2.

所以 A(0,2),B(2,0),C(8,-2).

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直线 x+2y-4=0 与 x 轴的交点 D 的坐标为(4,0).因此 S△ABC=S△ABD+S△BCD 1 1 =2×2×2+2×2×2=4. ? ?y-x=-4, (2)由? 得 A(4,0). ? ?y=0,

1 由图推测直线 kx-y+2=0 必过 A(4,0),得 k=-2,经验证符合题目条件.

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(3)由于 y′=2x,所以抛物线在 x=1 处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1.

1 1 1 1 画出可行域(如图).设 x+2y=z,则 y=-2x+2z,可知当直线 y=-2x+2z 经过点 最小值
?1 ? A?2,0?,B(0,-1)时,z ? ?

1 分别取到最大值和最小值,此时最大值 zmax=2,

? 1? zmin=-2,故取值范围是?-2,2?.] ? ?

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【名师点评】 几类目标函数的最值问题 1.若目标函数是线性的,目标函数的几何意义与直线的截距有关. y-b 2.若目标函数为形如 z= 的形式,可考虑(x,y)与(a,b)两点连线的斜率. x-a 3.若目标函数为形如 z=(x-a)2+(y-b)2 的形式,可考虑(x,y)与(a,b)两点 距离的平方.

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?x+y-5≤0, ? 1.已知实数 x ,y 满足?2x-y+2≥0, ?y≥0, ? ________.

则目标函数 z =x -y 的最小值为

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-3 [作出可行域,如图所示.

显然当目标函数 z=x-y 过点 A(1,4)时取得最小值,此时 z=1-4=-3.]

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?x-2y+4≥0, ? 2.(2016· 江苏高考)已知实数 x,y 满足?2x+y-2≥0, ?3x-y-3≤0, ? 是________.
?4 ? ? ,13? ?5 ?

则 x2+y2 的取值范围

[根据已知的不等式组画出可行域,如图阴影部分所示,则 (x,y)为

阴影区域内的动点.d= x2+y2可以看做坐标原点 O 与可行域内的点(x,y)之间的 距离.数形结合,知 d 的最大值是 OA 的长,d 的最小值是点 O 到直线 2x+y-2 =0
? ?x-2y+4=0, 的距离.由? ? ?3x-y-3=0

可得 A(2,3),

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|-2| 2 4 2 所以 dmax= 2 +3 = 13,dmin= 2 .所以 d 的最小值为5,最大值 2= 5 2 +1
2 2

为 13.所以 x +y

2

2

?4 ? 的取值范围是?5,13?.] ? ?

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?x≥1, ? 3.(2016· 盐城三模)已知实数 x,y 满足约束条件?x+y≤5, ?x-y≤2, ? 值为________.
7 5 [画出不等式表示的可行域,如图所示.

2y-1 则 的最大 2x+3

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? 3 1? 2y-1 2y-1 又 表示点 P?-2,2?与可行域内的点连线的斜率,显然 kAP≤ ≤k . 2x+3 2x+3 PC ? ?

1 4-2 7 又 kPC= 3=5, 1+2 2y-1 7 ∴ 的最大值为5.] 2x+3

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题型三| 基本不等式及其应用

(1)(2013· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a,a),P 是 1 函数 y=x (x>0)图象上一动点.若点 P,A 之间的最短距离为 2 2,则满足条件的 实数 a 的所有值为________. 2 1 2 xy (2)设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z=0,则当 z 取得最大值时,x +y - z
2 2

的最大值为________.

(1)-1, 10
2

(2)1

2017版高三二轮复习与策略 ? ?1 ? 1? 2 2 [(1)依题意可设 P?x, x ?(x>0),则|PA| =(x-a) +?x -a?2 ? ? ? ?

? 1? 1 =x +x2-2a?x+x ?+2a2. ? ?

1 令 x+x =t,则 t≥2 且|PA|2=t2-2-2at+2a2=(t-a)2+a2-2. 若 a≥2,则当 t=a 时,|PA|2 取最小值 a2-2,令 a2-2=(2 2)2,解得 a= 10 (a=- 10舍去); 若 a<2,则当 t=2 时,|PA|2 取最小值 2a2-4a+2,令 2a2-4a+2=(2 2)2, 解得 a=-1(a=3 舍去). 综上,满足条件的所有 a 的值为-1 和 10.

2017版高三二轮复习与策略 (2)由 x2-3xy+4y2-z=0,得 z=x2-3xy+4y2.
1 xy xy 所以 z = 2 ≤ 2= 4 y x x -3xy+4y y+ x -3 2 x 4y 当且仅当y= x ,即 x=2y 时取等号, 此时 z=2y
2

1 =1, x 4y y· x -3

?xy? ,? z ?max=1. ? ?

1? 2 1 2 2 1 2 2? + - = + - 2= ?1- ? x y z 2y y 2y y ? 2y? 1? ?1 ?2y+1-2y?2 ≤4? ? =1.] 2 ? ?

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【名师点评】 1.在运用均值不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三相 等”,凑出定值是关键. 2.若两次连用均值不等式,要注意等号取得条件的一致性,否则就会出错.

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x+8y 1.已知正数 x,y 满足 x+2y=2,则 xy 的最小值为________. 【导学号:19592011】
x+8y 1 8 ?1 8?? x+2y? x 16y? 1 1? ? ? 9 [因为 xy =y +x =?y +x ?? =2?10+y+ x ?≥2(10+2 16)=9,当且 ? ? ?? 2 ? ? ? x+8y 4 1 x 16y 仅当y= x ,x+2y=2 即 x=3,y=3时取等号,所以 xy 的最小值为 9.]

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2.(2016· 苏锡常镇调研一)若实数 x,y 满足 x2-4xy+4y2+4x2y2=4,则当 x x +2y 取得最大值时,y的值为________.

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2 即 t2=8xy-4x2y2+4=-4(xy-1)2+8, 当 xy=1 时,t2 取最大值 ?x= 2, ? x ? 故y=2.] 2 y= 2 , ? ?
2 ? ??x+2y? =8, 8,解? ? ?xy=1,

[令 x+2y=t, 则 x2-4xy+4y2+4x2y2=4 可变形为(x+2y)2-8xy+4x2y2=4,

x+2y 取得最大值 2 2,解得

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x-2y 3.(2016· 南京三模)若实数 x,y 满足 2x +xy-y =1,则 2 的最大 5x -2xy+2y2
2 2

值为________.
2 4 [由 2x2+xy-y2=1,得(x+y)(2x-y)=1.

∴5x2-2xy+2y2=(x+y)2+(2x-y)2=[(2x-y)-(x+y)]2+2=(x-2y)2+2, x-2y x-2y ∴ 2 , 2= 2 5x -2xy+2y ?x-2y? +2 x-2y (1)当 x-2y=0 时, =0; ?x-2y?2+2

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x-2y (2)当 x-2y>0 时, = ?x-2y?2+2 x-2y 2 即 0< 2 ≤ ; 5x -2xy+2y2 4 x-2y 当 x-2y<0 时, = ?x-2y?2+2 x-2y 2 即- 4 ≤ <0. ?x-2y?2+2
?, 2 = ? 2 ? ? ?x-2y?+ ? x - 2 y ? + - ? x-2y x-2y? ? ?

2 2 ≤4, ?x-2y?+ x-2y

1

1

-1

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x-2y 2 2 综上可知,- 4 ≤ 2 ≤ , 5x -2xy+2y2 4 x-2y 2 即 2 的最大值为 4 .] 5x -2xy+2y2

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4.已知函数 f(x)=ax2+x-b(a,b 均为正数),不等式 f(x)≥0 的解集记为 P, 1 1 集合 Q={x|-2-t<x<-2+t}.若对于任意正数 t,P∩Q≠?,则a-b的最大值是 ________.

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1 2[∵f(x)≥0 的解集为 P,Q={x|-2-t<x<-2+t},对?t>0 都有 P∩Q≠?, b ∴-2∈P,即 f(-2)≥0,则 4a-2-b≥0,即 1≤2a-2. 1 1 又由题意知,a-b的最大值必是正数,
?1 1?? b? 1 1 ?1 1? 则a-b=?a-b?×1≤?a-b??2a-2? ? ? ? ?? ?

5 ? b 2a? =2-?2a+ b ? ? ? 5 1 ≤2-2=2.]


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